1、考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 2及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2004年)微分方程 yy 2 1sin 的特解形式可设为 【 】（分数：2.00）A.y * a 2 bc(AsinBcos)B.y * (a 2 bcAsinBcos)C.y * a 2 bcAsinD.y * a 2 bcAcos3.(2006年)函数 yC 1 e C 2 e 2 e 满足的一个微分方程是 【 】（分数：2.00）A.yy2y3e B.yy2y3e
2、 C.yy2y3e D.yy2y3e 4.(2008年)在下列微分方程中，以 yC 1 e C 2 cos2C 3 sin2(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是 【 】（分数：2.00）A.y4y4y0B.y4y4y0C.y4y4y0D.y4y4y05.(2010年)设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 yp()yq()的两个特解，若常数 ，使 y 1 y 2 是该方程的解，y 1 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则 【 】（分数：2.00）A.B.C.D.6.(2011年)微分方程 y 2 ye e (0)的特解形式为 【 】（分数：2.00）A.a(e e )
3、B.a(e e )C.(ae be )D. 2 (ae be )二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.(2006年)微分方程 y （分数：2.00）填空项 1:_8.(2007年)二阶常系数非齐次线性微分方程 y4y3y2e 2 的通解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_9.(2008年)微分方程(y 2 e )ddy0 的通解是 y 1（分数：2.00）填空项 1:_10.(2010年)3 阶常系数线性齐次微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_11.(2011年)微分方程 yye cos 满足条件 y(0)0 的解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_12.(2012年
4、)微分方程 yd(3y 2 )dy0 满足条件 y 1 1 的解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_13.(2013年)已知 y 1 e 3 e 2 ，y 2 e e 2 ，y 3 e 2 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3个解，则该方程满足条件 y 0 0，y 0 1 的解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_14.(2015年)设函数 yy()是微分方程 yy2y0 的解，且在 0 处 y()取得极值 3，则y() 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：48.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.(19
5、98年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y与 v所应满足的微分方程，并求出函数关系式（分数：2.00）_17.(1998年)设 yy()是一向上凸的连续曲线，其上任一点(，y)处的曲率为 （分数：2.00）_18.(1999年)求初值问题 （分数：2.00）_19.(1999年)设函数 y()(0)二阶可导，且 y()0，y(
6、0)1过曲线上任意一点 P(，y)作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，上以yy()为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 yy()的方程（分数：2.00）_20.(2000年)某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污物 A的污水量为 ，流入湖泊内不含 A的水量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999年底湖中 A的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000年起，限定排入湖泊中含 A污水的浓度不超过 （分数：2.00）_21.(2001年)设函数 f()，g()满足 f()g()，g()2
7、e f()，且 f(0)0，g(0)2，求 （分数：2.00）_22.(2001年)设 L是一条平面曲线，其上任意一点 P(，y)(0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，且 L经过点( （分数：2.00）_23.(2001年)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S成正比，比例常数 K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的 3小时内，融化了其体积的 （分数：2.00）_24.(2002年)求微分方程 dy(2y)d0 的一个解 yy()，使得由曲线 yy()与直线1，2 以及 轴所围成平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积最小
8、（分数：2.00）_25.(2003年)设函数 yy()在(，)内具有二阶导数，且 y0，(y)是 yy()的反函数 (1)试将 (y)所满足的微分方程 0 变换为 yy()满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0，y(0) （分数：2.00）_26.(2003年)设位于第一象限的曲线 yf()过点 （分数：2.00）_27.(2003年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线 (y)(y0)绕 y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为 2m根据设计要求，当以 3m 3 min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m 3 min 的速率均匀扩大(假设注入液体前
9、，容器内无液体) (1)根据 t时刻液面的面积，写出 t与(y)之间的关系式； (2)求曲线 (y)的方程 （分数：2.00）_28.(2004年)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9000 kg的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k6010 6 )问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?（分数：2.00）_29.(2005年)用变量代换 cost(0t)化简微分方程(1 2 )yyy0，并求其满足y 0 ，y 0 2 的特解（分数
10、：2.00）_30.(2007年)求微分方程 y(y 2 )y满足初始条件 y(1)y(1)1 的特解（分数：2.00）_31.(2008年)设 f()是区间0，)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)1对任意的t0，)，直线 0，t，曲线 yf()以及 轴所围成的曲边梯形绕 z轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数 f()的表达式（分数：2.00）_32.(2009年)设非负函数 yy()(0)满足微分方程 yy20当曲线 yy()过原点时，其与直线 1 及 y0 围成的平面区域 D的面积为 2，求 D绕 y轴旋转所得旋转体的体积（分数：2.00）_
11、33.(2009年)设 yy()在区间(，)内过点( （分数：2.00）_34.(2010年)设函数 yf()由参数方程 所确定，其中 (t)具有 2阶导数，且 (1) ，(1)6，已知 （分数：2.00）_35.(2011年)设函数 y()具有二阶导数，且曲线 l：yy()与直线 y 相切于原点记 a为曲线 l在点(，y)处切线的倾角，若 （分数：2.00）_36.(2012年)已知函数 f()满足方程 f()f()2f()0 及 f()f()2e ()求 f()的表达式； ()求曲线 yf( 2 ) 0 f(t 2 )dt的拐点（分数：2.00）_37.(2014年)设函数 f(u)具有
12、2阶连续导数，zf(e cosy)满足 （分数：2.00）_38.(2015年)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比现将一初始温度为 120的物体在 20恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30，若要将该物体的温度继续降至 21，还需冷却多长时间?（分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 2答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2004年)微分方程 yy 2 1si
13、n 的特解形式可设为 【 】（分数：2.00）A.y * a 2 bc(AsinBcos) B.y * (a 2 bcAsinBcos)C.y * a 2 bcAsinD.y * a 2 bcAcos解析：解析：方程 yy0 的特征方程为 2 10，其特征根为 i，因此方程 yy 2 1sin y * abC(AsinBcos) 故应选 A3.(2006年)函数 yC 1 e C 2 e 2 e 满足的一个微分方程是 【 】（分数：2.00）A.yy2y3e B.yy2y3e C.yy2y3e D.yy2y3e 解析：解析：由 yC 1 e C 2 e 2 e 知，齐次方程的两个特征根分别为
14、1和2，所以只有 C和 D项可能是正确的选项，将 ye 代入 D项中方程知其满足该方程，则应选 D4.(2008年)在下列微分方程中，以 yC 1 e C 2 cos2C 3 sin2(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是 【 】（分数：2.00）A.y4y4y0B.y4y4y0C.y4y4y0D.y4y4y0 解析：解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为 1 1， 2，3 2i 则其特征方程为(1)( 2 4)0，故所求方程应为 yy4y4y0 故应选 D5.(2010年)设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 yp()yq()的两个特解，若常数 ，使 y 1 y 2
15、 是该方程的解，y 1 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则 【 】（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于 y 1 y 2 为方程 yp()yq()的解，则 (y 1 y 2 )p()(y 1 y 2 )g() 即 (y 1 p()y 1 )(y 2 p()y 2 )q() q()()q() 1 (1) 由于 y 1 y 2 为方程 yp()y0 的解，则 (y 1 y 2 )p()(y 1 y 2 )0 (y 1 p()y 1 )(y 2 p()y 2 )0 q()q()0 0 (2) 由(1)式和(2)式解得 6.(2011年)微分方程 y 2 ye e (0)的特解形式为
16、 【 】（分数：2.00）A.a(e e )B.a(e e )C.(ae be ) D. 2 (ae be )解析：解析：方程 y 2 y0 的特征方程为 r 2 2 1 r 1 ，r 2 方程 y 2 ye 的特解形式为 ae 方程 y 2 ye 的特解形式为 be e 则原方程的特解形式为 y(ae be ) 故应选 C二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.(2006年)微分方程 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yCe ）解析：解析： 8.(2007年)二阶常系数非齐次线性微分方程 y4y3y2e 2 的通解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （
17、正确答案：正确答案：yC 1 e C 2 e 3 2e 2 ）解析：解析：齐次方程特征方程为 2 430 解得 1 1， 2 3，则齐次方程通解为 yC 1 e C 2 e 3 设非齐方程特解为 9.(2008年)微分方程(y 2 e )ddy0 的通解是 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y(Ce )）解析：解析：方程(y 2 e )ddy0 可改写为 10.(2010年)3 阶常系数线性齐次微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 1 e 2 C 2 cosC 1 sin）解析：解析：方程 y2yy2y0 的特征方程为 r 3 2r
18、 2 r20 即 r 2 (r2)(r2)0 (r2)(r 2 1)0 r 1 2，r 2，3 l 则原方程通解为 yC 1 e 2 C 2 cosC 1 sin11.(2011年)微分方程 yye cos 满足条件 y(0)0 的解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e sin）解析：解析：由一阶线性方程的通解公式得 y 12.(2012年)微分方程 yd(3y 2 )dy0 满足条件 y 1 1 的解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 yd(3y 2 )dy0 得 这是一阶线性微分方程，由通解公式得 又因为y1
19、 时，1，解得 C0，故 y 2 y 13.(2013年)已知 y 1 e 3 e 2 ，y 2 e e 2 ，y 3 e 2 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3个解，则该方程满足条件 y 0 0，y 0 1 的解为 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 e C 2 e 3 e 2 ）解析：解析：由题设知 y 1 y 3 e 3 ，y 2 y 3 e 为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为 yC 1 e C 2 e 3 e 2 14.(2015年)设函数 yy()是微分方程 yy2y0 的解，且在 0 处 y()取得极值 3，则y() 1（分数：
20、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e e 2 ）解析：解析：原方程的特征方程为 2 20 特征根为 1 1， 2 2 原方程的通解为 yC 1 e C 2 e 2 由 y(0)3，y(0)0 得 三、解答题(总题数：24，分数：48.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.(1998年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 B，海水比重为 ，仪器
21、所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k(k0)试建立 y与 v所应满足的微分方程，并求出函数关系式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取沉放点为原点 o，oy 轴方向铅直向下，则由牛顿第二定律得 m mgkv 这是 y对 t的二阶可降阶方程，其中 v ，按典型的降阶法 )解析：17.(1998年)设 yy()是一向上凸的连续曲线，其上任一点(，y)处的曲率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因曲线向上凸，则 y0；由题设有 化简，即为 y(1y 2 ) 曲线经过点(0，1)，故 y(0)1，又因为在该点的切线方程为 y1，即切线斜率为 1，于是 y(0)1 现在归结为求 的
22、特解 令 yP，yP，于是得 P(1P 2 ) 分离变量解得arctanPC 1 ，以 P(0)1 代入，得 C 1 arctan1 ，所以 yPtan( )再积分得 以 y(0)1 代入，得 C 2 1 ln2，故所求曲线方程为 取其含有 0 在内的连续的一支为 当 时，cos( )0，y，故此函数无极小值当 时，y 为极大，极大值 y1 )解析：18.(1999年)求初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可化为 令 yu，得 )解析：19.(1999年)设函数 y()(0)二阶可导，且 y()0，y(0)1过曲线上任意一点 P(，y)作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直
23、线与 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，上以yy()为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 yy()的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 yy()上点 P(，y)处切线方程为 Yyy()(X) 它与 轴的交点为( ，0)由于 y()0，y(0),1，从而 y()0，于是 S 1 又 S 2 0 y(t)dt 由条件 2S 1 S 2 1 知 两边对 求导并化简得 yy(y) 2 令 Py，则上述方程可化为 yP P 2 )解析：20.(2000年)某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污物 A的污水量为 ，流入湖泊内不含 A的水
24、量为 ，流出湖泊的水量为 已知 1999年底湖中 A的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标，为了治理污染，从 2000年起，限定排入湖泊中含 A污水的浓度不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设从 2000年初(令此时 t0)开始，第 t年湖泊中污染物 A的总量为 m，浓度为 ，则在时间间隔t，tdt内，排入湖泊中 A的量为 ，流出湖泊的水中 A的量为 因此在此时间间隔内湖泊中污染物 A的改变量 dm( )dt 由分离变量法解得 m 代入初始条件 )解析：21.(2001年)设函数 f()，g()满足 f()g()，g()2e f()，且 f(0)0，g(0)2，求 （分数：2.0
25、0）_正确答案：(正确答案：由 f()g()得，f()g()2e f() 于是有 )解析：22.(2001年)设 L是一条平面曲线，其上任意一点 P(，y)(0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在 y轴上的截距，且 L经过点( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设曲线 L过点 P(，y)的切线方程为 Yyy(X)，令 X0，则得该切线在 y轴上的截距为 yy由题设知 由 L经过点( ，0)，知 C ，于是 L的方程为 (2)设第一象限内曲线 y 2 ，在点 P(，y)处切线方程为 它与 轴及 y轴交点分别为 ，所求面积为 令 S()0，解得 当 0 时，S()0； 时，S()
26、0，因而 是 S()在(0， )内的唯一极小点，于是所求切线为 )解析：23.(2001年)一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 S成正比，比例常数 K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的 3小时内，融化了其体积的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设雪堆在时刻 t的体积 V r 3 ，侧面积 S2r 2 ，由题设知 积分得 rKtC，由 r t0 r 0 ，有 rr 0 Kt， )解析：24.(2002年)求微分方程 dy(2y)d0 的一个解 yy()，使得由曲线 yy()与直线1，2 以及 轴所围成平面图形绕 轴旋转一周的旋转
27、体体积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可化为 1 则 y 由曲线 yC 2 与直线1，2 及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体体积为 又 V(C) 0，故 C 为唯一极小值点，也是最小值点，于是得 yy() )解析：25.(2003年)设函数 yy()在(，)内具有二阶导数，且 y0，(y)是 yy()的反函数 (1)试将 (y)所满足的微分方程 0 变换为 yy()满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)0，y(0) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由反函数导数公式知 上式两端对 y求导得 将 代入原方程得 yysin 该方程对应
28、的齐次方程 yy0 的通解为 yC 1 e C 2 e 。 设方程 yysin 的特解为 AcosBsin，代入该方程得 A0，B 故 从而 yysin 的通解为 y()C 1 e C 2 e sin 由 y(0)0，y(0) 得 C 1 1，C 2 1 故 y()e e )解析：26.(2003年)设位于第一象限的曲线 yf()过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)曲线 yf()在点 P(，y)处的法线方程为 Yy (X) 令X0，则 Yy 故 Q点的坐标为(0，y )，由题设知 yy 0 即2ydyd0 积分得 2 2y 2 C 由 知 C1，故曲线 yf()的方程为 2
29、2y 2 1 (2)曲线 ysin 在0，上的弧长为 l 曲线 yf()的参数方程为 )解析：27.(2003年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线 (y)(y0)绕 y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为 2m根据设计要求，当以 3m 3 min 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以m 3 min 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体) (1)根据 t时刻液面的面积，写出 t与(y)之间的关系式； (2)求曲线 (y)的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 t时刻液面高度为 y，则由题设知此时液面面积为 2 (y)4t 从而 t 2 (y)4 (2)
30、液面高度为 y时，液体的体积为 0 y 2 (u)du3t3 2 (y)12 上式两边对 y求导得 2 (y)6(y)(y) 解此方程得 (y)C y 由 (0)2 知 C2 故所求曲线方程为 2 )解析：28.(2004年)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9000 kg的飞机，着陆时的水平速度为 700kmh经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k6010 6 )问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，飞机的质量 m90
31、00kg，着陆时的水平速度 v 0 700kmh从飞机接触跑道开始计时，设 t时刻飞机的滑行距离为 (t)，速度为 v(t) 根据牛顿第二定律，得 积分得 (t) vC由于 v(0)v 0 ，(0)0，故得 C v 0 ，从而 (t) (v 0 v(t) 当 v(t)0 时， v(t) )解析：29.(2005年)用变量代换 cost(0t)化简微分方程(1 2 )yyy0，并求其满足y 0 ，y 0 2 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其特征方程为 2 10，解得 i，于是此方程的通解为 yC 1 costC 2 sint 从而原方程的通解为 yC 1 C 2 由 y 0 1，y 0 2，得 C 1 2，C 2 1，故所求方程的特解为 y2 )解析：30.(2007年)求微分方程 y(y 2 )y满足初始条件 y(1)y(1)1 的特解（分数：2.00）_
