1、考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1989年)微分方程 yye 1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数) 【 】（分数：2.00）A.ae bB.ae bC.ae bD.ae b3.(1998年)已知函数 yf()在任意点 处的增量y （分数：2.00）A.B.2C.D.4.(2000年)具有特解 y 1 e ，y 2 2e ，y 3 3e 的三阶常系数齐次线性微分方程是 【 】（分数：2.00）
2、A.yyyy0B.yyyy0C.y6y11y6y0D.y2yy2y05.(2002年)设 yy()是二阶常系数微分方程 ypyqye 3 满足初始条件 y(0)y(0)0 的特解，则当 0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2D.等于 36.(2003年)已知 y 是微分方程 y 的解，则 ( （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.(1994年)微分方程 yd( 2 4)dy0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.(1995年)微分方程 yy2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.(1996年)微分方程
3、 y2y5y0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.(1999年)微分方程 y4ye 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.(2001年)过点( ，0)且满足关系式 yarcsin （分数：2.00）填空项 1:_12.(2002年)微分方程 yyy 2 0 满足初始条件 （分数：2.00）填空项 1:_13.(2004年)微分方程(y 3 )d2dy0 满足 （分数：2.00）填空项 1:_14.(2005年)微分方程 y2yln 满足 y(1) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：48.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程
4、或演算步骤。（分数：2.00）_16.(1987年)求微分方程 y 满足条件 （分数：2.00）_17.(1987年)求微分方程 y2yye 的通解（分数：2.00）_18.(1988年)求微分方程 （分数：2.00）_19.(1988年)设函数 yy()满足微分方程 y3y2y2e ，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y 2 1 在该点处的切线重合，求函数 y的解析表达式（分数：2.00）_20.(1989年)求微分方程 y(1)ye 2 (0)满足 y(1)0 的解（分数：2.00）_21.(1989年分)设 f()sin 0 (t)f(t)dt，其中 f为连续函数，求 f()（分数：2.
5、00）_22.(1990年)求微分方程 lndy(yln)d0 满足条件 y e 1 的特解（分数：2.00）_23.(1990年)求微分方程 y4y4ye a 之通解，其中 a为实数（分数：2.00）_24.(1991年)求微分方程 yye 满足 y(1)1 的特解（分数：2.00）_25.(1991年)求微分方程 yycos 的通解（分数：2.00）_26.(1992年)求微分方程(y 3 )d2dy0 的通解（分数：2.00）_27.(1992年)求微分方程 y3y2ye 的通解（分数：2.00）_28.(1993年)求微分方程( 2 1)dy(2ycos)d0 满足初始条件 y 1 1
6、 的特解（分数：2.00）_29.(1993年)设二阶常系数线性微分方程 yyye 的一个特解为 ye 2 (1)e ，试确定常数 、，并求该方程的通解（分数：2.00）_30.(1994年)求微分方程 ya 2 ysin 的通解，其中常数 a0（分数：2.00）_31.(1995年)设 ye 是微分方程 yp()y 的一个解，求此微分方程满足条件 y ln2 0。的特解（分数：2.00）_32.(1996年)求微分方程 yy 2 的通解（分数：2.00）_33.(1996年)设 f()为连续函数 (1)求初值问题 的解 y()，其中 a是正常数； (2)若f()k(k 为常数)，证明：当 0
7、 时，有 y() （分数：2.00）_34.(1997年)求微分方程(3 2 2yy 2 )d( 2 2y)dy0 的通解（分数：2.00）_35.(1997年)已知 y 1 e e 2 ，y 2 e e ，y 3 e e 2 e 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程（分数：2.00）_36.(1997年)设曲线 L的极坐标方程为 rr()，M(r，)为 L上任一点，M 0 (2，0)为 L上一定点，若极径 OM 0 、OM 与曲线 L所围成的曲边扇形面积值等于 L上 M 0 、M 两点间弧长值的一半，求曲线 L的方程（分数：2.00）_37.(1997年)设函数 f()在闭区间0
8、，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足 f()f() （分数：2.00）_38.(1998年)利用代换 y （分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 1答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(1989年)微分方程 yye 1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数) 【 】（分数：2.00）A.ae bB.ae b C.ae bD.ae b解析：解析：yye 1 的特解应为方程 yye 和 yy1 的特解之和，而特征方
9、程为 r 2 10，解得 r1 因此 yye 的特解应为 y 1 * ae ， yy1 的特解应为 y 2 * b 则原方程特解应具有形式 yae b3.(1998年)已知函数 yf()在任意点 处的增量y （分数：2.00）A. B.2C.D.解析：解析：由于y 与，其 是比(0)高阶的无穷小，则 解此变量可分离方程得 yCe arctan ， 再由 y(0) 得 C 故 y兀 e arctan ，y(1) 4.(2000年)具有特解 y 1 e ，y 2 2e ，y 3 3e 的三阶常系数齐次线性微分方程是 【 】（分数：2.00）A.yyyy0B.yyyy0 C.y6y11y6y0D.y
10、2yy2y0解析：解析：由本题所给三个特解可知，所求方程的特征方程的根为 1 1， 2 1(二重)，故特征方程是(1)(1) 2 0，展开得 3 2 10 从而，微分方程应为 y yy0，则应选 B5.(2002年)设 yy()是二阶常系数微分方程 ypyqye 3 满足初始条件 y(0)y(0)0 的特解，则当 0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2 D.等于 3解析：解析：由于 y()是方程 ypyqye 3 满足初始条件 y(0)y(0)0 的特解，在方程ypyqye 3 中，令 0 得 y(0)Py(0)qy(0)e 0 1 即 y(0)1 6.(2003年
11、)已知 y 是微分方程 y 的解，则 ( （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：将 y 代入方程 y 得二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.(1994年)微分方程 yd( 2 4)dy0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(4)y 4 C）解析：解析：该方程是一个变量可分离方程，即 8.(1995年)微分方程 yy2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2C 1 cosC 2 sin）解析：解析：特征方程为 r 2 10，解得 r 1 i，r 2 I 齐次通解为 9.(1996年)微分方程 y2y5y0 的
12、通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ye (C 1 cos2C 2 sin2)）解析：解析：特征方程为 r 2 2r50，r 1，2 12i 故通解为 yC 1 e cos2C 2 e sin210.(1999年)微分方程 y4ye 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 1 e 2 (C 2 ）解析：解析：特征方程为 r 2 40，r 1，2 2 齐次通解为 1 e 2 C 2 e 2 设非齐次方程特解为 y * Ae 2 代入原方程得 A ， 故原方程通解为 11.(2001年)过点( ，0)且满足关系式 yarcsin
13、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yarcsin*）解析：解析：由 yarcsin 1 知(yarcsin)1 则 yarcsinC 由 因此yarcsin12.(2002年)微分方程 yyy 2 0 满足初始条件 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 1 或 y ）解析：解析：令 yP，则，y ，代入原方程得 13.(2004年)微分方程(y 3 )d2dy0 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程(y 3 )d2dy0 可改写为 设方程为一阶线性方程，则其通解为 由 知 C1，则所求特解为 y 14
14、.(2005年)微分方程 y2yln 满足 y(1) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 y2yln 是一阶线性方程，方程两端同除以 得：y ln，则通解为 由 y(1) 得，C0，则三、解答题(总题数：24，分数：48.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.(1987年)求微分方程 y 满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程改写为标准形式为 由一阶线性微分方程求解公式知 由初始条件0 知，C1 故所求特解为 y )解析：17.(1987年)求微分方程 y2yye 的通解（分数：2
15、.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 r 2 2r10，r1 为二重根 则齐次方程通解为 (C 1 C 2 )e 设非齐次方程特解为 y * (A 0 A 1 )e ，代入原方程得 故原方程通解为 y(C 1 C 2 )e )解析：18.(1988年)求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由一阶线性方程求解公式知 )解析：19.(1988年)设函数 yy()满足微分方程 y3y2y2e ，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y 2 1 在该点处的切线重合，求函数 y的解析表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 r 2 2r20 解得 r 1 1，r 2
16、2 则齐次方程通解为 )解析：20.(1989年)求微分方程 y(1)ye 2 (0)满足 y(1)0 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程改写为标准形式 由一阶线性微分方程通解公式得 代入初始条件y(1)0，得 ce 故所求解为 y )解析：21.(1989年分)设 f()sin 0 (t)f(t)dt，其中 f为连续函数，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可改写为 f()sin 0 f(t)dt 0 tf(t)dt 上式两端对 求导得 f()cos 0 f(t)dtf()(f)cos 0 f(t)dt (*) 两端再对 求导得 f()sinf() 即
17、 f()f()sin 这是一个二阶线性非齐次方程，由原方程知 f(0)0，由(*)式知 f(0)1 特征方程为 r10，ri 齐次通解为 C 1 sinC 2 cos 设非齐次方程特解为 y * (asinbcos)，代入 f()f()sin 得 a0，b 则非齐次方程的通解为 yC 1 sinC 2 cos cos 由初始条件 y(0)0和 y(0)1 可知 C 1 )解析：22.(1990年)求微分方程 lndy(yln)d0 满足条件 y e 1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程改写为标准形式为 其通解为 由 y e 1 知，C 所以满足初始条件 y e 1 的特解
18、为 )解析：23.(1990年)求微分方程 y4y4ye a 之通解，其中 a为实数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 r 2 4r40 则齐次方程通解为 (C 1 C 2 )e 2 当 a2 时，原方程特解可设为 y * Ae a 代入原方程得 A 故特解为 y * 当a2 时，原方程特解可设为 y * A 2 e a 代入原方程得 A 故特解为 y * 2 e 2 综上所述，原方程通解为 )解析：24.(1991年)求微分方程 yye 满足 y(1)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原方程化为标准形式 y ye 由一阶线性方程通解公式可知 由 y(1)
19、1，得 C1， 故所求特解为 y )解析：25.(1991年)求微分方程 yycos 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求得齐次方程通解为 yC 1 cosC 2 sin 设非齐次方程 yy 的特解为 y 1 AB 代入方程得 A1，B0，所以 y 设非齐次方程 yycos 的特解为yCcosDsin 代入方程解 C0，D ，所以 y sin 故原方程通解为 yC 1 cosC 2 sin )解析：26.(1992年)求微分方程(y 3 )d2dy0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原方程化为标准形式 由一阶线性微分方程通解公式知 )解析：27.(1992年)
20、求微分方程 y3y2ye 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 r 2 3r20 解得 r 1 1，r 2 2 齐次方程通解为 C 1 e C 2 e 2 设非齐次方程特解为 y * (ab)e 代入原方程得 a ，b1 所以 y * ( )e 从而所求通解为 yC 1 e C 2 e 2 ( )解析：28.(1993年)求微分方程( 2 1)dy(2ycos)d0 满足初始条件 y 1 1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为标准型 )解析：29.(1993年)设二阶常系数线性微分方程 yyye 的一个特解为 ye 2 (1)e ，试确定常数 、，
21、并求该方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 ye 2 (1)e 代入原方程得 (42)e 2 (32)e (1)e e 比较同类项的系数有 解得 3，2，1 原方程为 y3y2ye 其特征方程为 r 2 3r20 解得 r 1 1，r 2 2 故齐次通解为 )解析：30.(1994年)求微分方程 ya 2 ysin 的通解，其中常数 a0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 r 2 a 2 0，rai 则齐次方程通解为 yC 1 cosaC 2 sina (1)当 a1 时，原方程特解可设为 y * AsinBcos 代入原方程得 A ，B0 所以y * si
22、n (2)当 a1 时，原方程特解可设为 y * (AsnBcos) 代入原方程得A0，B 所以 y * cos 综上所述 当 a1 时，通解为 yC 1 cosaC 2 sina sin 当 a1 时，通解为 yC 1 cosC 2 sina )解析：31.(1995年)设 ye 是微分方程 yp()y 的一个解，求此微分方程满足条件 y ln2 0。的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 ye 代入原方程得 e p()e 得 p()e 代入原方程得 y(e )y 即 y(e 1)y1 解此线性方程得通解 ye 由 y ln2 0 得 C 故所求特解为 ye )解析：32.(19
23、96年)求微分方程 yy 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 r 2 r0，r 1 0，r 2 1 则齐次通解为 C 1 C 2 e 设非齐次方程特解为 y * (a 2 bc)，代入原方程得 a ，b1，c2 因此，原方程通解为 y )解析：33.(1996年)设 f()为连续函数 (1)求初值问题 的解 y()，其中 a是正常数； (2)若f()k(k 为常数)，证明：当 0 时，有 y() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)原方程通解是 y()e a f()e a dC e a F()C 其中 F()是 f()e a 的任一原函数，由 y(0)0
24、 得 CF(0)故 y()e a F()F(0)e a 0 e at f(t)dt (2)y()e a 0 f(t)e at dtke a 0 e at dt e a (e a 1) )解析：34.(1997年)求微分方程(3 2 2yy 2 )d( 2 2y)dy0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yu，则 )解析：35.(1997年)已知 y 1 e e 2 ，y 2 e e ，y 3 e e 2 e 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 e 2 与 e 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 e 是非齐次方程一
25、个特解，故此方程是 yy2yf() 将 ye 代入上式得 f()(e )(e )2e e 2e 因此所求方程为 yy2ye 2e )解析：36.(1997年)设曲线 L的极坐标方程为 rr()，M(r，)为 L上任一点，M 0 (2，0)为 L上一定点，若极径 OM 0 、OM 与曲线 L所围成的曲边扇形面积值等于 L上 M 0 、M 两点间弧长值的一半，求曲线 L的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可知 由 r(0)2 知，C ，故所求曲线 L的方程为 亦即直线 )解析：37.(1997年)设函数 f()在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并满足 f()f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由原题设，当 时， 即 据此并由 f()在点 0 处连续性，得)解析：38.(1998年)利用代换 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：yusec，yusecutansec yuec2utansecusec 3 utan 2 sec 代入原方程化简得 u4ue 解此线性常系数非齐次方程，得通解为 uC 1 cos2C 2 sin2 e 还原成 y，得原方程通解 y )解析：
