1、考研数学二（常微分方程）-试卷 9 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性微分方程 ypyqyf()的解，C 1 、C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是 【 】（分数：2.00）A.C 1 y 1 C 2 y 2 y 3B.C 1 y 2 C 2 y 2 (C 1 C 2 )y 3C.C 1 y 1 C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 C 2 y 2 (1C
2、1 C 2 )y 3二、填空题(总题数：22，分数：44.00)3.微分方程掣 （分数：2.00）填空项 1:_4.微分方程(y 2 )d2ydy0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_5.微分方程 y （分数：2.00）填空项 1:_6.方程 y3y2y2e 的通解 1（分数：2.00）填空项 1:_7.求微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_8.求下列方程通解或满足给定初始条件的特解： 1)y1e y 2) （分数：2.00）填空项 1:_9.已知 y 1 3，y 2 3 2 ，y 3 3e 是二阶线性非齐次方程的解，则所求方程为 1，通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_
3、10.已知函数 ye 2 (1)e 是二阶常系数线性非齐次方程 yaybyce 的一个特解，试确定常数 a 1，b 2，c 3 及该方程的通解为 4（分数：2.00）填空项 1:_11.设有微分方程 y2y()，其中 () （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 y(e 2y )y 3 0，若把 看成因变量，y 看成自变量，则方程化为 1，并求此方程通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_13.求分别满足下列关系式的 f() 1)f() 0 (t)dt，其中 f()为连续函数； 2)f()f()（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f()连续，且 0 1 f(t)dt （分数：2.0
4、0）填空项 1:_15.设 f()在 0 上有定义，且对任意正实数 ，y f(y)f(y)yf()，f(1)2，试求f() 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 ()连续，且 () 0 (u)(u)due 2 0 1 (u)du 试求 () 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 f()在(0，)上可导，f(1)3 1 y f(t)dt 1 y f(t)dty 1 f(t)dt 求f() 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设(r，)为极坐标，r0，02，设 uu(r，)具有二阶连续偏导数，并满足 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足
5、f u (u，v)f v (u，v)uv 求 ye 2 f(，)所满足的一阶微分方程 1，并求其通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_20.设函数 f(t) （分数：2.00）填空项 1:_21.求方程 y (4) y0 的一个特解 1，使其在 0 时与 3 为等价无穷小（分数：2.00）填空项 1:_22.设对任意 0，曲线 yf()上点(，f()处的切线在 y 轴上的截距等于 （分数：2.00）填空项 1:_23.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的导数(Q 是法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 z 轴平
6、行则该曲线为 1（分数：2.00）填空项 1:_24.以 yOz 坐标面上的平面曲线段 yf(z)(0zh)绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和 Oy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 16cm 3 ，如果以 3cm 3 s 的速率把水注入容器，水表面的面积以cm 3 s 增大，试求曲线 yf()的方程 1（分数：2.00）填空项 1:_考研数学二（常微分方程）-试卷 9 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设线性无关的函数 y 1 ，y 2 ，
7、y 3 都是二阶非齐次线性微分方程 ypyqyf()的解，C 1 、C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是 【 】（分数：2.00）A.C 1 y 1 C 2 y 2 y 3B.C 1 y 2 C 2 y 2 (C 1 C 2 )y 3C.C 1 y 1 C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 C 2 y 2 (1C 1 C 2 )y 3 解析：二、填空题(总题数：22，分数：44.00)3.微分方程掣 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*）解析：4.微分方程(y 2 )d2ydy0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
8、正确答案：y 2 (lnC)）解析：5.微分方程 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：6.方程 y3y2y2e 的通解 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 1 e C 2 e 2 2e ）解析：7.求微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：8.求下列方程通解或满足给定初始条件的特解： 1)y1e y 2) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1)e y e (C 2 ) 2)(csc(y)cot(y)C 3)y(C)cos 4)yC 1 ln1C 2 5) 6)yC 1 C 2
9、 e 4 7)yC 1 cos3C 2 sin3 (25) 8) ）解析：9.已知 y 1 3，y 2 3 2 ，y 3 3e 是二阶线性非齐次方程的解，则所求方程为 1，通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：所求方程为(2 2 )y( 2 2)y2(1)y6(1) 通解为：yC 1 2 C 2 e 3）解析：10.已知函数 ye 2 (1)e 是二阶常系数线性非齐次方程 yaybyce 的一个特解，试确定常数 a 1，b 2，c 3 及该方程的通解为 4（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3，b2，c1，yC 1 e 2 C 2 e e ）解
10、析：11.设有微分方程 y2y()，其中 () （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：12.已知 y(e 2y )y 3 0，若把 看成因变量，y 看成自变量，则方程化为 1，并求此方程通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：原方程化为 y e 2y ，通解为：C 1 e y C 2 e y ）解析：13.求分别满足下列关系式的 f() 1)f() 0 (t)dt，其中 f()为连续函数； 2)f()f()（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1)f()0 2)arctan ）解析：14.设 f()连续，且 0 1 f(t
11、)dt （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C2）解析：15.设 f()在 0 上有定义，且对任意正实数 ，y f(y)f(y)yf()，f(1)2，试求f() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2ln，）解析：16.设 ()连续，且 () 0 (u)(u)due 2 0 1 (u)du 试求 () 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2e ）解析：17.设 f()在(0，)上可导，f(1)3 1 y f(t)dt 1 y f(t)dty 1 f(t)dt 求f() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
12、3ln3）解析：18.设(r，)为极坐标，r0，02，设 uu(r，)具有二阶连续偏导数，并满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：uC 1 C 2 nr）解析：19.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 f u (u，v)f v (u，v)uv 求 ye 2 f(，)所满足的一阶微分方程 1，并求其通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2y 2 e 2 ，y ）解析：20.设函数 f(t) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(4t 2 1) ）解析：21.求方程 y (4) y0 的一个特解 1，使其在 0 时与
13、 3 为等价无穷小（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y63e 3e ）解析：22.设对任意 0，曲线 yf()上点(，f()处的切线在 y 轴上的截距等于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f()C 1 lnC 2）解析：23.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的导数(Q 是法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 z 轴平行则该曲线为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：24.以 yOz 坐标面上的平面曲线段 yf(z)(0zh)绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和 Oy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 16cm 3 ，如果以 3cm 3 s 的速率把水注入容器，水表面的面积以cm 3 s 增大，试求曲线 yf()的方程 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yf(z)4*）解析：
