1、考研数学二（常微分方程）-试卷 2 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.-ln3B.ln3C.D.3.微分方程 y“-y“-6y=(x+1)e -2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e -2xB.ax 2 e -2xC.(ax 2 +bx)e -2xD.x 2 (ax+b)e -2x4.微分方程 y“-4y=
2、x+2 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_7.连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)=y(x)，且y= （分数：2.00）填空项 1:_9.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 xy“-yln(xy)-1=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.
3、微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.求微分方程 （分数：2.00）_16.求微分方程 xy“=yln （分数：2.00）_17.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解（分数：2.00）_18.设 x0 时，f(x)可导，且满足：f(x)= （分数：2.00
4、）_19.求微分方程 （分数：2.00）_20.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解（分数：2.00）_21.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_22.求微分方程 （分数：2.00）_23.求微分方程 （分数：2.00）_24.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_25.求微分方程 （分数：2.00）_26.求微分方程 （分数：2.00）_27.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解（分数：2.00）_28.
5、设 f(x)=e x - （分数：2.00）_29.求微分方程 xy“+3y“=0 的通解（分数：2.00）_30.设当 x0 时，f(x)满足 （分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）-试卷 2 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.-ln3B.ln3C.D. 解析：解析：由 2xydx+(x 2 -1)dy=0 得 =0
6、，积分得 ln(x 2 -1)+lny=lnC，从而 y= 由 y(0)=1 得 C=-1，于是 y= 故 3.微分方程 y“-y“-6y=(x+1)e -2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e -2xB.ax 2 e -2xC.(ax 2 +bx)e -2x D.x 2 (ax+b)e -2x解析：解析：因为原方程的特征方程的特征值为 1 =-2， 2 =3，而-2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(ax+b)e -2x ，选(C)4.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：微分方程 y“-4y=0 的特
7、征方程为 2 -4=0，特征值为-2，2，则方程 y“-4y=0 的通解为 C 1 e -2x +C 2 e 2x ，显然方程 y“-4y=x+2 有特解 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cosxe tanxdx dx+Ce -tanxdx =(x+C)cosx）解析：6.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x）解析：解析： 7.连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
8、案：正确答案：2e 3x ）解析：解析：由 8.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)=y(x)，且y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由y=9.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由10.微分方程 xy“-yln(xy)-1=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Cx）解析：解析：令 xy=u，y+xy“=11.微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 ，
9、两边积分得 u-lnu-lnx-lnC=0，解得 y=12.设连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2x -e x ）解析：解析： ，两边求导数得 f“(x)-2f(x)=e x ，解得 f(x)= 13.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 y“=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2 +lnC 1 ，或 y“=C 1 (2x+3) 2 ， 于是y= 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
10、步骤。（分数：2.00）_解析：15.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =1+x+y+xy 得 =(1+x)(1+y)，分离变量得 =(1+x)dx， 两边积分得 ln1+y=x+ )解析：16.求微分方程 xy“=yln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xy“= 变量分离得 )解析：17.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 令 y“=p，则原方程化为 方法二 xy“+2y“=e x 两边乘以 x 得 x 2 y“+2xy“=xe x ，即(x 2 y“)“=xe x ， 积分得 x 2 y“=(x-1)
11、e x +C 1 ，即 y“= 再积分得原方程通解为 )解析：18.设 x0 时，f(x)可导，且满足：f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)= 两边对 x 求导得 f(x)+xf“(x)=1+f(x)，解得 f“(x)= )解析：19.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：20.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(y-x 3 )dx-2xdy=0，得 )解析：21.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y
12、2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 得 )解析：22.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：23.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 由 ，解得 u 2 =lnxx+C，由 y(e)=2e,得 C=2，所求的通解为 y 2 =x 2 lnx 2 +2x 2 方法二 由 解得 z= )解析：24.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x 2 y“+xy=y 2 得 )解析：25.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：26.求微分方
13、程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x+y=u，则，于是有 )解析：27.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 y=e x 代入微分方程 xy“+P(x)y=x，得 P(x)=xe -x -x，原方程化为 y“+(e -x -1)y=1，则 y= ， 将 y(ln2)=0 代入 y= )解析：28.设 f(x)=e x - （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=e x - ，两边对 x 求导，得 f“(x)=e x - ，两边再对 x 求导得 f“(x)+f(x)=e x ，其通解为 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+ (x-t)f(t)dt 中，令 x=0 得 f(0)=1，在f“(x)=e x - 中，令 x=0 得 f“(0)=1，于是有 C 1 = )解析：29.求微分方程 xy“+3y“=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=p，则 )解析：30.设当 x0 时，f(x)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：
