1、考研数学二（导数与微分）模拟试卷 3 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f()在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)0，f()0，则 （分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.恒等于零D.非单调函数3.设 f()可导，则当0 时，ydy 是 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小4.设函数 f() （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续5.设
2、 f() （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导6.若 f()f()，且在(0，)内 f()0，f()0，则在(，0)内( )（分数：2.00）A.f()0，f()0B.f()0，f()0C.f()0，f()0D.f()0，f()07.f()在(，)内二阶可导，f()0， （分数：2.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零8.若 f()在 0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.0 是 f()的零点B.(0，f(0)是 yf()的拐点C.0 是 f()的极大值点D.0 是 f()的极小值点9.
3、设 f()在 0 的邻域内有定义，且 f(0)0，则 f()在 0 处可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.存在B.存在C.存在D.存在10.设 f()在(，)上有定义， 0 0 为函数 f()的极大值点，则( )（分数：2.00）A. 0 为 f()的驻点B. 0 为f()的极小值点C. 0 为f()的极小值点D.对一切的 有 f()f( 0 )二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11. y y ，则 y 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f()一阶可导，且 f(0)f(0)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.设
4、 f()为偶函数，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f()在 a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(a)存在且不等于零，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f()为奇函数，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_19.设 f()在 2 处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 y 2 ln，求 y (n)
5、 (n3)（分数：2.00）_22.设 f() （分数：2.00）_23.设 f() 0 1 ysin （分数：2.00）_24.设 f()连续，且对任意的 ，y(，)有 f(y)f()f(y)2y，f(0)1，求f()（分数：2.00）_25.设 f() （分数：2.00）_26.设 f()在 a 处二阶可导，证明： （分数：2.00）_27.设 f()连续，f(0)0，f(0)1，求 （分数：2.00）_28.设 （分数：2.00）_29.设 f()连续，且 g() 0 2 f(t)dt，求 g()（分数：2.00）_30.证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值
6、不一定保持可导性（分数：2.00）_31.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_32.设 f()在a，b上有定义，M0 且对任意的 ，ya，b，有f()f(y)M y k (1)证明：当 k0 时，f()在a，b上连续； (2)证明：当 k1 时，f()常数（分数：2.00）_考研数学二（导数与微分）模拟试卷 3 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f()在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)0，f()0，则 （
7、分数：2.00）A.单调增加B.单调减少 C.恒等于零D.非单调函数解析：解析： 令 h()f()f()，h(0)0，h()f()0(0a)， 由得 h()0(0a)， 于是 0(0a)，故3.设 f()可导，则当0 时，ydy 是 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小 B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为 f()可导，所以 f()可微分，即ydy0()，所以ydy 是 的高阶无穷小，选 A4.设函数 f() （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续 解析：解析：因为 f()0， f()f(0)0，所以 f()在 0 处连续； 由
8、0， 得 f()在 0 处可导，且 f(0)0； 当 0 时，f()3 2 sin cos ；当 0 时，f()2， 因为 5.设 f() （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导 解析：解析：因为 3f(1)， 所以 f()在 1 处连续 因为 3， 所以 f()在1 处可导 当 1 时，f()21，因为6.若 f()f()，且在(0，)内 f()0，f()0，则在(，0)内( )（分数：2.00）A.f()0，f()0B.f()0，f()0C.f()0，f()0 D.f()0，f()0解析：解析：因为 f()为奇函数，所以 f()为偶函数，故在(，0)
9、内有 f()0因为 f()为奇函数，所以在(，0)内 f()0，选 C7.f()在(，)内二阶可导，f()0， （分数：2.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零 C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零解析：解析：由8.若 f()在 0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.0 是 f()的零点B.(0，f(0)是 yf()的拐点C.0 是 f()的极大值点D.0 是 f()的极小值点 解析：解析：由 1 得 f(0)0， 由 19.设 f()在 0 的邻域内有定义，且 f(0)0，则 f()在 0 处可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.存在B.存在C.存在
10、D.存在解析：10.设 f()在(，)上有定义， 0 0 为函数 f()的极大值点，则( )（分数：2.00）A. 0 为 f()的驻点B. 0 为f()的极小值点 C. 0 为f()的极小值点D.对一切的 有 f()f( 0 )解析：解析：因为 yf()的图像与 yf()的图像关于 y 轴对称，所以 0 为 f()的极大值点，从而 0 为f()的极小值点，选 B二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11. y y ，则 y 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 y y ，得 ylnlny，两边求导数得 yln lny y，解得 y 12.设 f()
11、一阶可导，且 f(0)f(0)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 f()为偶函数，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，于是 f(1)2，15.设 f()在 a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10f(a)f(a)）解析：解析：因为 f()在 a 处可导，所以 f()在 a 处连续， 于是 f(a3h)f(a2h)16.设 f
12、(a)存在且不等于零，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设 f()为奇函数，且 f(1)2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 f()为奇函数，所以 f()为偶函数， 由 f( 3 )3 2 f( 3 )得 18.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a2）填空项 1:_ （正确答案：b2）填空项 1:_ （正确答案：c2）解析：解析：f(00) f()a，f(0)2，f(00)c， 因为 f()在 0 处连续，所以f(00)f(0)f(00)， 从而 a 一2，c2，即
13、 19.设 f()在 2 处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：8）解析：解析：因为 2，所以 f()0，再由 f()在 2 处的连续性得 f(2)0 由三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 y 2 ln，求 y (n) (n3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y (n) C 0 1 2 (ln) (n) C n 1 2.(ln) (n-1) C n 2 2.(ln) n-1 )解析：22.设 f() （分数：2.00）_正确答案
14、：(正确答案：令 f() 由 A(21)B(2)43 得 解得 A1，B2，)解析：23.设 f() 0 1 ysin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f() 0 1 ysin dy 0 (y)sinn dy 1 (y)sin dy 0 sin dy 0 ysin dy 1 sin dy 1 ysin dy， 则 f() 0 sin dy 1 sin dy，f()2sin )解析：24.设 f()连续，且对任意的 ，y(，)有 f(y)f()f(y)2y，f(0)1，求f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 y0 时，f(0)2f(0)，于是 f(0)0 对任意的 (，)
15、， )解析：25.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0f(). 得 f()0f(0)，故 f()在0 处连续 由 得 f - (0)1， 再由 )解析：26.设 f()在 a 处二阶可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 f()连续，f(0)0，f(0)1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： -a a f(a)d -a a (a)d -a a f(a)d(a) -a a f(a)d(a) 0 2a f()d -2a 0 f()d 0 2a f()d 0 -2a f()d， 又由 ln(1a)a o(a 2 )得 a0 时
16、 aln(1a) ，于是 )解析：28.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 两边对 求导数得 )解析：29.设 f()连续，且 g() 0 2 f(t)dt，求 g()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：g() 2 0 f(t)d(t) 2 0 f(u)du 2 0 f(u)du， g()2 0 f(u)du 2 f()解析：30.证明：连续函数取绝对值后函数仍保持连续性，举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f()在a，b上连续，令 g()f()，对任意的 0 a，b，有 0g()g( 0 )f()f( 0 )f()f(
17、0 )， 因为 f()在a，b上连续，所以 ()f( 0 )， 由迫敛定理得 )解析：31.举例说明函数可导不一定连续可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 当 0 时，f()2sin cos ，当 0 时，f(0) 0， 即 f() 因 )解析：32.设 f()在a，b上有定义，M0 且对任意的 ，ya，b，有f()f(y)M y k (1)证明：当 k0 时，f()在a，b上连续； (2)证明：当 k1 时，f()常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意的 0 a，b，由已知条件得 0f()f( 0 )M 0 k ， f()f( 0 )， 再由 0 的任意性得 f()在a，b上连续 (2)对任意的 0 a，b，因为 k1， 所以 0 )解析：
