1、考研数学二(导数与微分)模拟试卷 2 及答案解析(总分:66.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f( 0 )f( 0 )0,f( 0 )0,则下列正确的是( )(分数:2.00)A.f( 0 )是 f()的极大值B.f( 0 )是 f()的极大值C.f( 0 )是 f()的极小值D.( 0 ,f( 0 )是 yf()的拐点3.设 f() 3 a 2 b 在 1 处有极小值2,则( )(分数:2.00)A.a1,b2B.a1,b2C.a0,b3D.a0,b34.设 f(
2、) 3 1g(),其中 g()连续,则 g(1)0 是 f()在 1 处可导的( )(分数:2.00)A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件5.设 f()连续,且 F() (分数:2.00)A.B.f(ln)f(C.D.f(ln)(6.当 0,1时,f()0,则 f(0),f(1),f(1)f(0)的大小次序为( )(分数:2.00)A.f(0)f(1)一 f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(1)f(0)C.f(0)f(1)f(1)f(0)D.f(0)f(1)f(0)f(1)7.设 f()在0,)上连续,在(0,)内可导,则( )(分数:2.00)A.若 f()0,则
3、B.若 f()0,则C.若 f(),则D.若 f()A0,则8.设 f(),g()(ab)为大于零的可导函数,且 f()g()f()g()0,则当ab 时,有( )(分数:2.00)A.f()g()f(b)g()B.f()g(a)f(a)g()C.f()g()f(b)g(b)D.f()g)f(a)g(a)9.设 f()在 0 的某邻域内连续,若 (分数:2.00)A.不可导B.可导但 f(0)0C.取极大值D.取极小值10.设 f()连续,且 f(0)0,则存在 0,使得( )(分数:2.00)A.f()在(0,)内单调增加B.f()在(,0)内单调减少C.对任意的 (,0),有 f()f(0
4、)D.对任意的 (0,),有 f()f(0)二、填空题(总题数:9,分数:18.00)11.设 f()二阶连续可导,且 1,f(0)e,则 (分数:2.00)填空项 1:_12.设 f(u)可导,yf( 2 )在 0 1 处取得增量005 时,函数增量y 的线性部分为015,则 f(1) 1(分数:2.00)填空项 1:_13.设 y ,则 (分数:2.00)填空项 1:_14.设 (分数:2.00)填空项 1:_15.设函数 yy()由方程 e y cos(y)0 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_16.设 f() (分数:2.00)填空项 1:_17.设 f()ln(21),则 f
5、 (n) () 1(分数:2.00)填空项 1:_18.设 () (分数:2.00)填空项 1:_19.设 f()连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:14,分数:28.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_21.设 f() (分数:2.00)_22.设对一切的 ,有 f(1)2f(),且当 0,1时 f()( 2 1),讨论函数 f()在0 处的可导性(分数:2.00)_23.设 f() (分数:2.00)_24.设 0 cos(t) 2 dt 确定 y 为 的函数,求 (分数:2.00)_25.设 f()二阶可导,f(0)0,
6、令 g() (分数:2.00)_26.设 f() (分数:2.00)_27.求常数 a,b 使得 f() (分数:2.00)_28.设 f() (分数:2.00)_29.求下列导数: (1)设 y ,求 (2)设 y(1 2 ) tan ,求 (分数:2.00)_30.求下列导数: (1)设 yy()由 确定,求 (2)设 yy()由 确定,求 (分数:2.00)_31.设 f() (分数:2.00)_32.设 f() (分数:2.00)_33.设 yln(41),求 y (n) (分数:2.00)_考研数学二(导数与微分)模拟试卷 2 答案解析(总分:66.00,做题时间:90 分钟)一、选
7、择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 f( 0 )f( 0 )0,f( 0 )0,则下列正确的是( )(分数:2.00)A.f( 0 )是 f()的极大值B.f( 0 )是 f()的极大值C.f( 0 )是 f()的极小值D.( 0 ,f( 0 )是 yf()的拐点 解析:解析:因为 f( 0 )0,所以存在 0,当 0 0 时, 3.设 f() 3 a 2 b 在 1 处有极小值2,则( )(分数:2.00)A.a1,b2B.a1,b2C.a0,b3 D.a0,b3解析:解析:f()3 2 2ab
8、,因为 f()在 1 处有极小值2, 所以 4.设 f() 3 1g(),其中 g()连续,则 g(1)0 是 f()在 1 处可导的( )(分数:2.00)A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析:解析:设 g(1)0,f - (1) 0, f + ( 2 1)g()0, 因为f - (1)f + (1)0,所以 f()在 1 处可导 设 f()在 1 处可导, 5.设 f()连续,且 F() (分数:2.00)A. B.f(ln)f(C.D.f(ln)(解析:解析:F()f(ln).(ln)6.当 0,1时,f()0,则 f(0),f(1),f(1)f(0)的大小
9、次序为( )(分数:2.00)A.f(0)f(1)一 f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(1)f(0)C.f(0)f(1)f(1)f(0)D.f(0)f(1)f(0)f(1) 解析:解析:由拉格朗日中值定理得 f(1)f(0)f(c)(0c1), 因为 f()0,所以 f()单调增加,故 f(0)f(c)f(1), 即 f(0)f(1)f(0)f(1),应选 D7.设 f()在0,)上连续,在(0,)内可导,则( )(分数:2.00)A.若 f()0,则B.若 f()0,则C.若 f(),则D.若 f()A0,则 解析:8.设 f(),g()(ab)为大于零的可导函数,且 f()g()f(
10、)g()0,则当ab 时,有( )(分数:2.00)A.f()g()f(b)g() B.f()g(a)f(a)g()C.f()g()f(b)g(b)D.f()g)f(a)g(a)解析:解析:由 f()g()f()g()0 得 从而 为单调减函数 由 ab 得9.设 f()在 0 的某邻域内连续,若 (分数:2.00)A.不可导B.可导但 f(0)0C.取极大值D.取极小值 解析:解析:由 2 得 f(0)0, 由极限保号性,存在 0,当 0 时,10.设 f()连续,且 f(0)0,则存在 0,使得( )(分数:2.00)A.f()在(0,)内单调增加B.f()在(,0)内单调减少C.对任意的
11、 (,0),有 f()f(0)D.对任意的 (0,),有 f()f(0) 解析:解析:因为 f(0) 0, 所以由极限的保号性,存在 0,当 0 时,二、填空题(总题数:9,分数:18.00)11.设 f()二阶连续可导,且 1,f(0)e,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 1 得 f(0)0,f(0)1,12.设 f(u)可导,yf( 2 )在 0 1 处取得增量005 时,函数增量y 的线性部分为015,则 f(1) 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 dy2f( 2 ) 得 dy 1 2f(1)005
12、01f(1), 因为y的线性部分为 dy,由01f(1)015 得 f(1) 13.设 y ,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:14.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:15.设函数 yy()由方程 e y cos(y)0 确定,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:方程两边对 求导,得16.设 f() (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 f() 解得 A3,B2,即17.设 f()ln(21),则 f (n) () 1(分数:2.00
13、)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(1) n-1 (n1)! )解析:解析:f()ln21)(1ln(21)ln(1),18.设 () (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2 )解析:解析:() 2 f(t)dt tf(t)dt, ()2 f(t)dt2 3 f( 2 )2 3 f( 2 )2 f(t)dt ()2 19.设 f()连续,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:f())解析:解析: 0 tf(t)dt 0 (u)f(u)(du) 0 (u)f(u)du 0 f(u)du 0 uf(u)du 于是 tf(t)dt 0 f(u)du,故
14、 三、解答题(总题数:14,分数:28.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:21.设 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f()在 0 处连续,得 b0 由 f()在 0 处可导,得 a2,)解析:22.设对一切的 ,有 f(1)2f(),且当 0,1时 f()( 2 1),讨论函数 f()在0 处的可导性(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 1,0时,f() f(1) (1)( 2 2), )解析:23.设 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 0 时,f() ,当 0 时,f()cos,由 得 f(0
15、)1,则 容易验证 )解析:24.设 0 cos(t) 2 dt 确定 y 为 的函数,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 cos(t) 2 dt 0 cosu 2 (du) 0 cost 2 dt, 等式 0 cost 2 dt 两边对 求导, 得 cos 2 , 于是 )解析:25.设 f()二阶可导,f(0)0,令 g() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为 f(0)g(0), 所以 g()在 0 处连续 当 0 时,g() ; 当 0 时,由 得 g(0) f(0),即 )解析:26.设 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当1 时,f(
16、) ; 当 1 时,f()1;当 1 时,f()1; 则 f()在 1 处不连续,故也不可导 由 f(10)f(10)f(1)0 得f()在 1 处连续 因为 所以 f()在 1 处也不可导,故 )解析:27.求常数 a,b 使得 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f()在 0 处可导,所以 f()在 0 处连续,从而有 f(00)2af(0)f(00)3b, 由 f()在 0 处可导,则 32a106b,解得a ,b )解析:28.设 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 0 时,f() 当 0 时, )解析:29.求下列导数: (1)设 y ,求 (2
17、)设 y(1 2 ) tan ,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:30.求下列导数: (1)设 yy()由 确定,求 (2)设 yy()由 确定,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: ln(t)t 一 1 两边对 t 求导得 e y y1 两边对 t 求导得,)解析:31.设 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(00)b,f(0)f(00)0,由 f()在 0 处连续得 b0; )解析:32.设 f() (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:33.设 yln(41),求 y (n) (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:y 4(41) -1 , y4 2 ).(1)(41) 2 ,y4 3 .(1)(2)(41) -3 , 由归纳法得 )解析: