1、考研数学二（导数与微分）模拟试卷 2 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f( 0 )f( 0 )0，f( 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f( 0 )是 f()的极大值B.f( 0 )是 f()的极大值C.f( 0 )是 f()的极小值D.( 0 ，f( 0 )是 yf()的拐点3.设 f() 3 a 2 b 在 1 处有极小值2，则( )（分数：2.00）A.a1，b2B.a1，b2C.a0，b3D.a0，b34.设 f(
2、) 3 1g()，其中 g()连续，则 g(1)0 是 f()在 1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件5.设 f()连续，且 F() （分数：2.00）A.B.f(ln)f(C.D.f(ln)(6.当 0，1时，f()0，则 f(0)，f(1)，f(1)f(0)的大小次序为( )（分数：2.00）A.f(0)f(1)一 f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(1)f(0)C.f(0)f(1)f(1)f(0)D.f(0)f(1)f(0)f(1)7.设 f()在0，)上连续，在(0，)内可导，则( )（分数：2.00）A.若 f()0，则
3、B.若 f()0，则C.若 f()，则D.若 f()A0，则8.设 f()，g()(ab)为大于零的可导函数，且 f()g()f()g()0，则当ab 时，有( )（分数：2.00）A.f()g()f(b)g()B.f()g(a)f(a)g()C.f()g()f(b)g(b)D.f()g)f(a)g(a)9.设 f()在 0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f(0)0C.取极大值D.取极小值10.设 f()连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f()在(0，)内单调增加B.f()在(，0)内单调减少C.对任意的 (，0)，有 f()f(0
4、)D.对任意的 (0，)，有 f()f(0)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设 f()二阶连续可导，且 1，f(0)e，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(u)可导，yf( 2 )在 0 1 处取得增量005 时，函数增量y 的线性部分为015，则 f(1) 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.设函数 yy()由方程 e y cos(y)0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f()ln(21)，则 f
5、 (n) () 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 () （分数：2.00）填空项 1:_19.设 f()连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 f() （分数：2.00）_22.设对一切的 ，有 f(1)2f()，且当 0，1时 f()( 2 1)，讨论函数 f()在0 处的可导性（分数：2.00）_23.设 f() （分数：2.00）_24.设 0 cos(t) 2 dt 确定 y 为 的函数，求 （分数：2.00）_25.设 f()二阶可导，f(0)0，
6、令 g() （分数：2.00）_26.设 f() （分数：2.00）_27.求常数 a，b 使得 f() （分数：2.00）_28.设 f() （分数：2.00）_29.求下列导数： (1)设 y ，求 (2)设 y(1 2 ) tan ，求 （分数：2.00）_30.求下列导数： (1)设 yy()由 确定，求 (2)设 yy()由 确定，求 （分数：2.00）_31.设 f() （分数：2.00）_32.设 f() （分数：2.00）_33.设 yln(41)，求 y (n) （分数：2.00）_考研数学二（导数与微分）模拟试卷 2 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选
7、择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f( 0 )f( 0 )0，f( 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f( 0 )是 f()的极大值B.f( 0 )是 f()的极大值C.f( 0 )是 f()的极小值D.( 0 ，f( 0 )是 yf()的拐点 解析：解析：因为 f( 0 )0，所以存在 0，当 0 0 时， 3.设 f() 3 a 2 b 在 1 处有极小值2，则( )（分数：2.00）A.a1，b2B.a1，b2C.a0，b3 D.a0，b3解析：解析：f()3 2 2ab
8、，因为 f()在 1 处有极小值2， 所以 4.设 f() 3 1g()，其中 g()连续，则 g(1)0 是 f()在 1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析：设 g(1)0，f - (1) 0， f + ( 2 1)g()0， 因为f - (1)f + (1)0，所以 f()在 1 处可导 设 f()在 1 处可导， 5.设 f()连续，且 F() （分数：2.00）A. B.f(ln)f(C.D.f(ln)(解析：解析：F()f(ln).(ln)6.当 0，1时，f()0，则 f(0)，f(1)，f(1)f(0)的大小
9、次序为( )（分数：2.00）A.f(0)f(1)一 f(0)f(1)B.f(0)f(1)f(1)f(0)C.f(0)f(1)f(1)f(0)D.f(0)f(1)f(0)f(1) 解析：解析：由拉格朗日中值定理得 f(1)f(0)f(c)(0c1)， 因为 f()0，所以 f()单调增加，故 f(0)f(c)f(1)， 即 f(0)f(1)f(0)f(1)，应选 D7.设 f()在0，)上连续，在(0，)内可导，则( )（分数：2.00）A.若 f()0，则B.若 f()0，则C.若 f()，则D.若 f()A0，则 解析：8.设 f()，g()(ab)为大于零的可导函数，且 f()g()f(
10、)g()0，则当ab 时，有( )（分数：2.00）A.f()g()f(b)g() B.f()g(a)f(a)g()C.f()g()f(b)g(b)D.f()g)f(a)g(a)解析：解析：由 f()g()f()g()0 得 从而 为单调减函数 由 ab 得9.设 f()在 0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f(0)0C.取极大值D.取极小值 解析：解析：由 2 得 f(0)0， 由极限保号性，存在 0，当 0 时，10.设 f()连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f()在(0，)内单调增加B.f()在(，0)内单调减少C.对任意的
11、 (，0)，有 f()f(0)D.对任意的 (0，)，有 f()f(0) 解析：解析：因为 f(0) 0， 所以由极限的保号性，存在 0，当 0 时，二、填空题(总题数：9，分数：18.00)11.设 f()二阶连续可导，且 1，f(0)e，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 1 得 f(0)0，f(0)1，12.设 f(u)可导，yf( 2 )在 0 1 处取得增量005 时，函数增量y 的线性部分为015，则 f(1) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 dy2f( 2 ) 得 dy 1 2f(1)005
12、01f(1)， 因为y的线性部分为 dy，由01f(1)015 得 f(1) 13.设 y ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设函数 yy()由方程 e y cos(y)0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程两边对 求导，得16.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 f() 解得 A3，B2，即17.设 f()ln(21)，则 f (n) () 1（分数：2.00
13、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1) n-1 (n1)! ）解析：解析：f()ln21)(1ln(21)ln(1)，18.设 () （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 ）解析：解析：() 2 f(t)dt tf(t)dt, ()2 f(t)dt2 3 f( 2 )2 3 f( 2 )2 f(t)dt ()2 19.设 f()连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f()）解析：解析： 0 tf(t)dt 0 (u)f(u)(du) 0 (u)f(u)du 0 f(u)du 0 uf(u)du 于是 tf(t)dt 0 f(u)du，故
14、 三、解答题(总题数：14，分数：28.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()在 0 处连续，得 b0 由 f()在 0 处可导，得 a2，)解析：22.设对一切的 ，有 f(1)2f()，且当 0，1时 f()( 2 1)，讨论函数 f()在0 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 1，0时，f() f(1) (1)( 2 2)， )解析：23.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0 时，f() ，当 0 时，f()cos，由 得 f(0
15、)1，则 容易验证 )解析：24.设 0 cos(t) 2 dt 确定 y 为 的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 cos(t) 2 dt 0 cosu 2 (du) 0 cost 2 dt， 等式 0 cost 2 dt 两边对 求导， 得 cos 2 ， 于是 )解析：25.设 f()二阶可导，f(0)0，令 g() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 f(0)g(0)， 所以 g()在 0 处连续 当 0 时，g() ； 当 0 时，由 得 g(0) f(0)，即 )解析：26.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当1 时，f(
16、) ； 当 1 时，f()1；当 1 时，f()1； 则 f()在 1 处不连续，故也不可导 由 f(10)f(10)f(1)0 得f()在 1 处连续 因为 所以 f()在 1 处也不可导，故 )解析：27.求常数 a，b 使得 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在 0 处可导，所以 f()在 0 处连续，从而有 f(00)2af(0)f(00)3b， 由 f()在 0 处可导，则 32a106b，解得a ，b )解析：28.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0 时，f() 当 0 时， )解析：29.求下列导数： (1)设 y ，求 (2
17、)设 y(1 2 ) tan ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求下列导数： (1)设 yy()由 确定，求 (2)设 yy()由 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ln(t)t 一 1 两边对 t 求导得 e y y1 两边对 t 求导得，)解析：31.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(00)b，f(0)f(00)0，由 f()在 0 处连续得 b0； )解析：32.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设 yln(41)，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y 4(41) -1 ， y4 2 ).(1)(41) 2 ，y4 3 .(1)(2)(41) -3 ， 由归纳法得 )解析：
