1、考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 2 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2010 年)设函数 zz(，y)由方程 F( )0 确定，其中 F 为可微函数，且 F 2 0，则 （分数：2.00）A.B.zC.D.z3.(2010 年) （分数：2.00）A.B.C.D.4.(2011 年)设函数 f()，g()均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f(0)g(0)0，则函数 zf()g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个
2、充分条件是 【 】（分数：2.00）A.f(0)0，g(0)0B.f(0)0，g(0)0C.f(0)0，g(0)0D.f(0)0，g(0)05.(2012 年)设函数 f(，y)可微，且对任意 ，y 都有型 （分数：2.00）A. 1 2 ，y 1 y 2B. 1 2 ，y 1 y 2C. 1 2 ，y 1 y 2D. 1 2 ，y 1 y 26.(2012 年)设区域 D 由曲线 ysin ，y1 围成，则 （分数：2.00）A.B.2C.2D.7.(2013 年)设 z f(y)，其中函数 f 可微，则 （分数：2.00）A.2yf(y)B.2yf(y)C.f(y)D.8.(2013 年)
3、设 D k 是圆域 D(，y) 2 y 2 1)在第 k 象限的部分，记 I K （分数：2.00）A.I 1 0B.I 2 0C.I 3 0D.I 4 09.(2014 年)设函数 u(，y)在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 0及 （分数：2.00）A.u(，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得B.u(，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得C.u(，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值都在 D 的边界上取得D.u(，y)的最小值在 D 的内部取得，最大值都在 D 的边界上取得10.(2015 年)设函数 f(u，v)满足 f(y， ) 2 y
4、 2 ，则 （分数：2.00）A.，0B.0，C.D.0，11.(2015 年)设 D 是第一象限中由曲线 2y1，4y1 与直线 y，y 围成的平面区域，函数 f(，y)在 D 上连续，则 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)12.(2014 年)设 zz(，y)是由方程 e 2yz y 2 z 确定的函数，则 dz （分数：2.00）填空项 1:_13.(2015 年)若函数 zz(，y)由方程 e 2y3z yz1 确定，则 dz (0，0) 1（分数：2.00）填空项 1:_14.(2011 年)设平面区域 D 由直线 y，圆 2 y 2 2y 及
5、 y 轴所围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.(2010 年)设函数 uf(，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 0确定 a，b 的值，使等式在变换 ay，by 下简化为 （分数：2.00）_17.(2010 年)计算二重积分 I ，其中 D(r，)0rsec，0 （分数：2.00）_18.(2011 年)设函数 zf(y，yg()，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g()可导且在 1处取得极值 g(1)1求 （分数：2.00）_19.(2011 年)已
6、知函数 f(，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)0，f(，1)0， (，y)ddya，其中 D(，y)01，0y1)，计算二重积分 I （分数：2.00）_20.(2012 年)求函数 f(，y) （分数：2.00）_21.(2012 年)计算二重积 （分数：2.00）_22.(2013 年)求曲线 3 yy 3 1(0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离（分数：2.00）_23.(2013 年)设平面区域 D 由直线 3y，y3y 及 y8 围成，计算 （分数：2.00）_24.(2014 年)设平面区域 D(，y)1 2 y 2 4，0，y0，计算 （分数：2.00）_25.
7、(2015 年)已知函数 f(，y)满足 f(，y)2(y1)e ，f(，0)(1)e ，f(0，y)y 2 2y，求 f(，y)的极值（分数：2.00）_26.(2015 年)计算二重积分 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 2 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2010 年)设函数 zz(，y)由方程 F( )0 确定，其中 F 为可微函数，且 F 2 0，则 （分数：2.00）A.B.z C.D.z解析：解
8、析：由隐函数求导公式得3.(2010 年) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：4.(2011 年)设函数 f()，g()均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f(0)g(0)0，则函数 zf()g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是 【 】（分数：2.00）A.f(0)0，g(0)0 B.f(0)0，g(0)0C.f(0)0，g(0)0D.f(0)0，g(0)0解析：解析： 5.(2012 年)设函数 f(，y)可微，且对任意 ，y 都有型 （分数：2.00）A. 1 2 ，y 1 y 2B. 1 2 ，y 1 y 2C. 1 2 ，y 1 y 2D.
9、1 2 ，y 1 y 2 解析：解析：由于偏导数本质上就是一元函数导数，则由型 6.(2012 年)设区域 D 由曲线 ysin ，y1 围成，则 （分数：2.00）A.B.2C.2D. 解析：解析：作辅助线 ysin( 0)如图，将区域 D 分为两部分 D 1 和 D 2 ，其中 D 1 关于 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，而 y 5 分别关于变量 和 y 都是奇函数，则 7.(2013 年)设 z f(y)，其中函数 f 可微，则 （分数：2.00）A.2yf(y) B.2yf(y)C.f(y)D.解析：解析：8.(2013 年)设 D k 是圆域 D(，y) 2 y 2 1)在第 k
10、 象限的部分，记 I K （分数：2.00）A.I 1 0B.I 2 0 C.I 3 0D.I 4 0解析：解析：由于 D 1 和 D 3 关于直线 y 对称，则 而在 D 2 上，y0，在 D 4 上y0，则 I 2 0，I 4 0 故应选 B 9.(2014 年)设函数 u(，y)在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 0及 （分数：2.00）A.u(，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 B.u(，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得C.u(，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值都在 D 的边界上取得D.u(，y)的最小值在 D 的内部取得，最
11、大值都在 D 的边界上取得解析：解析： 由题设 10.(2015 年)设函数 f(u，v)满足 f(y， ) 2 y 2 ，则 （分数：2.00）A.，0B.0，C.D.0， 解析：解析：11.(2015 年)设 D 是第一象限中由曲线 2y1，4y1 与直线 y，y 围成的平面区域，函数 f(，y)在 D 上连续，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题设知积分域 D 如图所示，曲线 2y1，4y1 在极坐标下方程分别为 2r 2 cossin1，4r 2 cossin1 即 ， 直线 y，y 在极坐标下的方程为 ，则 故应选 B 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)12
12、.(2014 年)设 zz(，y)是由方程 e 2yz y 2 z 确定的函数，则 dz （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(ddy)）解析：解析：将 y 代入 e 2yz y 2 z 得 13.(2015 年)若函数 zz(，y)由方程 e 2y3z yz1 确定，则 dz (0，0) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(d2dy)）解析：解析：将 0，y0 代入 e 2y3z yz1 中得 e 3z 1，则 z0 方程 e 2y3z yz1 两端微分得 e 2y3z (d2dy3dz)yzdzdyydz0 将 0，y0，z0 代入上式得 d
13、2dy3dz0 则 dz (1，0) 14.(2011 年)设平面区域 D 由直线 y，圆 2 y 2 2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：12，分数：24.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.(2010 年)设函数 uf(，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 0确定 a，b 的值，使等式在变换 ay，by 下简化为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 将以上各式代入原等式，得 由题意，令 由 10ab12(ab)80，舍去 故 a2，b 或
14、 a )解析：17.(2010 年)计算二重积分 I ，其中 D(r，)0rsec，0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，积分区域 D 如图所示，将积分化为直角坐标系下的二重积分为 )解析：18.(2011 年)设函数 zf(y，yg()，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g()可导且在 1处取得极值 g(1)1求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 g(1)0 )解析：19.(2011 年)已知函数 f(，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)0，f(，1)0， (，y)ddya，其中 D(，y)01，0y1)，计算二重积分 I （分数：2.00）_正
15、确答案：(正确答案：因为 f(1，y)0，f(，1)0，所以 f y (1，y)0，f (，1)0 从而 )解析：20.(2012 年)求函数 f(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 ，得驻点(1，0)和(1，0) 在点(1，0)处，由于 B 2 AC2e -1 0，A2 0 所以 f(1，0) 是 f(，y)的极大值 在点(1，0)处，由于 B 2 AC2e -1 0，A2 0 所以 f(1，0) )解析：21.(2012 年)计算二重积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.(2013 年)求曲线 3 yy 3 1(0，y0)上的点到坐标原点的最长距
16、离与最短距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设(，y)为曲线上的点，目标函数为 f(，y) 2 y 2 ，构造拉格朗日函数 L(，y，) 2 y 2 ( 3 yy 3 1) 当 0，y0 时，由，得 ，即 3y(y)(y)(y)，得 y，或 3y(y)(由于 0，y0，舍去) 将 y 代入得 2 3 2 10，即(2 2 1)(1)0， 所以(1，1)为唯一可能的极值点，此时 ； 当 0，y1 或 1，y0 时， 1 故所求最长距离为 )解析：23.(2013 年)设平面区域 D 由直线 3y，y3y 及 y8 围成，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.(
17、2014 年)设平面区域 D(，y)1 2 y 2 4，0，y0，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于积分域 D 关于直线 y 对称，则 )解析：25.(2015 年)已知函数 f(，y)满足 f(，y)2(y1)e ，f(，0)(1)e ，f(0，y)y 2 2y，求 f(，y)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f y 2(y1)e ，得 f (y1) 2 e () 因为 f (，0)(1)e ，所以 e ()(1)e 得 ()e ，从而 f (y1) 2 e e 对 积分得 f(，y)(y1) 2 e (1)e (y) 因为 f(0，y)y 2 2y，所以 (y)0，从而 f(，y)(y 2 2y)e 于是 f y (2y2)e ，f (y 2 2y2)e ，f2e 令 f 0，f y 0，得驻点(0，1)，所以 Af (0，1)1，Bf y (0，1)0，Cf yy (0，1)2 由于 ACB 2 0，A0，所以极小值为 f(0，1)1)解析：26.(2015 年)计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为区域 D 关于 y 轴对称，所以 yddy0 )解析：
