1、考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 5 及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.3.累次积分 （分数：2.00）A.B.C.D.4.，则积分域为( ) （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2 。B.x 2 +y 2 a 2 (x0)。C.x 2 +y 2 ax。D.x 2 +y 2 ax(y0)。5.设函数 f(t)连续，则二重积分 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设有平面
2、闭区域，D=(x，y)|一 axa，xya，D 1 =(x，y)|0xa，xya，则 （分数：2.00）A.B.C.D.07.设区域 D 由曲线 围成，则 （分数：2.00）A.。B.2。C.一 2。D.一 。8.设 f(x，y)连续，且 （分数：2.00）A.xy。B.2xy。C.D.xy+1。9.设 f(x，y)连续，且 其中 D 表示区域 0x1，0y1，则 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 4，x0,y0f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.ab。B.C.(a+b)。D.二、填空题(总题数：8，分数：
3、16.00)11.已知极坐标系下的累次积分 （分数：2.00）填空项 1:_12.设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.D 是顶点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 （分数：2.00）填空项 1:_16.D 是圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 D
4、为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.其中 D 由 y 轴， 围成。 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.计算二重积分 ，其中 D 是由 x 轴，y 轴与曲线 （分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.计算二重积分 （分数：2.00）_23.计算二重积分 其中 （分数：2.00）_24.设 D=(x，y)|(x 一 1) 2 +(y1) 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_25.求二重积分 （分数：2.00）_
5、26.计算 （分数：2.00）_27.计算 （分数：2.00）_28.计算二重积分 （分数：2.00）_29.计算二重积分 （分数：2.00）_30.设 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。计算二重积分 （分数：2.00）_31.设二元函数 计算二重积分 （分数：2.00）_32.计算二重积分 ，其中 D 由曲线 与直线 及 （分数：2.00）_33.求 其中 D 是由圆 x 2 +y 2 =4 和(x+1) 2 +y 2 =1 所围成的平面区域(如图 l-4-2)。 （分数：2.00）_34.计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线
6、（分数：2.00）_35.计算积分 （分数：2.00）_36.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_37.计算二重积分 （分数：2.00）_38.求下列积分。 (I)设 f(x)= 1 -x e -y2 dy，求 0 1 x 2 f(x)dx； ()设函数 f(x)在0，1连续且 0 1 f(x)dx=A，求 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy。（分数：2.00）_39.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_40.设
7、函数 f(x)在区间0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=A，,求 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)dy。（分数：2.00）_考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 5 答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题设可知，积分区域 D 如图 146 所示，则3.累次积分 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由累次积分 可知，积分区域 D 为 由 r=co
8、s 为圆心在 x 轴上，直径为 1 的圆可作出 D 的图形如图 147 所示。该圆的直角坐标方程为 故用直角坐标表示区域 D 为 可见A、B、C 均不正确，故选 D。4.，则积分域为( ) （分数：2.00）A.x 2 +y 2 a 2 。B.x 2 +y 2 a 2 (x0)。C.x 2 +y 2 ax。 D.x 2 +y 2 ax(y0)。解析：解析：由 r=acos 知 r 2 =arcos，即 x 2 +y 2 =ax(a0)，故选 C。5.设函数 f(t)连续，则二重积分 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x 2 +y 2 =4
9、，而 r=2cos 在直角坐标系中的方程为x 2 +y 2 =2x，即(x 一 1) 2 +y 2 =1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得 6.设有平面闭区域，D=(x，y)|一 axa，xya，D 1 =(x，y)|0xa，xya，则 （分数：2.00）A. B.C.D.0解析：解析：将闭区间 D=(x，y)|一 axa，xya用直线 y=一 x 其分成两部分 D 2 和 D 3 ，如图1-48 所示，其中 D 2 关于 y 轴对称，D 3 关于 x 轴对称，xy 关于 x 和 y 均为奇函数，所以在 D 2 和 D 3 上，均有 而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关
10、于 y 的奇函数，在 D 3 积分不为零，在 D 2 积分值为零，因此 所以 故选项 A 正确。 7.设区域 D 由曲线 围成，则 （分数：2.00）A.。B.2。C.一 2。D.一 。 解析：解析：区域 D 如图 1 一 49 中阴影部分所示，引入曲线 y=一 sinx 将区域分为 D 1 ，D 2 ，D 3 ，D 4 四部分。由于 D 1 ，D 2 关于 y 轴对称，可知在 D 1 D 2 上关于 x 的奇函数积分为零，故 ；又由于 D 3 ，D 4 关于戈轴对称，可知在 D 3 D 4 上关于 y 的奇函数为零，故 。因此 故选 D。 8.设 f(x，y)连续，且 （分数：2.00）A.
11、xy。B.2xy。C. D.xy+1。解析：解析：等式 两端积分得9.设 f(x，y)连续，且 其中 D 表示区域 0x1，0y1，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 于是10.设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 4，x0,y0f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 （分数：2.00）A.ab。B.C.(a+b)。D. 解析：解析：由根据轮换对称性可得二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.已知极坐标系下的累次积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先将 I 表示成 ，用 D 的极坐标表示 因此可知区域 如图
12、1415 所示：如果按照先 y 后 x 的积分次序，则有 因此可得12.设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y 及 y 轴所围成，则二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题可以利用极坐标变换， ，因此13.设 D=(x，y)|x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用函数奇偶性及轮换对称性14.D 是顶点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：积分区域可以表示为 D=
13、(x，y)0y1+x，0x1，则 利用换元法，令1+c=t，x0，1时，t1，2，则15.设 f(x，y)连续，且 ，其中 D 是由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先令 ，则 A 为常数，此时 f(x，y)=x+Ay。16.D 是圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：圆周 x 2 +y 2 =Rx 所围成的闭区域用极坐标表示为 17.设 D 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知
14、，18.其中 D 由 y 轴， 围成。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数：22，分数：44.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.计算二重积分 ，其中 D 是由 x 轴，y 轴与曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 1417 的阴影部分所示。 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于积分区域关于 x 轴对称，3e x siny 关于 y 为奇函数，故 )解析：22.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，
15、)解析：23.计算二重积分 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图 1418 所示。D=(x，y)0x1，0yx， )解析：24.设 D=(x，y)|(x 一 1) 2 +(y1) 2 =2，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 1 一 419 所示，D 的极坐标表示是：0，0r2(1+cos)，因此 )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 l 一 420 所示，在极坐标中 )解析：27.计算 （分数：
16、2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是正方形区域(如图 1_421)。因在 D 上被积函数分块表示为 于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分成两块：D=D 1 D 2 ，D 1 =Dyx，D 2 =Dyz。则有 )解析：29.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 1，(x，y)D，D 2 =(x，y)|x 2 +y 2 1，(x，y)D因此 )解析：30.设 ，x0，y0，1+x 2 +y 2 表示不超过 1+x 2 +y 2 的最大整数。计算二重积分 （分
17、数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)0x 2 +y 2 1，x0，y0，D 2 =(x，y)1x 2 +y 2 2，x0，y0。 则有 )解析：31.设二元函数 计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为被积函数关于 x，y 均为偶函数，且积分区域关于 x，y 轴均对称，所以 其中 D 1 为 D 在第一象限内的部分。 )解析：32.计算二重积分 ，其中 D 由曲线 与直线 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 1-4-22 所示，D=D 1 D 2 ，其中 )解析：33.求 其中 D 是由圆 x 2 +y 2 =4 和(x+1
18、) 2 +y 2 =1 所围成的平面区域(如图 l-4-2)。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 4，D 2 =(x，y)(x+1) 2 +y 2 1(如图 1423 所示)。 )解析：34.计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由 y 轴与曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入极坐标(r，)满足 x=rcos，y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D 可表示为 )解析：35.计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得 )解析：36.设区域 D=(x，y
19、)|x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 1424 所示。因为区域 D 关于 x 轴对称，函数 是变量y 的偶函数，函数 是变量 y 的奇函数。则取 D 1 =Dy0， )解析：37.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，积分区域是如图 1425 所示的六边形区域，且 D=D 1 +D 2 ，其中D 1 =(x，y)0x1，1 一 x)，2，D 2 =(x，y)1x2，0)，3 一 x。于是 )解析：38.求下列积分。 (I)设 f(x)= 1 -x e -y2 dy，求 0 1 x 2 f(x)dx
20、； ()设函数 f(x)在0，1连续且 0 1 f(x)dx=A，求 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将二重积分 ,转化为累次积分可得 首先考虑 0 1 xyf xy “(x，y)dx，注意这里把变量 y 看作常数，故有 0 1 xyf xy “(x，y)dx=y 0 1 xdf y “(x，y) =xyf y “(x,y) 0 1 一 0 1
21、 yf y “(x,y)dx =yf y “(1,y)一 0 1 yf y “(x,y)dx。 由 f(1，y)=f y “(x，1)=0 易知 f“(1，y)=f y “(x，1)=0。所以 0 1 xyf xy “(x,y)dx=一 0 1 yf y “(x，y)dx。 因此 对该积分交换积分次序可得， 一 0 1 dyyf y “(x，y)dx= 0 1 dx 0 1 yf y “(x，y)dy。 再考虑积分 0 1 yf y “(x，y)dy，注意这里把变量 x 看作常数，故有 0 1 yf y “(x，y)dy= 0 1 ydf(x，y) =yf(x,y) 0 1 一 0 1 f(x，y)dy =一 0 1 f(x)dy， 因此 = 0 1 dx 0 1 f(x,y)dy )解析：40.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=A，,求 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)dy。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：交换积分次序可得 0 1 dx x 1 f(x)f(y)dy= 0 1 dy 0 y f(x)f(y)dx = 0 1 dx 0 x f(y)f(x)dy，因此，可得 )解析：
