1、考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 3 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处两个偏导数连续 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.二元函数 f(x，y)= （分数
2、：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在4.设函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且 g(0，0)=0，则在点(0，0)处( )（分数：2.00）A.f x “(0，0)与 f y “(0，0)都不存在B.f x “(0，0)与 f y “(0，0)都存在，但都不为 0C.f x “(0，0)=0，f y “(0，0)=0，但 f(x，y)不可微D.f(x，y)可微，且 df(x，y)| (0,0) =05.设 u=u(x，y)为二元可微函数，且满足 ，则当 x0 时， （分数：
3、2.00）A.一 1B.C.1D.6.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：2.00）A.点(0，0)不是函数 f(x，y)的极值点B.点(0，0)是函数 f(x，y)的极大值点C.点(0，0)是函数 f(x，y)的极小值点D.根据条件无法判别点(0，0)是否为函数 f(x，y)的极值点7.设函数 f(x)具有二阶连续的导数，且 f(x)0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极大值的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.f(0)1，f“(0)0B.f(0)1，f“(0)0C.f(0)1，f“(0)0D.f(0)1，f“(0)08.
4、设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上是 C (2) 类函数，且满足 （分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上二、填空题(总题数：2，分数：4.00)9.设函数 f，g 均可微，z=f(xy，ln x+g(xy)，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 z=z(x，y)由方程 z=e 2x-3z +2y 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设函数 f(x，y)= （分数：2.00）_13.求 z=x+(y-1)arcsin （分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15.设 x=e u cosv，y=e u sinv，z=uv试求 （分数：2.00）_16.设 z=sin(xy) xy ，求 dz（分数：2.00）_17.设 z=f(2xy，ysinx)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_18.设 z=xf(x，u，v)，u=ln(cos x)，v=x sin y ，其中 f 可微，求 （分数：2.00）_19.已知 z=u(x，y)e ax+by
6、，且 ，试确定常数 a，b，使得 （分数：2.00）_20.设变换 （分数：2.00）_21.由方程 （分数：2.00）_22.设方程组 确定函数 u=u(x，y)，v=v(x，y)，求 （分数：2.00）_23.设 u=f(x，y，z)具有连续的一阶偏导数，又 y=y(x)，z=z(x)分别由 e xy 一 xy=2 和 所确定，求 （分数：2.00）_24.设 y=g(x，z)，而 z 是由方程 f(x-z，xy)=0 所确定的 x，y 的函数，求 （分数：2.00）_25.设函数 f(x)在(0，+)内具有二阶连续导数，且 （分数：2.00）_26.设函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数
7、，且满足 f(0，0)=1，f x “(0，0)=2，f y “(0，y)=一 3 以及 f xx “(x，y)=y，f xy “(x，y)=x+y，求 f(x，y)的表达式（分数：2.00）_27.求函数 z=x 4 +y 4 一 x 2 一 2xyy 2 的极值（分数：2.00）_28.证明：函数 z=(1+e y )cos x-ye y 有无穷多个极大值而无极小值（分数：2.00）_29.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 在约束条件 x 2 +y 2 =1 下的最大值和最小值（分数：2.00）_30.求椭圆 x 2 +4y 2 =4 上一点，使其到直线 2x+3y 一 6=0 的
8、距离最短（分数：2.00）_31.给定椭球体 （分数：2.00）_32.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy，并且 f(1，1)=2求 z=f(x，y)在椭圆域 D= （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 3 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处连续 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处两个偏导数连续 f(x，
9、y)在点(x 0 ，y 0 )处可微 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处的两个偏导数存在 若用“ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据二元函数的连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系，由于“偏导数连续必可微”，而“可微必连续”，故应选(A)3.二元函数 f(x，y)= （分数：2.00）A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在解析：解析：由偏导数的定义知 f x “(0，0)= 同理 f y “(0，0)=0，故 f(x，y)在(0，0)处偏导数存在 又当(x，y)沿 y
10、=kx 趋向(0，0)点时， k 取不同值，该极限值也不同，所以极限 4.设函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且 g(0，0)=0，则在点(0，0)处( )（分数：2.00）A.f x “(0，0)与 f y “(0，0)都不存在B.f x “(0，0)与 f y “(0，0)都存在，但都不为 0C.f x “(0，0)=0，f y “(0，0)=0，但 f(x，y)不可微D.f(x，y)可微，且 df(x，y)| (0,0) =0 解析：解析： 即 f x “(0，0)=0同理 f y “(0，0)=0，排除(A)，(B) f=f(0
11、+x，0+y)-f(0，0)=|x 一y|g(x，y)， f-f x (0，0)x+f y “(0，0)y=|x 一y|g(x，y)， 5.设 u=u(x，y)为二元可微函数，且满足 ，则当 x0 时， （分数：2.00）A.一 1B. C.1D.解析：6.已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 （分数：2.00）A.点(0，0)不是函数 f(x，y)的极值点 B.点(0，0)是函数 f(x，y)的极大值点C.点(0，0)是函数 f(x，y)的极小值点D.根据条件无法判别点(0，0)是否为函数 f(x，y)的极值点解析：解析： 又因为 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连
12、续， 由极限与无穷小的关系知f(x，y)=xy+(x 2 +y 2 ) 2 +(x 2 +y 2 )，其中 7.设函数 f(x)具有二阶连续的导数，且 f(x)0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极大值的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.f(0)1，f“(0)0B.f(0)1，f“(0)0 C.f(0)1，f“(0)0D.f(0)1，f“(0)0解析：解析： 因为函数 f(x)具有二阶连续的导数，且在点(0，0)处取得极大值，所以(0，0)是 z=f(x)lnf(y)的驻点又8.设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上是 C (2) 类函数，且满足 （
13、分数：2.00）A.最大值点和最小值点必定都在 D 的内部B.最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上 C.最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上D.最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上解析：解析：先考虑平面有界闭区域 D 的内部：由条件 A+C= 知 A，C 异号，又 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)9.设函数 f，g 均可微，z=f(xy，ln x+g(xy)，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f 2 “）解析：解析：由复合函数的求导法则，10.设 z=z(x，y)由方程 z=e 2x-3z +2y 确定，则 （分数：2.00）填空项
14、 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：在给定方程的两边分别对 x 求偏导数，并注意到 z 是 x，y 的二元函数，三、解答题(总题数：22，分数：44.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设函数 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求 z=x+(y-1)arcsin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 x=e u cosv，y=e u sinv，z=uv试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 把 x
15、，y 看成中间变量，u，v 看成自变量，由复合函数的偏导数的求导法则，得)解析：16.设 z=sin(xy) xy ，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 z=sin(xy) xy =e xylnsin(xy) ，利用一阶微分形式的不变性，得 )解析：17.设 z=f(2xy，ysinx)，其中 f(u，v)具有二阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 z=f(u，v)，其中 u=2x-y，v=ysinx 又 f(u，v)具有二阶连续偏导数，所以 f 12 “=f 21 “，故 )解析：18.设 z=xf(x，u，v)，u=ln(cos x)，v=x
16、sin y ，其中 f 可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=xf(x，ln(cos x)，x sin y )， )解析：19.已知 z=u(x，y)e ax+by ，且 ，试确定常数 a，b，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入给定方程，得到 )解析：20.设变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 6+aa 2 =0，得 a=3，a=一 2(舍去) )解析：21.由方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在给定方程的两边分别对 x 求偏导数，并注意到 z 是 x,y 的二元函数，得 )解析：22.设方程组 确定函数 u=u(x，y)，
17、v=v(x，y)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组中两个等式分别对 x 求偏导数，得 将上面等式中的 看成未知数，整理得 )解析：23.设 u=f(x，y，z)具有连续的一阶偏导数，又 y=y(x)，z=z(x)分别由 e xy 一 xy=2 和 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 y=g(x，z)，而 z 是由方程 f(x-z，xy)=0 所确定的 x，y 的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 这是两个方程组成的方程组，有三个未知数由欲求的结果 可知方程组确定 y，z 分别是 x 的一元函数方程组的两边分别对 x
18、 求导，得 将上面等式中的 看成未知数，整理得 利用克拉默法则，有 )解析：25.设函数 f(x)在(0，+)内具有二阶连续导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边同乘 r 2 ，得 r 2 f“(r)+2rf(r)=0，即r 2 f(r)=0，于是，r 2 f(r)=C )解析：26.设函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足 f(0，0)=1，f x “(0，0)=2，f y “(0，y)=一 3 以及 f xx “(x，y)=y，f xy “(x，y)=x+y，求 f(x，y)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f xx “(x，y)=y 对变量
19、x 求不定积分，得 f x “(x，y)=ydx+C 1 (y)=xy+C 1 (y) 同样将 f xy “(x，y)=x+y 对变量 y 求不定积分，得 f x “(x，y)=(x+y)dx=xy+ 比较两个表达式，得 由于 f x “(0，0)=2，故 C=2即 f x “(x，y)= 将 f y “(x，y)= 两边对 x 求不定积分，得 由于 f y “(0，y)=-3，得 C 2 “(y)=一 3故 C 2 (y)=一 3y+C 3 ，于是 再由f(0，0)=1 的 C 3 =1，所以 f(x，y)= )解析：27.求函数 z=x 4 +y 4 一 x 2 一 2xyy 2 的极值（
20、分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.证明：函数 z=(1+e y )cos x-ye y 有无穷多个极大值而无极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 )解析：29.求函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 在约束条件 x 2 +y 2 =1 下的最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：转化为无条件极值 由约束条件可得 x 2 =1y 2 ，一 1y1，代入目标函数f(x，y)=x 2 +2y 2 中，得 (y)=(1 一 y 2 )+2y 2 =1+y 2 ，一 1y1 由 (y)=2y=0 得唯一驻点y=0，又 (0)=1，(1)=2，可知
21、(y)的最大值为 2，最小值为 0故函数 f(x，y)=x 2 +2y 2 在约束条件 x 2 +y 2 =1 下的最大值和最小值分别为 2，0)解析：30.求椭圆 x 2 +4y 2 =4 上一点，使其到直线 2x+3y 一 6=0 的距离最短（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 设 p(x，y)为椭圆 x 2 +4y 2 =4 上任意一点，则 p 到直线 2x+3y 一 6=0 的距离为 求 d 的最小值点即求 d 2 的最小值点下面利用拉格朗日乘数法求 d 2 的最小值点 由问题的实际意义最短距离存在，因此 )解析：31.给定椭球体 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故在
22、点 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )处椭球面的切平面方程整理得 (2)过点 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )的切平面在三个坐标轴上的截距分别为 所围体积为 上述前三个方程分别乘 x，y，z 再相加， 将此代入第一个方程中，得 同理，将 的值分别代入第二个方程和第三个方程中，得 故在点 处的切平面与三个坐标面围成的空间区域的体积最小，其最小值为 )解析：32.已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy，并且 f(1，1)=2求 z=f(x，y)在椭圆域 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先求出 f(x，y)的表达式由 dz=2xdx 一 2ydy，可知 z=f(x，y)=x 2 一 y 2 +C 再由 f(1，1)=2得 C=2，故 z=f(x，y)=x 2 一 y 2 +2 其次求区域 D 内部的可能极值点由方程组 可知在区域 D 内有一个驻点(0，0)f(0，0)=2最后求区域 D 的边界上的可能极值点，转化为无条件极值计算在椭圆 )解析：
