1、考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 2 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)， 1 为在第一卦限的部分，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.已知封闭曲面取外侧，若所围立体的体积为 V，则 V=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：29，分数：58.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_5.计算 （分数：2.00）_6.计算 I=
2、(x 2 +y 2 )zds，其中 为锥面螺线 x=tcos t，y=tsin t,z=t 上相应于 t 从 0 变到 1 的一段弧（分数：2.00）_7.设 ，其周长记为 a，求 （分数：2.00）_8.计算 （分数：2.00）_9.计算 （分数：2.00）_10.计算圆柱面 x 2 +y 2 =R 2 介于 xOy 平面及柱面 （分数：2.00）_11.设曲线 L 是 在第一象限内的一段(1)求 L 的长度 s；(2)当线密度 =1 时，求 L 的质心（分数：2.00）_12.计算 L y 2 dx，其中 L 为半径为 a，圆心为原点，方向取逆时针方向的上半圆周（分数：2.00）_13.计
3、算 x 2 dx+y 2 dy+z 2 dz，其中 是从点(1，1，1)到点(2，3，4)的直线段（分数：2.00）_14.计算 ，其中 L 是由曲线 x 2 +y 2 =2y，x 2 +y 2 =4y， （分数：2.00）_15.计算 其中 L 是以(1，0)为中心，R 为半径的圆周(R1)，取逆时针方向积分曲线如图 6-9（分数：2.00）_16.设 (1)验证它是某个二元函数 u(x，y)的全微分；(2)求出 u(x，y)；(3)计算 （分数：2.00）_17.计算 （分数：2.00）_18.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asin x(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲
4、线从 O 到 A 的曲线积分 L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小（分数：2.00）_19.在变力 F=yzi+zxj+xyk 的作用下，质点由原点 O 沿直线运动到椭球面 （分数：2.00）_20.计算 （分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.计算 ，其中 t0 （分数：2.00）_26.曲面 z=13 一 x 2 一 y 2 将球面 x 2 +y 2 +z 2 =25 分成三部分，求这三部分曲面面积之比（分数：2.00）_27.求抛物面壳 （分数：2.00）_2
5、8.曲面为锥面 z 2 =x 2 +y 2 (0z1)的下侧，计算 （分数：2.00）_29.计算 +y 3 dzdx+(z 3 +x 2 +y 2 )dxdy，其中为上半球面 （分数：2.00）_30.计算 其中为下半球面 （分数：2.00）_31.设对于半空间 x0 内的任意光滑有向封闭曲面，都有 xf(x)dydz 一 xyf(x)dzdx 一 e 2x dxdy=0， 其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，且 （分数：2.00）_32.设 F(x，y，z)=zarctan y 2 i+z 3 ln(x 2 +1)j+zk，求 F 通过抛物面 x 2 +y 2 +z=2 位
6、于平面 z=1 的上方的那一块流向上侧的流量（分数：2.00）_考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 2 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)， 1 为在第一卦限的部分，则( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于关于 yOz 平面对称，而(A)、(D)的被积函数关于 x 是奇函数，所以 所以(A)、(D)不正确 由于关于 zOx 平面对称，而(B)的被积函数关于 y 是奇函数，所以
7、 故(B)也不正确 由于关于 yOz 平面与 zOx 平面对称，而(C)的被积函数关于 x 和 y 都是偶函数，故 而 1 ：关于 x，y，z 具有轮换对称性，即 3.已知封闭曲面取外侧，若所围立体的体积为 V，则 V=( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：利用高斯公式，(A)中的曲面积分 (B)中的曲面积分 (C)中的曲面积分 而(D)中的曲面积分二、解答题(总题数：29，分数：58.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：5.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：6.计算 I= (x 2 +y 2 )zds，其
8、中 为锥面螺线 x=tcos t，y=tsin t,z=t 上相应于 t 从 0 变到 1 的一段弧（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 所以 )解析：7.设 ，其周长记为 a，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于积分曲线 关于 x 轴对称，而 xy 关于 y 是奇函数，因此 又 故)解析：8.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 L 具有轮换对称性， 所以 )解析：9.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性，有 其中 L 1 为 L 在第一象限部分，将 L 1 的方程化为极坐标方程，即 r 4 =a 2 (r 2 cos 2 r 2 si
9、n 2 )，r 2 =a 2 cos 2，其中 )解析：10.计算圆柱面 x 2 +y 2 =R 2 介于 xOy 平面及柱面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此柱面是以 xOy 平面上的圆周 x 2 +y 2 =R 2 为准线，母线平行于 z 轴，以 为顶的柱面，由第一类曲线积分的几何意义知 )解析：11.设曲线 L 是 在第一象限内的一段(1)求 L 的长度 s；(2)当线密度 =1 时，求 L 的质心（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 L 的参数方程为 x=acos 3 t，y=asin 3 t， (1) (2)由曲线的对称性知 即 L 的质心为 (3) 由对称性知
10、)解析：12.计算 L y 2 dx，其中 L 为半径为 a，圆心为原点，方向取逆时针方向的上半圆周（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 L 的参数方程为 x=acos ，y=asin ，：0则 L y 2 dx= 0 a 2 sin 2 (一 asin )d=-a 3 0 sin 3 d = )解析：13.计算 x 2 dx+y 2 dy+z 2 dz，其中 是从点(1，1，1)到点(2，3，4)的直线段（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 的参数方程为 x=t+1，y=2t+1，z=3t+1，t：01则 x 2 dx+y 2 dy+z 2 dz= 0 1 (t+1) 2 d
11、(t+1)+(2t+1) 2 d(2t+1)+(3t+1) 2 d(3t+1) = 0 1 t 2 +2t+1+2(4t 2 +4t+1)+3(9t 2 +6t+1)dt = 0 1 (36t 2 +28t+6)dt =(12t 3 +14t 2 +6t)| 0 1 =32)解析：14.计算 ，其中 L 是由曲线 x 2 +y 2 =2y，x 2 +y 2 =4y， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分曲线如图 6-8 )解析：15.计算 其中 L 是以(1，0)为中心，R 为半径的圆周(R1)，取逆时针方向积分曲线如图 6-9（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 故此曲线
12、积分与路径无关 取 l：4x 2 +y 2 =1，取逆时针方向，则 )解析：16.设 (1)验证它是某个二元函数 u(x，y)的全微分；(2)求出 u(x，y)；(3)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 故当 x 2 +y 2 0 时, 为某个二元函数的全微分 (2)不定积分法，设 则 (y)=0，即 (y)=C (3) )解析：17.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取：x+y+z=2，取上侧，D xy ：|x|+|y|1由斯托克斯公式，得 )解析：18.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asin x(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O
13、 到 A 的曲线积分 L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 L：y=asin x,x：0(a0)则 I(a)= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy = 0 (1+a 3 sin 3 x)dx+(2x+asin x)d(asinx) = 0 (1+a 3 sin 3 x+2axcos x+a 2 sinx cosx)dx = 0 dx+a 3 0 sin 3 xdx+2a 0 xcosxdx+a 2 0 sinxcosxdx = 令 I(a)=0，则 4a 2 -4=0，得 a=1，a=一 1(舍去) I“(a)=8a，I“(1
14、)=80，从而当 a=1 时，曲线积分取得最小值 )解析：19.在变力 F=yzi+zxj+xyk 的作用下，质点由原点 O 沿直线运动到椭球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设由 O(0，0，0)到 M(x 0 ，y 0 ,z 0 )的直线 的参数方程为x=mt，y=nt，z=pt，t：0t 0 ，其中 x 0 =mt 0 ，y 0 =nt 0 ，z 0 =pt 0 W= yzdx+zxdy+xydz 下面利用拉格朗日乘数法求 W=xyz 的最大值 )解析：20.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设=
15、1 + 2 ，其中 2 ：z=1，D xy ：x 2 +y 2 1，ds=dxdy则 )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用对称性，记 1 为上半球面 )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然关于三个坐标平面都对称，而被积函数关于 x，y，z 都是偶函数，故 其中 1 ：x+y+z=1 即 z=1xy，D xy ：x+y1，x0，y0则 )解析：25.计算 ，其中 t0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.曲面 z=13 一 x 2 一 y 2 将球面 x
16、 2 +y 2 +z 2 =25 分成三部分，求这三部分曲面面积之比（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面 z=13 一 x 2 一 y 2 与球面 x 2 +y 2 +z 2 =25 的交线方程为 这两条曲线将球面依次分割为 S 1 ，S 2 ，S 3 三部分，其面积分别记为 A 1 ，A 2 ，A 3 )解析：27.求抛物面壳 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.曲面为锥面 z 2 =x 2 +y 2 (0z1)的下侧，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 取下侧，D xy :x 2 +y 2 1则 )解析：29.计算 +y 3 dzdx+(z 3
17、 +x 2 +y 2 )dxdy，其中为上半球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 设 1 ：z=0D xy ：x 2 +y 2 a 2 ，取下侧 )解析：30.计算 其中为下半球面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 设 1 ：z=0 取下侧，D xy ：x 2 +y 2 a 2 ，则+ 1 为封闭曲面，取内侧由高斯公式， )解析：31.设对于半空间 x0 内的任意光滑有向封闭曲面，都有 xf(x)dydz 一 xyf(x)dzdx 一 e 2x dxdy=0， 其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由的任意性，有 f(x)+xf“(x)一 xf(x)一 e 2x =0 )解析：32.设 F(x，y，z)=zarctan y 2 i+z 3 ln(x 2 +1)j+zk，求 F 通过抛物面 x 2 +y 2 +z=2 位于平面 z=1 的上方的那一块流向上侧的流量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记这块曲面为，则在 xOy 平面上的投影域为 D xy ：x 2 +y 2 1 设 1 ：z=1，取下侧，D xy ：x 2 +y 2 1，则由高斯公式， )解析：
