1、考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2012年试题，一)设函数 f(x，y)为可微函数，且对任意的 x，y 都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2B.x 1 x 2 ，y 1 y 2C.x 1 2，y 12D.x 1 x 2 ，y 1 y 23.(2007年试题，一)二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.B.C.D.4.(2
2、005年试题，二)设函数 （分数：2.00）A.B.C.D.5.(2010年试题，5)设函数 z=z(x，y)，由方程确定 其中，为可微函数，且 F 2 “ 0，则： （分数：2.00）A.xB.zC.一 xD.一 z6.(2011年试题，一)设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0) “ (0)=g “ (0)=0则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.f “ (0)“ (0)0B.f “ (0)“ (0)0，g “ (0)0D.f “ (0)0，g “ (0)0，y0f(x)为 D上的正值连续函数，a，b为
3、常数,则 （分数：2.00）A.abB.C.(a+b)D.14.(2009年试题，一)设函数 f(x,y)连续，则 （分数：2.00）A.B.C.D.15.(2007年试题，一)设函数 f(x，y)连续，则二次积分 （分数：2.00）A.B.C.D.16.(2006年试题，二)设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)17.(2012年试题，二)设 y=y(x)是由方程 x 2 一 y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.(2004年试题，一)设函数 z=z(x，y)由方程 x=e 2x-3x +
4、2y确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.(2006年试题，三(20)设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数且 z=f 满足等式 (I)验证 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.(2012年试题，二)设 。其中函数 f(u)可微，则 （分数：2.00）_22.(2011年试题，三)设函数 z=f(xy，yg(x)，其中函数厂具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1处取得极值 g(1)=1, （分数：2.00）_23.(2010年试题，19)设函数 u=f
5、(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 a，b 的值，使等式在变换 =x+ay，=x+by 下化简为 （分数：2.00）_24.(2009年试题，17)设 z=f(x+y，x 一 y，xy)，其中 f具有二阶连续偏导数，求 dz与 （分数：2.00）_25.(2008年试题，二)已知 （分数：2.00）_26.(2007年试题，二)设 f(u，v)是二元可微函数， （分数：2.00）_27.(2004年试题，三(7)设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy ，其中 f具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_28.(2007年试题，20)已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f “ (
6、0)=1，函数 y=y(x)由方程 y=xe y-1 =1所确定设 x=f(1nysinx)，求 （分数：2.00）_29.(2008年试题，21)求函数 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4下的最大值和最小值（分数：2.00）_30.(2005年试题，20)已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx一 2ydy，并且 f(1，1)=2，求 f(x，y)在椭圆域 （分数：2.00）_31.(2011年试题，三)已知函 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0,f(x，1)=0 y)dxdy=a其中 D=(x，y)0x1，0y1
7、，计算二重积分 （分数：2.00）_32.(2006年试题三(17)设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_33.(2008年试题，三(18)求二重积分 （分数：2.00）_34.(2007年试题，三(22)设二元函数 计算二重积分 （分数：2.00）_35.(2005年试题，三(21)计算二重积分 （分数：2.00）_36.(2012年试题，三)计算二重积分 （分数：2.00）_37.(2011年试题，二)设平面区域 D由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y及 y轴所组成，则二重积分 （分数：2.00）_38.(2010年试题，20)计算二重
8、积分 其中 （分数：2.00）_39.(2009年试题，三(19)计算二重积分 （分数：2.00）_考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编 1答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2012年试题，一)设函数 f(x，y)为可微函数，且对任意的 x，y 都有 （分数：2.00）A.x 1 x 2 ，y 1 y 2 B.x 1 x 2 ，y 1 y 2C.x 1 2，y 12D.x 1 x 2 ，y 1 y 2解析：解析：因为 如果 f
9、(x 1 ，y 1 )f(x 2 ，y 1 )，则 x 1 x 2 ，又 3.(2007年试题，一)二元函数 f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：选项 A相当于已知 f(x，y)在点(0，0)处连续选项 B相当于已知两个一阶偏导数 f x “ (0，0)，f y “ (0，0)存在，因此 A,B均不能保证 f(x，y)在点(0，0)处可微选项 D相当于已知两个一阶偏导数 f x “ (0，0)f y “ (0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏导数 f x “ (x，y)f y “ (x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证
10、f(x，y)在点(0，0)处可微对于选项 C，若 则 即 f x “ (0，0)=0同理有 f y “ (0，0)=0从而有 4.(2005年试题，二)设函数 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题设可得 因为5.(2010年试题，5)设函数 z=z(x，y)，由方程确定 其中，为可微函数，且 F 2 “ 0，则： （分数：2.00）A.xB.z C.一 xD.一 z解析：解析：根据题意可得 故而有， 即正确答案为 B6.(2011年试题，一)设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0) “ (0)=g “ (0)=0则函数z=f(x)g(y)在点(0，
11、0)处取得极小值的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.f “ (0)“ (0)0 B.f “ (0)“ (0)0，g “ (0)0D.f “ (0)0，g “ (0)0，y0f(x)为 D上的正值连续函数，a，b为常数,则 （分数：2.00）A.abB.C.(a+b)D. 解析：解析：由题意可知，D 关于直线 Y=X对称，于是 从而 可得 所以选 D14.(2009年试题，一)设函数 f(x,y)连续，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：*的积分区域有两部分：D 1 =(x，y)1x2，xy2，D 2 =(x，y)1y2，yx4 一 y这两个积分区域可合成一个积分区域 D
12、=(x，y)1y2，1x4一 y，所以题干中的二重积分等于*y)dx故正确答案为 C15.(2007年试题，一)设函数 f(x，y)连续，则二次积分 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由二次积分 的积分上、下限可知积分区域为 的反函数为 x=arcsiny，则上述区域等价于 ，所以积分变换为 故应选 B 评注关键在于先确定 x和 y的范围，再交换积分次序，确定 y的范围时应注意，当 时，y=sinx=sin( 一 x) 于是 一 x=arcsiny，从而x=arc-siny16.(2006年试题，二)设 f(x，y)为连续函数，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：
13、用排除法若选择先 y后 x的积分顺序，则要分块积分由于选项并未分块积分，故 A,B错误又 其中 D如图 1一 54所求，其极坐标表示为 0r1，0 现转换为先 x后 y的积分顺序：因为 y=x与 x 2 +y 2 =1在第一象限的交点为 所以 从而 故选 C 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)17.(2012年试题，二)设 y=y(x)是由方程 x 2 一 y+1=e y 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：将 x=0代入方程 x 2 +y+1=e y ，得 y=0，在方程x 2 一 y+1=e y 两端对 x求一阶导，得 2xy “ =y “ e
14、 y ，将 x=0，y=0 代入得 y “ (0)=0再在 2xy “ =y “ e y 两端对 x求一阶导，得 2一 y “ =y “ e y +(y “ ) 2 e y ，将 x=0，y=0，y “ (0)=0代入得 y “ (0)=1，即 ）解析：18.(2004年试题，一)设函数 z=z(x，y)由方程 x=e 2x-3x +2y确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由方程 z=e 2x-3x +2y两边分别对 x，y 求偏导得 于是 所以 ）解析：解析：在函数 f(x，y，z)中 x,y，z 都是相互独立的自变量，求隐函数偏导数有三种方法：按复合函数求导；
15、代公式；利用全微分的形式不变性19.(2006年试题，三(20)设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数且 z=f 满足等式 (I)验证 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(I)用复合函数求导法验证令 ，则 式(1)+式(2)，得 ()因为 (已证)，所以 uf “ (u)+f “ (u)=0，即uf “ (u) “ =0积分得 uf “ (u)=C 1 由 f “ (1)=1C 1 =1，于是 ）解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.(2012年试题，二)设 。其中函数 f
16、(u)可微，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.(2011年试题，三)设函数 z=f(xy，yg(x)，其中函数厂具有二阶连续偏导数，函数 g(x)可导且在 x=1处取得极值 g(1)=1, （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 g(x)可导且在 x=1处取极值 g(1)=1，所以 g “ (1)=0 )解析：23.(2010年试题，19)设函数 u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 确定 a，b 的值，使等式在变换 =x+ay，=x+by 下化简为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由复合函数的求导法则可得 又有等式 ，将上述各式代入可得
17、因为简化后为 故有 解得 又 或(一 2，一 2)时，10ab+12(a+b)+8=0，舍去从而满足题意的(a，b)为 )解析：24.(2009年试题，17)设 z=f(x+y，x 一 y，xy)，其中 f具有二阶连续偏导数，求 dz与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=f(x+y，x 一 y，xy)可得 则 =(f 1 “ +f 2 “ +f 3 “ )dx+(f 1 “ 一 f 2 “ +xf 3 “ )dy， )解析：25.(2008年试题，二)已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 的两边取对数得到 在其两边对 x求偏导数有 将(x，y)=(1，2)代入可得
18、 )解析：26.(2007年试题，二)设 f(u，v)是二元可微函数， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 则 于是 )解析：27.(2004年试题，三(7)设 z=f(x 2 -y 2 ，e xy ，其中 f具有连续二阶偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 z=f(x 2 一 y 2 ，e xy )，则 )解析：28.(2007年试题，20)已知函数 f(u)具有二阶导数，且 f “ (0)=1，函数 y=y(x)由方程 y=xe y-1 =1所确定设 x=f(1nysinx)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 在 y一 xe y-1 =1中
19、，令 x=0，得 y=1由 yxe y-1 =1两边对 x求导得 y “ 一 e y-1 一 xe y -y “ =0再对 x求导得 y “ 一 e y-1 y “ 一 e y-1 y “ 一 xe y-1 y 12 一 xe y-1 y “ =0将 x=0，y=1 代入上面两式得 y “ (0)=1,y “ (0)=2，故 )解析：29.(2008年试题，21)求函数 u=x 2 +y 2 +z 2 在约束条件 z=x 2 +y 2 和 x+y+z=4下的最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 + 1 (x 2 +y 2 一
20、z)+ 2 (x+y+z一 4)，分别对各参数求导并令为 0，得到如下方程组 )解析：30.(2005年试题，20)已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx一 2ydy，并且 f(1，1)=2，求 f(x，y)在椭圆域 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，得(1)求 f(x，y)的表达式由已知有 dz=dx 2 一 dy 2 =d(x 2 一 y 2 )z=x 2 一 y 2 +C又因为 f(1，1)=2，所以 C=2，从而 z=f(x，y)=x 2 一 y 2 +2(2)求 f(x，y)在 D内驻点及相应函数值，解 )解析：解析：评注根据全微分的表达式先求出要求极值
21、的函数，然后再求极值31.(2011年试题，三)已知函 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0,f(x，1)=0 y)dxdy=a其中 D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.(2006年试题三(17)设区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1，x0，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，如图 152所示，D 为右半单位圆，且关于 x轴对称，所以 所以 令 x=rcos，y=rsiin，作极坐标变换则有 D 1 : ，从而 )解析：33.(2008年试题，三(18)求二重积分 （分数：2.00
22、）_正确答案：(正确答案：因为 所以有 )解析：34.(2007年试题，三(22)设二元函数 计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设区域 D 1 =(x，y)x+y1，D 2 =(x，y)1)解析：解析：将区域 D2转化为区域 D减去 D 1 ，用以计算 35.(2005年试题，三(21)计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此题用分块积分法，如图 153所示在 D中 用分块积分法得 而 所以 作极坐标变换求，I 1 ： 又 所以 )解析：36.(2012年试题，三)计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=cos，y=sin 则 )解析：37.(2011年试题，二)设平面区域 D由直线 y=x，圆 x 2 +y 2 =2y及 y轴所组成，则二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38.(2010年试题，20)计算二重积分 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=rcos，y=rsin，则 积分区域 等价于 则二重积分 )解析：39.(2009年试题，三(19)计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=cos，y=sin，其中 02，则由(x 一 1) 2 +(y一 1) 2 2和 yx 可得 02(sin+cos)且 sincos由 可解得 所以 )解析：
