1、考研数学二（向量）-试卷 8 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB0C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB03.n 维向量组 1 ， 2 ， m (3mn)线性无关的充要条件是 【 】（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，使 k 1 1 k 2 2 k m m 0B. 1 ，
2、 2 ， m 中的任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， m 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D. 1 ， 2 ， m 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示4.设 n 维列向量组()： 1 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组()： 1 ， m 线性无关的充分必要条件为 【 】（分数：2.00）A.向量组()可由向量组()线性表示B.向量组()可由向量组()线性表示C.向量组()与向量组()等价D.矩阵 A 1 m 与矩阵 B 1 m 等价5.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3
3、4 ， 4 1B. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1C. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1D. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 16.设有向量组 1 (1，1，2，4)， 2 (0，3，1，2)， 3 (3，0，7，14)， 4 (1，2，2，0)， 5 (2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是 【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 2 ， 4C. 1 ， 2 ， 5D. 1 ， 2 ， 4 ， 57.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无
4、关B.A 的任意一个 m 阶子式都不等于零C.若矩阵 B 满足 BAO，则 BOD.A 通过初等行变换，必可以化为(I m ，O)的形式8.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 AC 的秩为，r 1 ，则 【 】（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系不定9.向量组 1 ， 2 ， m 线性相关的充分条件是 【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 均不为零向量B.矩阵 1 2 m 的秩为 mC. 1 ， 2 ， m 中任意一个向量均不能由其余 m1 个向量线性表示D. 1 ， 2 ， m 中有一部分向量线性
5、相关10.设 A、B 都是 n 阶非零矩阵，且 ABO，则 A 和 B 的秩 【 】（分数：2.00）A.必有一个等于零B.都小于 nC.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n11.设有任意两个咒维向量组 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2 ， m ，若存在两组不全为零的数 1 ， 2 ， m 和 k 1 ，k 2 ，k m ，使( 1 k 1 ) 1 ( m k m ) m ( 1 k 1 ) 1 ( m k m ) m 0，则 【 】（分数：2.00）A. 1 ， m 和 1 ， m 都线性相关B. 1 ， m 和 1 ， m 都线性无关C. 1 1 ， m m ， 1 1 ， m m
6、线性无关D. 1 1 ， m m ， 1 1 ， m m 线性相关12.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 B. 1 2 ， 2 3 ， 1 2 2 3 C. 1 2 2 ，2 2 3 3 ，3 3 1 D. 1 2 3 ，2 1 3 2 22 3 ，3 1 5 2 5 3 13.设 n(n3)A （分数：2.00）A.1B.C.1D.14.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量组 1 ， 2 ， 4 线性相关，则 【 】（分数：2.00）A. 1 必可由 2 ， 3 ， 4 线性表示B. 2
7、必不可由 1 ， 3 ， 4 线性表示C. 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表示D. 4 必不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示15.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， m-1 线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则 【 】（分数：2.00）A. m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B. m 不能由()线性表示，但可由()线性表示C. m 可由()线性表示，也可由()线性表示D. m 可由()线性表示，但不可由()线性表示16.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 【 】（分数：2.00）A
8、.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 k 2 2 k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 k 2 2 k s s 0C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关二、填空题(总题数：6，分数：12.00)17.若向量组 （分数：2.00）填空项 1:_18.向量组 1 (1，a，1，1) T ， 2 (1，1，a，1) T ， 3 (1，1，1
9、，a) T 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.若向量组()： 1 (1，0，0) T ， 2 (1，1，0) T ， 3 (1，1，1) T 可由向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示，则向量组()的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设有矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_21.若齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_22.设向量组 1 (2，1，1，1)， 2 (2，1，a，a)， 3 (3，2，1，a)， 4 (4，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解
10、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，而 2 ， 3 ， 4 线性无关，问：(1) 1 能否用 2 ， 3 线性表示?并证明之；(2) 4 能否用 1 ， 2 ， 3 线性表示?并证明之（分数：2.00）_25.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵(nm)，且 ABE证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_26.设 A 为 n 阶方阵，k 为正整数，线性方程组 A k X0 有解向量 ，但 A k-1 0证明：向量组，A，A k-1 线性无关（分数：2.00）_27.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维
11、列向量，证明：向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是行列式 （分数：2.00）_28.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组 P 1 ，P 2 ，P n 线性无关 （分数：2.00）_29.设 1 (1，1，1)， 2 (1，2，3)， 3 (1，3，t) (1)问 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关? (2)当 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关? (3)当 1 ， 2 ， 3 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合（分数：2.00）_30.设 i (a i1 ，a i2 ，a in ) T
12、 (i1，2，r；rn)是 n 维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关已知 (b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_31.设有向量组()： 1 (1，0，2) T ， 2 (1，1，3) T ， 3 (1，1，a2) T 和向量组()： 1 (1，2，a3) T ， 2 (2，1，a6) T ， 3 (2，1，a4) T 试问：当 a 为何值时，向量组()与向量组()等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?（分数：2.00）_32.设有向量组()： 1 (1a，1，1，1) T ， 2 (2，2a，2，2) T ， 3 (3，3，3a，3) T ，
13、4 (4，4，4，4a) T 问 a 取何值时，()线性相关?当()线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出（分数：2.00）_考研数学二（向量）-试卷 8 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB0 C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB0解析：3.n 维向量组 1 ， 2 ， m
14、(3mn)线性无关的充要条件是 【 】（分数：2.00）A.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，使 k 1 1 k 2 2 k m m 0B. 1 ， 2 ， m 中的任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， m 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D. 1 ， 2 ， m 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 解析：4.设 n 维列向量组()： 1 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组()： 1 ， m 线性无关的充分必要条件为 【 】（分数：2.00）A.向量组()可由向量组()线性表示B.向量组()可由向量组()线性表示C.向量组()与向量组()等价D.矩阵
15、A 1 m 与矩阵 B 1 m 等价 解析：5.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1B. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1C. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 D. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1解析：6.设有向量组 1 (1，1，2，4)， 2 (0，3，1，2)， 3 (3，0，7，14)， 4 (1，2，2，0)， 5 (2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是 【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 2 ， 4
16、C. 1 ， 2 ， 5D. 1 ， 2 ， 4 ， 5解析：7.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式都不等于零C.若矩阵 B 满足 BAO，则 BO D.A 通过初等行变换，必可以化为(I m ，O)的形式解析：8.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 AC 的秩为，r 1 ，则 【 】（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系不定解析：9.向量组 1 ， 2 ， m 线性相关的充分条件是
17、 【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 均不为零向量B.矩阵 1 2 m 的秩为 mC. 1 ， 2 ， m 中任意一个向量均不能由其余 m1 个向量线性表示 D. 1 ， 2 ， m 中有一部分向量线性相关解析：10.设 A、B 都是 n 阶非零矩阵，且 ABO，则 A 和 B 的秩 【 】（分数：2.00）A.必有一个等于零B.都小于 n C.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n解析：11.设有任意两个咒维向量组 1 ， 2 ， m 和 1 ， 2 ， m ，若存在两组不全为零的数 1 ， 2 ， m 和 k 1 ，k 2 ，k m ，使( 1 k 1 ) 1 ( m k
18、m ) m ( 1 k 1 ) 1 ( m k m ) m 0，则 【 】（分数：2.00）A. 1 ， m 和 1 ， m 都线性相关B. 1 ， m 和 1 ， m 都线性无关C. 1 1 ， m m ， 1 1 ， m m 线性无关D. 1 1 ， m m ， 1 1 ， m m 线性相关 解析：12.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】（分数：2.00）A. 1 2 ， 2 3 ， 3 1 B. 1 2 ， 2 3 ， 1 2 2 3 C. 1 2 2 ，2 2 3 3 ，3 3 1 D. 1 2 3 ，2 1 3 2 22 3 ，3 1 5 2
19、5 3 解析：13.设 n(n3)A （分数：2.00）A.1B. C.1D.解析：14.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量组 1 ， 2 ， 4 线性相关，则 【 】（分数：2.00）A. 1 必可由 2 ， 3 ， 4 线性表示B. 2 必不可由 1 ， 3 ， 4 线性表示C. 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表示 D. 4 必不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示解析：15.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， m-1 线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则 【 】（分数：2.00）A. m 不能由()线性表
20、示，也不能由()线性表示B. m 不能由()线性表示，但可由()线性表示 C. m 可由()线性表示，也可由()线性表示D. m 可由()线性表示，但不可由()线性表示解析：16.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是 【 】（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 k 2 2 k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 k 2 2 k s s 0 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此
21、向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)17.若向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*或 1）解析：解析：3 个 3 维向量 ，3 线性相关 行列式 (1) 0，18.向量组 1 (1，a，1，1) T ， 2 (1，1，a，1) T ， 3 (1，1，1，a) T 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对下列矩阵作初等变换： 1 2 3 由阶梯形矩阵可见，r( 1 ， 2 ， 3 ) 19.若向量组()： 1 (1，0，0) T
22、 ， 2 (1，1，0) T ， 3 (1，1，1) T 可由向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示，则向量组()的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由条件知 3r()r()3，20.设有矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 B 是满秩方阵，所以 r(AB)r(A)，而由 A 的初等变换：21.若齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由条件知方程组系数矩阵 A 的秩小于 3，而由 A 的初等变换：22.设向量组 1 (2，1，1，1)， 2
23、(2，1，a，a)， 3 (3，2，1，a)， 4 (4，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为行向量组构成 4 阶方阵 A，则有A(a1)(2a1)0，又 a1，故 a 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，而 2 ， 3 ， 4 线性无关，问：(1) 1 能否用 2 ， 3 线性表示?并证明之；(2) 4 能否用 1 ， 2 ， 3 线性表示?并证明之（
24、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 1 可由 2 ， 3 线性表示，由 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 线性相关即可证明(2) 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，否则，因 1 可由 2 ， 3 线性表示，得 4 可由 2 ， 3 线性表示，这与 2 ， 3 ， 4 线性无关矛盾)解析：25.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵(nm)，且 ABE证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 B 按列分块为 B 1 2 n ，设有一组数 1 ， 2 ， n 使 1 1 2 2 n n 0，即 BX0，其中 X 1 ， 2 ， n
25、 T ，两端左乘 A，得 ABX0，即 X0故 1 ， 2 ， n 线性无关)解析：26.设 A 为 n 阶方阵，k 为正整数，线性方程组 A k X0 有解向量 ，但 A k-1 0证明：向量组，A，A k-1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有一组数 1 ， 2 ， k ，使 1 2 A k A k-1 0 两端左乘 A k-1 ，得 1 A k-1 0因 A k-1 0，得 1 0类似可得 2 k 0故 ，A，A k-1 线性无关)解析：27.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明：向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是行列式 （分数：2
26、.00）_正确答案：(正确答案：令矩阵 A 1 2 n ，则向量组 1 ， 2 ， n 线性无关 A0，而 两端取行列式，得A 2 D，故 1 ， n 线性无关 )解析：28.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组 P 1 ，P 2 ，P n 线性无关 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 个 n 维列向量 P 1 ，P 2 ，P n 线性无关 行列式P 1 P 2 P n 0，而 P 1 P 2 P n P 1 2 n ， 两端取行列式，得P 1 P n P 1 n ，又由已知条件知行列式 1 n 0，故行列式P 1 P n 0 )解析：2
27、9.设 1 (1，1，1)， 2 (1，2，3)， 3 (1，3，t) (1)问 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关? (2)当 t 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关? (3)当 1 ， 2 ， 3 线性相关时，将 3 表示为 1 和 2 的线性组合（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由行列式( 1 2 3 ) T t5，知当 t5 时， 1 ， 2 ， 3 线性无关，当 t5 时， 1 ， 2 ， 3 线性相关当 t5 时，由解方程组 1 1 2 2 3 ，得 3 1 2 2 )解析：30.设 i (a i1 ，a i2 ，a in ) T (i1，2，r
28、；rn)是 n 维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关已知 (b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线性无关证明如下：由题设条件有 b 1 a i1 b 2 a i2 b n a in T i 0(i1，2，r)设 k 1 1 k r r k k+1 0，用 T 左乘用 T 左乘两端并利用 T i 0 及 T 2 0，得 k r+1 0， k 1 1 k r r 0，又 1 ， r 线性无关， )解析：31.设有向量组()： 1 (1，0，2) T ， 2 (1，1，3) T ， 3 (1，1，a2) T 和向量组()： 1 (1，2，
29、a3) T ， 2 (2，1，a6) T ， 3 (2，1，a4) T 试问：当 a 为何值时，向量组()与向量组()等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于行列式 1 2 3 a1，故当 a1 时，秩 1 2 3 3方程组 1 1 2 2 3 3 i (i1，2，3)有解(且有唯一解)，所以向量组()可由向量组()线性表示；又由行列式 1 2 3 60，同理可知向量组()可由()线性表示故当 a1 时，()与()等价当 a1 时，由于秩 1 2 3 秩 1 2 3 )解析：32.设有向量组()： 1 (1a，1，1，1) T ， 2 (2，2a，2，2) T ， 3 (3，3，3a，3) T ， 4 (4，4，4，4a) T 问 a 取何值时，()线性相关?当()线性相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令矩阵 A 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，由A0 或由初等行变换，可得：当 a0 或 a10 时，()线性相关当 a0 时， 1 为()的一个极大无关组，且 2 2 1 ， 3 3 1 ， 4 4 1 ；当 a10 时，对 A 施行初等行变换：A )解析：
