1、考研数学二（向量）-试卷 5 及答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：38.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表示B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示3.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 +
2、 1 线性无关B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 线性无关D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0C.向量组 1 ， 2 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 的任意一个部分向量组线性无关5.设向量组 1 ， 2
3、， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性相关B. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关6.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1
4、 ， 2 ， m 线性表示C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A=( 1 ， 2 ， m )与矩阵 B=( 1 ， 2 ， m )等价7.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关8.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )
5、，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组(I)： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则( )（分数：2.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关9.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 - 1 ， 2 - 2 ， s -
6、 s 的秩为 r 1 -r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， a ， 2 ， s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 110.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关11.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的
7、线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合12.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关13.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示B. 4 能
8、由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示法不唯一C. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法唯一D. 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示不能确定14.设 A=( 1 ， 2 ， m )，其中 1 ， 2 ， m 是 n 维列向量若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.m=nC.存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=D.若 AB=O，则 B=O15.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A 1 ，A 2 ，A
9、 n 线性无关B.若向量 1 ， 2 ， n 线性相关，则 1 ， 2 ， n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，则 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 一定线性无关D.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，且 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，则 A 一定可逆16.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例B. 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组C.设 A=( 1 ， 2 ， m )，方程组 AX=0 只有零
10、解D. 1 ， 2 ， m 中向量的个数小于向量的维数17.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.A T A 可逆的充分必要条件是 r(A)=n18.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关19.设 1 ， 2 ， m
11、与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则( )（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s )=rC.若向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价二、填空题(总题数：5，分数：10.00)20.设 1 = （分数：2.00）填空项 1:_21.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 - 3 ， 2 + 3 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_22
12、.设 = （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_23.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )为 4 阶方阵，且 Ax=0 的通解为 X=k(1，1，2，-3) T ，则 2 由 1 ， 3 ， 4 表示的表达式为 1（分数：2.00）填空项 1:_24.设 1 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_26.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，证明： 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +3 3 ， 1 +4 2 +9 3 线性无关（分数：2.00）_27.设 1 ， m ， 为 m+
13、1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 - 1 ，- m 线性无关（分数：2.00）_28.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 线性无关（分数：2.00）_29.设 1 ， n 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1 ， n 线性相关（分数：2.00）_30.证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关（分数：2.00）_31.n 维列向量组 1 ， n-1 线性无关，且与非零向量 正交证明： 1 ， n-1 ， 线性无关（分数：2.00）_32.设向量
14、组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立（分数：2.00）_33.设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_34.设 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_35.设向量组 1 = （分数：2.00）_36.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量（分数：2.00）_37.设
15、 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_38.设向量组() 1 ， 2 ， 3 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 4 ；() 1 ， 2 ， 3 ， 5 ，若向量组()与向量组()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组 1 ， 2 ， 3 ， 5 - 4 的秩为 4（分数：2.00）_39.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无关的充分必要条件是
16、A 可逆（分数：2.00）_40.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：2.00）_41.设 1 ， 2 ， t 为 AX=0 的一个基础解系， 不是 AX=0 的解，证明：，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_42.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_43.设 A 为 n 阶矩阵，若 A -1 0，而 A k =0证明：向量组 ，A，A k-1 线性无关（分数：2.
17、00）_设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关（分数：4.00）(1).证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示；（分数：2.00）_(2).设 1 = （分数：2.00）_考研数学二（向量）-试卷 5 答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：38.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则( )（分数：2.00）A. 1 可由 2 ， 3 线性表
18、示 B. 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示C. 4 可由 1 ， 3 线性表示D. 4 可由 1 ， 2 线性表示解析：解析：因为 2 ， 3 ， 4 线性无关，所以 2 ， 3 线性无关，又因为 1 ， 2 ， 3 线性相关，所以 1 可由 2 ， 3 线性表示，选(A)3.设向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性无关B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关C. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 线性无关 D. 1 +
19、 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性无关解析：解析：因为-( 1 + 2 )+( 2 + 3 )-( 3 + 4 )+( 4 + 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关； 因为( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0， 所以 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性相关； 因为( 1 + 2 )-( 2 + 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0， 所以 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 线性相关，容易通过证明向量组线性
20、无关的定义法得 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1 线性无关，选(C)4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0C.向量组 1 ， 2 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 的任意一个部分向量组线性无关 解析：解析：(A)不对，因为 1 ， 2 ， m ， 线性无关可以保证 1 ， 2 ， m 线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不能保证 1 ， 2 ， m ，
21、 线性无关； (B)不对，因为 1 ， 2 ， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k 1 ，k 2 ，k m ，有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，但存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0 不能保证 1 ， 2 ， m 线性无关； (C)不对，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1 = 5.设向量组 1 ， 2 ， m 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， m 线性表示，但 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性相
22、关B. 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 线性相关C. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性相关D. 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关 解析：解析：(A)不对，因为 1 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不一定能被 1 ， 2 ， m-1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关； (B)不对，因为 1 ， 2 ， m-1 ， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由 1 ， 2 ， m-1 ， 1 线性表示，所以 1 ， 2 ， m-1 ， 1 ， 2 不一定线性相关； (C)不对，因为 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，而 1 可由
23、 1 ， 2 ， m 线性表示，所以 1 + 2 不可由 1 ， 2 ， m 线性表示，于是 1 ， 2 ， m ， 1 + 2 线性无关，选(D)6.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A=( 1 ， 2 ， m )与矩阵 B=( 1 ， 2 ， m )等价 解析：解
24、析：因为 1 ， 2 ， m 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 的秩为 m，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选(D)7.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关 B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关解析：解析：因为 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2
25、 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 k 1 + 2 一定不可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关，选(A)8.设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )，B=( 1 ， 2 ， n )，AB=( 1 ， 2 ， n )，记向量组(I)： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ；()： 1 ， 2 ， n ，若向量组()线性相关，则( )（分数：2.00）A.()，()都线性相关B.()线性相关C.()线性相关D.()，()至少有一个线性相关 解析：解析：若 1 ， 2 ， n 线性无关， 1 ， 2 ， n 线
26、性无关，则 r(A)=n，r(B)=n，于是 r(AB)=n因为 1 ， 2 ， n 线性相关，所以 r(AB)=r( 1 ， 2 ， n )n，故 1 ， 2 ， n 与 1 ， 2 ， n 至少有一个线性相关，选(D)9.设向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 ，向量组()： 1 ， 2 ， s 的秩为 r 2 ，且向量组()可由向量组()线性表示，则( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， 2 + 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 - 1 ， 2 - 2 ， s - s 的秩为 r 1 -r 2C.向量组 1 ， 2 ， s ， a ， 2 ，
27、s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 的秩为 r 1 解析：解析：因为向量组 1 ， 2 ， s 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，所以向量组 1 ， 2 ， s 与向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 等价，选(D)10.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 都不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量不成比例C. 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示 D. 1 ， 2 ， s 中有一个部分向量组线性无关解析：解析：若向量组 1 ， 2 ，
28、 s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1 ， 2 ， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1 ， 2 ， s 一定线性无关，因为若 1 ， 2 ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)11.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合 D.任一列都是其余列向量的线性组合解析：解析：因为A=0，所以 r(A)n，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)12.若向量组 1 ， 2
29、 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关 C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关解析：解析：若 1 ， 2 ， 3 线性无关，因为 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，矛盾，故 1 ， 2 ， 3 线性相关，选(B)13.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1
30、 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示B. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示法不唯一C. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法唯一 D. 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示不能确定解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，所以 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，又 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经过有限次初等行变换化为B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，所以方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 与 x 1
31、1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 是同解方程组，因为方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 有唯一解，所以方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 有唯一解，即 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，选(C)14.设 A=( 1 ， 2 ， m )，其中 1 ， 2 ， m 是 n 维列向量若对于任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m ，皆有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则( )（分数：2.00）A.mnB.m=nC.存在 m 阶可逆阵 P，使得 AP=D.若 AB=O，则 B=O 解析：解析：因为对任意不全为零的常数 k 1
32、，k 2 ，k m ，有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，所以向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O，选(D)15.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关B.若向量 1 ， 2 ， n 线性相关，则 1 ， 2 ， n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，则 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 一定线性无关D.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A 为
33、n 阶非零矩阵，且 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，则 A 一定可逆 解析：解析：(A 1 ，A 2 ，A n )=A( 1 ， 2 ， n )，因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以矩阵( 1 ， 2 ， n )可逆，于是 r(A 1 ，A 2 ，A n )=r(A)，而A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选(D)16.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例B. 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组C.设 A=( 1 ， 2 ， m )，方程组 AX=0
34、 只有零解 D. 1 ， 2 ， m 中向量的个数小于向量的维数解析：解析：向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，则 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故(A)不对；若 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组，则 1 ， 2 ， m 一定线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不一定两两正交，(B)不对； 1 ， 2 ， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，(D)不对，选(C)17.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.
35、A T A 可逆的充分必要条件是 r(A)=n 解析：解析：若 A T A 可逆，则 r(A T A)=n，因为 r(A T A)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为r(A T A)=r(A)，所以 A T A 可逆，选(D)18.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解析：设 A，B 分别为 mn 及咒s 矩阵，因为 AB=
36、O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A，B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选(A)19.设 1 ， 2 ， m 与 1 ， 2 ， s 为两个 n 维向量组，且 r( 1 ， 2 ， m )=r( 1 ， 2 ， s )=r，则( )（分数：2.00）A.两个向量组等价B.r( 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， s )=rC.若向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，则两向量组等价D.两向量组构成的矩阵等价解析：解析：不妨设向量组 1 ， 2 ， m 的极大线性无关组为 1 ， 2 ， r ，向量组 1 ，
