1、考研数学二（向量）-试卷 4 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 45 =( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )经初等行变换化为阶梯形矩阵则( )（分数：2.00）A. 1 不能由 2 ， 3 ， 4 线性表示。B. 2 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表示。C. 3 不能由 1 ， 2 ， 4 线性表示。D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。3.设向量组 I： 1 , 2 r ，可由向量组：
2、1 2 s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关。B.当 rs 时，向量组必线性相关。C.当 rs 时，向量组 I 必线性相关。D.当 rs 时，向量组 I 必线性相关。4.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向组等价。B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价。D.若 A 的行(列)向量组与矩阵曰的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价。5.设 1 =(1
3、，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，一 1) T ， 3 =(2，6，a，b) T ， 4 =(0，1，3，a) T ，那么 a=8 是 1 , 2 , 3 , 4 线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.充分而非必要条件。C.必要而非充分条件。D.既不充分也非必要条件。6.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，一 1，5) T ，(0，4，一 2) T ，(1，3，0) T ； (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T ； (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0
4、) T ； (1，0，3，1) T ，(一 1，3，0，一 2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 。 则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。7.向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， n 均不为零向量。B. 1 ， 2 ， n 中任意两个向量的分量不成比例。C. 1 ， 2 ， n 中任意一个向量均不能由其余 n 一 1 个向量线性表示。
5、D. 1 ， 2 ， n 中有一部分向量线性无关。8.下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( ) 若 1 , 2 n 线性相关，则存在全不为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，使得 k 1 1 ，+k n 2 +k n n =0。 如果 1 , 2 n 线性无关，则对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n 0。 如果 1 ， 2 ， n 线性无关，则由 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0 可以推出 k 1 =k 2 =k n =0。 如果 1 ， 2 ， n 线性相关，则对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n
6、 ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。9.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0，则 1 ， 2 ， n 线性无关。B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有k 1 1 +k 2 2 +k n n =0。C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。D. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条
7、件是其中任意两个向量线性无关。10.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。B. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。C. 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2 。D. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 一 2 一 2 3 。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.如果 =(1，2，t) T 可以由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(一 1，2，7) T ， 3 =(1，一 1，一 4) T 线性表示，则 t 的值是 1。（分数：2.00）
8、填空项 1:_12.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，一 2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 , 2 , 3 线性表示，但是 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 , 2 , 3 线性表示，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.任意一个三维向量都可以由 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 r( 1 , 2 s )=r( 1 , 2 s ，)=m，r( 1 , 2 s ，)=m+1
9、，则 r( 1 , 2 s ，)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.已知向量组 1 =(1，2，一 1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，一 4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.向量组 1 =(1，一 2,0，3) T ， 2 =(2，一 5，一 3,6) T , 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，一 1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:_18.与 1 =(1，2，3，一 1) T ， 2 =(0，1，
10、1，2) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：4，分数：12.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设向量组 1 =(a，0，10) T ， 2 =(一 2，1，5) T ， 3 =(一 1，1，4) T ，=(1，b，c) T ，试问：当 a，b，c 满足什么条件时,回答下列问题：（分数：6.00）(1). 可由 1 , 2 , 3 线性表出，且表示唯一；（分数：2.00）_(2). 不可由 1 , 2 , 3 线性表出；（分数：2.00）_(3). 可由 1 , 2 , 3 线性表出，但表示
11、不唯一，求出一般表达式。（分数：2.00）_20.已知 1 =(1，一 1，1) T ， 2 =(1，t，一 1) T ， 3 =(t，1，2) T ，=(4，t 2 ，一 4) T ，若 可由向量组 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式。（分数：2.00）_设向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3，4，a) T 线性表示。（分数：4.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_(2).将 1 ， 2 ， 3 由 1 ,
12、2 , 3 线性表示。（分数：2.00）_考研数学二（向量）-试卷 4 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A 45 =( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )经初等行变换化为阶梯形矩阵则( )（分数：2.00）A. 1 不能由 2 ， 3 ， 4 线性表示。B. 2 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表示。C. 3 不能由 1 ， 2 ， 4 线性表示。D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示。 解析
13、：解析：对于选项 A，考虑非齐次线性方程组 x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = 1 。由已知条件可知 r( 2 , 3 , 4 )=r( 2 , 3 , 4 ， 1 )=3，所以 1 必可由 2 , 3 , 4 线性表示。类似可判断选项 B 和 C 也不正确，只有选项 D 正确。实际上，由 r( 1 , 2 , 3 )=2，r( 1 , 2 , 3 , 4 )=3 可知， 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表示。3.设向量组 I： 1 , 2 r ，可由向量组： 1 2 s 线性表示，则( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组必线性相关。B.当 rs 时，向量组必线性相关。C
14、.当 rs 时，向量组 I 必线性相关。D.当 rs 时，向量组 I 必线性相关。 解析：解析：因为向量组 I 可由向量组线性表示，故 r(I)r()s。又因为当 rs 时，必有 r(I)r，即向量组 I 的秩小于其所含向量的个数，此时向量组 I 必线性相关，所以应选 D。4.设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向组等价。B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价。 D.若 A 的行(列)向量组与
15、矩阵曰的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价。解析：解析：将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=( 1 , 2 ， n )，B=( 1 2 ， n )，则有 表明向量组 1 2 ， n 可由向量组 1 , 2 ， n 线性表示。由于Q 可逆，从而有 A=BQ 一 1 ，即( 1 , 2 ， n )=( 1 2 ， n )Q 一 1 ，表明向量组 1 , 2 ， n 可由向量组 1 2 ， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确。类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确。下例可表明选项 C
16、 的命题不正确。设 则 P、Q 均为可逆矩阵，且 5.设 1 =(1，2，3，1) T ， 2 =(3，4，7，一 1) T ， 3 =(2，6，a，b) T ， 4 =(0，1，3，a) T ，那么 a=8 是 1 , 2 , 3 , 4 线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.充分而非必要条件。 C.必要而非充分条件。D.既不充分也非必要条件。解析：解析：n 个 n 维向量线性相关性一般用行列式 1 , 2 ， n 是否为零去判断。因为 1 , 2 , 3 , 4 = 6.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，一 1，5) T ，(0，4，一 2) T ，(1，3，0
17、) T ； (a，1，b，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T ； (a，1，2，3) T ，(b，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T ； (1，0，3，1) T ，(一 1，3，0，一 2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T 。 则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。 解析：解析：向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除
18、 B。由于(1，0，0) T ，(0，2，0) T ，(0，0，3) T 线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关。所以应排除 C。向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1 , 2 , 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组必线性相关。应排除 A。由排除法，所以应选 D。7.向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， n 均不为零向量。B. 1 ， 2 ， n 中任意两个向量的分量不成比例。C. 1 ， 2 ， n 中任意一个向量均不能由其余 n 一 1 个向量线性表示。 D. 1 ， 2 ， n 中有一部分向量
19、线性无关。解析：解析：选项 A，B，D 均是向量组 1 , 2 ， n 线性无关的必要条件，不是充分条件。由排除法可知选 C。例如取 1 =(1，0)， 2 =(0，1)， 3 =(1，1)，则向量组 1 , 2 , 3 满足选项 A，B，D 中的条件，但 1 + 2 一 3 =0，即向量组 1 , 2 , 3 线性相关。8.下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( ) 若 1 , 2 n 线性相关，则存在全不为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，使得 k 1 1 ，+k n 2 +k n n =0。 如果 1 , 2 n 线性无关，则对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n
20、，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n 0。 如果 1 ， 2 ， n 线性无关，则由 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0 可以推出 k 1 =k 2 =k n =0。 如果 1 ， 2 ， n 线性相关，则对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0（分数：2.00）A.1。B.2。 C.3。D.4。解析：解析：对于，线性相关的定义是：存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0。不全为零与全不为零不等价，故错。和都是向量组线性无关的等价描述，正确。对于，线性相
21、关性只是强调不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n 的存在性，并不一定要对任意不全为零的 k 1 ，k 2 ，k n 都满足 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0，故错误。事实上，当且仅当 1 , 2 ， n 全为零向量时，才能满足对任意不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0。综上所述，正确的只有两个，故选 B。9.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k n n =0，则 1 ，
22、2 ， n 线性无关。B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k n ，都有k 1 1 +k 2 2 +k n n =0。 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。D. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。解析：解析：对于选项 A，因为齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0 只有零解，故 1 , 2 ， n 线性无关，选项 A 正确。对于选项 B，由 1 , 2 ， r 线性相关知，齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0 存在非零解，但该方程组存
23、在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的。选项 C 是教材中的定理。由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的。综上可知，应选 B。10.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 。B. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。C. 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2 。D. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 一 2 一 2 3 。 解析：解析：通过已知选项可知( 1 一 2
24、)+( 2 一 3 )+( 3 一 1 )=0，( 1 一 2 )+( 2 + 3 )一( 3 + 1 )=0，因此选项 A、B 中的向量组均线性相关。对于选项 C，可设 1 = 1 + 2 ， 2 =3 1 一 5 2 ， 3 =5 1 +9 2 ，即 1 ， 2 ， 3 三个向量可由 1 ， 2 两个向量线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 必线性相关，即 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2 必线性相关。因而用排除法可知应选 D。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.如果 =(1，2，t) T 可以由 1 =(2，1，1) T ， 2 =(一 1，2，7) T ，
25、 3 =(1，一 1，一 4) T 线性表示，则 t 的值是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析： 可以由向量组 1 , 2 , 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得 12.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，一 2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 , 2 , 3 线性表示，但是 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 , 2 , 3 线性表示，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正
26、确答案：正确答案：一 1）解析：解析：根据题意， 1 =(1，3，4)T 可以由 1 , 2 , 3 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 1 有解， 2 =(0，1，2)T 不可以由 1 , 2 , 3 线性表示，则方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即 13.任意一个三维向量都可以由 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3）解析：
27、解析：任意一个三维向量都可以用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(s，1，2) T 线性表示，即对于任意的向量 ，方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解，也就是对于任意的，r( 1 , 2 , 3 )=r( 1 , 2 , 3 ，)=3，因此 14.已知 r( 1 , 2 s )=r( 1 , 2 s ，)=m，r( 1 , 2 s ，)=m+1，则 r( 1 , 2 s ，)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：m+1）解析：解析：已知 r( 1 , 2 ， s )=r( 1 , 2 ， s ，)=m，表明向量
28、 可以由向量组 1 , 2 ， s 线性表示，但是 r( 1 , 2 ， s ，)=m+1，则表明向量 不能由向量组 1 , 2 ， s 线性表示，因此通过对向量组 1 , 2 ， s ， 作初等列变换，可得( 1 , 2 ， s ，)=( 1 , 2 ， s ，0，)，因此可得 r( 1 , 2 ， s ，)=m+1。15.已知向量组 1 =(1，2，一 1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，一 4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值范围为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一，+)）解析：解析：由于向量的个数与维数不相等，因此不能用
29、行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析。令16.向量组 1 =(1，一 2,0，3) T ， 2 =(2，一 5，一 3,6) T , 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，一 1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 , 2 , 4）解析：解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有 17.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行交换18.与 1 =(1，2，3，一 1) T ， 2 =(0，1，1，2)
30、T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 =(x 1 ，x 2 ,x 3 ，x 4 ) T 与 1 , 2 , 3 均正交，则 对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是(一 1，一 1，1，0) T ，将这个向量单位化得 三、解答题(总题数：4，分数：12.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设向量组 1 =(a，0，10) T ， 2 =(一 2，1，5) T ， 3 =(一 1，1，4) T ，=(1，b，c) T ，试问：当 a，b，c 满足
31、什么条件时,回答下列问题：（分数：6.00）(1). 可由 1 , 2 , 3 线性表出，且表示唯一；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑线性方程组 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =， (1) 记其系数矩阵 A=( 1 , 2 , 3 )。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即 )解析：(2). 不可由 1 , 2 , 3 线性表出；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=一 10，且 c3b 一 1 时 )解析：(3). 可由 1 , 2 , 3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=一 10，且 c=3b
32、一 1 时， 可知 r(A)=r(A，)=2，此时方程组(1)有无穷多解，其全部解为 可由 1 , 2 , 3 线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为 )解析：20.已知 1 =(1，一 1，1) T ， 2 =(1，t，一 1) T ， 3 =(t，1，2) T ，=(4，t 2 ，一 4) T ，若 可由向量组 1 , 2 , 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=( 1 , 2 , 3 )，考虑线性方程组 Ax=。对其系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，即 由题意可知，线性方程组有无穷多解，所以 r(A)=r(A) )解析：设
33、向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3，4，a) T 线性表示。（分数：4.00）(1).求 a 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 , 2 , 3 不能由 1 ， 2 ， 3 表示，且由 1 , 2 , 3 =10，知 1 , 2 , 3 线性无关，所以， 1 ， 2 ， 3 线性相关，即 1 ， 2 ， 3 = )解析：(2).将 1 ， 2 ， 3 由 1 , 2 , 3 线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题等价于求三阶矩阵 C，使得( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 , 2 , 3 )C。 所以 C=( 1 , 2 , 3 ) 一 1 ( 1 ， 2 ， 3 )= 因此( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 , 2 , 3 ) )解析：
