1、考研数学二（向量）-试卷 3 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，一 1，5) T ，(0，4，一 2) T ，(1，3，0) T ， (0，1，6，0，0) T ，(c，0，d，2，0) T ，(e，0，f，0，3) T ， (0，1，2，3) T ，(6，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T ， (1，0，3，1) T ，(一 1，3，0，一 2) T ，(2，1，7，2
2、) T ，(4，2，14，5) T ， 则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为3.设向量组(I)： 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 )， 3 =(a 31 ，a 32 ，a 33 )；向量组()： 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 ，a 14 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 ，a 24 )， 3 =(a 31 ，a 32 ，a 33 ，a 34
3、 ，)， 则正确的命题是( )（分数：2.00）A.(I)相关()无关B.(I)无关()无关C.()无关(I)无关D.()相关(I)无关4.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 B. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 C. 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2 D. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 一 2 一 2 3 5.设 A 是 mn 矩阵，曰是 nm 矩阵，且满足 AB=E，则( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线
4、性无关B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关D.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关6.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，向量 1 ，可由 1 , 2 , 3 线性表示，向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关7.设 A，B 为 n 阶方阵，设 P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若
5、B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价8.向量组 1 =(1，3，5，一 1) T ， 2 =(2，一 1，一 3，4) T ， 3 =(6，4，4，6) T ， 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 , 2 , 5 B. 1 , 3 , 5 C. 2 , 3 , 4 D. 3 , 4 , 5
6、 9.设 n(n3)阶矩阵 （分数：2.00）A.1B.C.一 1D.10.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（分数：2.00）A.当A=a(a0)时，B=aB.当A=a(a0)时，B=一 aC.当A0 时，B=0D.当A=0 时，B=011.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:
7、_13.已知向量组 1 =(2，3，4，5) T ， 2 =(3，4，5，6) T ， 3 =(4，5，6，7) T ， 4 =(5，6，7，8) T ，则向量组 r( 1 , 2 , 3 , 4 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.任意一个 3 维向量都可以用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知向量组 1 =(1，2，一 1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，一 4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为 1（分数：2.00）填
8、空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求向量组 1 =(1，1，4，2) T ， 2 =(1，一 1，一 2，4) T ， 3 =(一 3，2，3，一 11) T ， 4 =(1，3，10，0) T 的一个极大线性无关组（分数：2.00）_18.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k-1 0证明：向量组 ，A 2 ，A k-1 是线性无关的（分数：2.00）_19.设 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e
9、1 ，e 2 ，e n 能由它们线性表示，证明 1 , 2 n 线性无关（分数：2.00）_20.设 1 , 2 n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示（分数：2.00）_21.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a k (2km)，使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a k-1 线性表示（分数：2.00）_22.设向量组 B：b 1 ， r ，能由向量组 A：a 1 ，a r 线性表示为(b 1 ，b r )=(a 1 ，a r )K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组 A 线性无关证明向量组
10、 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r（分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设 A，B 均是 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，证明 A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_考研数学二（向量）-试卷 3 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.现有四个向量组 (1，2，3) T ，(3，一 1，5) T ，(0，4，一 2) T ，(1，3，0) T ， (0，1，6，0，0) T ，(c，0，d，2，0
11、) T ，(e，0，f，0，3) T ， (0，1，2，3) T ，(6，1，2，3) T ，(c，3，4，5) T ，(d，0，0，0) T ， (1，0，3，1) T ，(一 1，3，0，一 2) T ，(2，1，7，2) T ，(4，2，14，5) T ， 则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为 解析：解析：向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B由于(1，0，0)，(0，2，0)，(0，0，3)线性无关，添上两
12、个分量就可得向量组，故向量组线性无关所以应排除 C向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1 , 2 , 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组必线性相关应排除 A由排除法，所以应选 D3.设向量组(I)： 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 )， 3 =(a 31 ，a 32 ，a 33 )；向量组()： 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 ，a 14 )， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 ，a 24 )， 3 =(a 31 ，a 32 ，a 33 ，a 34 ，)， 则正确的命题是( )（分数：2.00
13、）A.(I)相关()无关B.(I)无关()无关 C.()无关(I)无关D.()相关(I)无关解析：解析：由于 A、C 两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题同真同假，而本题要求有且仅有一个命题是正确的，所以 A、C 均错误如设有向量组： 1 =(1，0，0)， 2 =(0，1，0)， 3 =(0，0，0)与 1 =(1，0，0，0)， 2 =(0，1，0，0)， 3 =(0，0，0，1)显然 r( 1 , 2 , 3 )=2，r( 1 ， 2 ， 3 )=3即当 1 , 2 , 3 线性相关时，其延伸组 1 ， 2 ， 3 可以线性无关，因此，A、C 错误如果 1 ， 2 ， 3 线性相
14、关，即有不全为 0 的 x 1 ，x 2 ，x 3 ，使 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0，即方程组 4.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（分数：2.00）A. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 B. 1 一 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 C. 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2 D. 1 + 2 ，2 1 +3 2 +4 3 ， 1 一 2 一 2 3 解析：解析：通过已知选项可知( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 1 )=0，( 1 一 2 )+( 2 + 3 )一( 3 + 1 )=0，
15、因此选项 A、B 中的向量组均线性相关对于选项 C，可设 1 = 1 + 2 ， 2 =3 1 一 5 2 ， 3 =5 1 +9 2 ，即 1 ， 2 ， 3 三个向量可由 1 ， 2 两个向量线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 必线性相关，即 1 + 2 ，3 1 一 5 2 ，5 1 +9 2 必线性相关因而用排除法可知应选 D5.设 A 是 mn 矩阵，曰是 nm 矩阵，且满足 AB=E，则( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关 D.A 的行向量组线性
16、无关，B 的行向量组线性无关解析：解析：因为 AB=E 是 m 阶方阵，所以 r(AB)=m且有 r(A)r(AB)=m，又因 r(A)m，故 r(A)=m于是根据矩阵的性质，A 的行秩=r(A)=m，所以 A 的行向量组线性无关同理，B 的列秩=r(B)=m，所以 B 的列向量组线性无关所以应选 C6.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，向量 1 ，可由 1 , 2 , 3 线性表示，向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示，则必有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关 C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关D. 1 ， 2
17、 ， 3 ， 1 + 2 线性相关解析：解析：由于 1 , 2 , 3 ，线性无关， 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示知， 1 , 2 , 3 ， 2 线性无关，从而部分组 1 , 2 , 2 线性无关，故 B 为正确答案下面证明其他选项的不正确性取 1 =(1，0，0，0) T ， 2 =(0，1，0，0) T ， 3 =(0，0，1，0) T ， 2 =(0，0，0，1) T ， 1 = 1 ，知选项 A 与 C 错误对于选项 D，由于 1 , 2 , 3 线性无关，若 1 , 2 , 3 ， 1 + 2 线性相关，则 1 + 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示，而 1 可由
18、1 , 2 , 3 线性表示，从而 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误所以应选 B7.设 A，B 为 n 阶方阵，设 P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价C.若 B=PAQ，则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价 D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价解析：解析：将等式 B=AQ 中的 AQ 按列分块，设 A=( 1 , 2 n )，B=( 1 2 n
19、)，则有 表明向量组 1 2 n 可由向量组 1 , 2 n 线性表示，表示的系数依次为 Q 的第一列至第 n 列所对应的各元素由于 Q 可逆，从而有 A=BQ 一 1 ，即( 1 , 2 n )=( 1 2 n )Q 一 1 ，表明向量组 1 , 2 n 可由向量组 1 2 n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确下例可表明选项 C 的命题不正确 8.向量组 1 =(1，3，5，一 1) T ， 2 =(2，一 1，一 3，4) T ， 3 =(6，4，4，6) T ，
20、 4 =(7，7，9，1) T ， 5 =(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（分数：2.00）A. 1 , 2 , 5 B. 1 , 3 , 5 C. 2 , 3 , 4 D. 3 , 4 , 5 解析：解析：对向量组的列向量作初等行变换，有 9.设 n(n3)阶矩阵 （分数：2.00）A.1B. C.一 1D.解析：解析：对矩阵 A 的行列式作初等列变换，即把行列式A的第 2，3，n 列加到第 1 列上，提取公因式(n 一 1)a+1，得 令A=0，得 a=1 或10.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（分数：2.00）A.当A=a(a0)时，B=aB.当A=a(a
21、0)时，B=一 aC.当A0 时，B=0D.当A=0 时，B=0 解析：解析：因为当A=0 时，r(A)n，又由题设，矩阵 A 与 B 等价，故 r(B)n，从而B=0，所以应选 D11.假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示解析：解析：由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选
22、A二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行交换13.已知向量组 1 =(2，3，4，5) T ， 2 =(3，4，5，6) T ， 3 =(4，5，6，7) T ， 4 =(5，6，7，8) T ，则向量组 r( 1 , 2 , 3 , 4 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：根据初等变换的性质可知，初等变换不改变向量组或矩阵的秩，则可以通过初等变换将向量构成的矩阵化为阶梯形矩阵来求秩，即 14.任意一个 3 维向量都可以用 1 =
23、(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3）解析：解析：任意一个 3 维向量都可以用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表示，即对于任意的向量 ,方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解，也就是对于任意的，r( 1 , 2 , 3 )=r( 1 , 2 , 3 ，)=3，因此 15.已知向量组 1 =(1，2，一 1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，一 4，5，
24、t) T 线性无关，则 t 的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一，+)）解析：解析：由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析 令三、解答题(总题数：9，分数：18.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求向量组 1 =(1，1，4，2) T ， 2 =(1，一 1，一 2，4) T ， 3 =(一 3，2，3，一 11) T ， 4 =(1，3，10，0) T 的一个极大线性无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将向量 i 写成列向量
25、，组成矩阵 A，再作初等行变换化 A 为阶梯形，矩阵即 )解析：18.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k x=0 有解向量 ，且 A k-1 0证明：向量组 ，A 2 ，A k-1 是线性无关的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有常数 0 ， 1 ， k-1 ，使得 0 + 1 + k-1 A k-1 =0，则有 A k-1 ( 0 + 1 A+ k-1 A k-1 )=0，从而得到 0 A k-1 =0由题设 A k-1 0，所以 0 =0类似地可以证明 1 = 2 = k-1 =0，因此向量组 ，A，A k-1 是线性无关的)解析：19.设 a 1 ，
26、a 2 ，a n 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e 1 ，e 2 ，e n 能由它们线性表示，证明 1 , 2 n 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 维单位向量 e 1 ，e 2 ，e n 线性无关，有 r(e 1 ，e 2 ，e n )=n又因为 n 维单位坐标向量 e 1 ，e 2 ，e n 能由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，则可得 n=r(e 1 ，e 2 ，e n )r(a 1 ，a 2 ，a n )又 a 1 ，a 2 ，,a n 是一组 n 维向量，因此 r(a 1 ，a 2 ，a n )n 综上所述 r(a 1 ，a 2 ，a n )
27、=n故 a 1 ，a 2 ，,a n 线性无关)解析：20.设 1 , 2 n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：a 1 ，a 2 ，,a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此 r(a 1 ，a 2 ，a n )=n对任一 n 维向量 b，因为 a 1 ，a 2 ，,a n ，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 a 1 ，a 2 ，a n ，b 线性相关综上所述 r(a 1 ，a 2 ，a n ，b)=n又因为 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a 1
28、 ，a 2 ，a n 线性表示充分性：已知任一 n 维向量 b 都可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，则单位向量组： 1 ， 2 ， n 可由 a 1 ，a 2 ，a n ，线性表示，即 r( 1 ， 2 ， n ) =nr(a 1 ，a 2 ，a n )，又 a 1 ，a 2 ，a n 是一组n 维向量，有 r(a 1 ，a 2 ，a n )n综上，r(a 1 ，a 2 ，a n )=n所以 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关)解析：21.设向量组 a 1 ，a 2 ，a m 线性相关，且 a 1 0，证明存在某个向量 a k (2km)，使 a k 能由 a 1 ，a 2 ，a
29、k-1 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 a 1 ，a 2 ，a n 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1 ， 2 ， m ，使 1 a 1 + 2 a 2 + m a m =0设 k 0，当 k=1 时，代入上式有 1 a 1 =0又因为 a 1 0，所以 1 =0，与假设矛盾，故 k1当 k 0 且 k2 时，有 )解析：22.设向量组 B：b 1 ， r ，能由向量组 A：a 1 ，a r 线性表示为(b 1 ，b r )=(a 1 ，a r )K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组 A 线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(
30、K)=r（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：令 B=(b 1 ，b r )，A=(a s ，a s )，则有 B=AK，由定理 r(B)=r(AK)minr(A)，r(K)，结合向量组 B：b 1 ，b 2 ，b r 线性无关知 r(B)=r，故 r(K)r又因为 K 为rs 阶矩阵，则有 r(K)minr，s且由向量组 B：b 1 ，b 2 ，b r 能由向量组 A：a 1 ，a 2 ，a s 线性表示，有 rS，即 minr，s=r综上所述，rr(K)r，即 r(K)=r充分性：已知 r(K)=r，向量组 A 线性无关，r(A)=s，因此 A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵
31、P 使 于是有 由矩阵秩的性质 )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设向量组 1 , 2 n 和 1 2 n 依次构成矩阵 A 和 B，由条件知 B=AK，则 r(B)r(A)且 r(A)=r(A，B)其中系数矩阵 K 为 )解析：24.设 A，B 均是 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，证明 A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r(A)=r，r(B)=s，且 1 , 2 n-r 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，即矩阵 A 关于 A=0 的特征向量，同理， 1 2 n-s 是曰关于 A=0 的特征向量那么，向量组 1 , 2 n
32、-r ， 1 2 n-s 必然线性相关(由于 n 一 r+n 一 s=n+(nrs)n)于是存在不全为零的实数 k 1 ，k 2 ，k n-r ，l 1 ，l 2 ，l n-s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r +l 1 1 +l 2 2 +l n-s n-s =0因为 1 2 n-r 线性无关， 1 2 n-s 线性无关，所以 k 1 ，k 2 ，k n-r ，与 l 1 ，l 2 ，l n-s 必分别不全为零，令 =k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r =一(l 1 1 +l 2 2 +l n-s n-s )由 0，从特征向量性质知， 既是 A 关于 =0 的特征向量，也是 B 关于 =0 的特征向量，因而 A，B 有公共的特征向量)解析：
