1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 8 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.AB=0，A，B 是两个非零矩阵，则（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关B 曰的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关3.设 1 ， 2 ， s 都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ，
2、2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关4. 1 ， 2 ， s ， 线性无关，而 1 ， 2 ， s ， 线性相关，则（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，+ 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 ，c+ 线性无关C. 1 ， 2 ， 3 ，+c 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ，+c 线性无关5.设 1 ， 2 ， 3 线性无关，则
3、( )线性无关：（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 1 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3 C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 -3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 -5 3 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)6.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 1 线性相关则实数t 等于 1（分数：2.00）填空项 1:_7.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 AX=0 的基础解系，记 1 = 1 +t 2 ， 2 = 2 +
4、t 3 ， 3 = 3 +t 4 ， 4 = 4 +t 1 实数 t= 1 时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，也是AX=0 的基础解系?（分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 =(1，0，0) T ，则方程组 AX= 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.已知 1 ， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为-1 和 1，又 3 维向量 3 满足 A 3 = 2 + 3 证明 1 ， 2 ， 3
5、线性无关（分数：2.00）_11.设 n 维向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，并且 1 0，证明存在 1ks，使得 k 可用 1 ， k-1 线性表示（分数：2.00）_12.设 A 为 n 阶矩阵， 0 0，满足 A 0 =0，向量组 1 ， 2 满足 A 1 = 2 ，A 2 2 = 2 证明 0 ， 1 ， 2 线性无关（分数：2.00）_13.设 A 为 n 阶矩阵， 1 为 AX=0 的一个非零解，向量组 2 ， 2 ， s 满足 A i-1 i = 1 (i=2，3，s)证明 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_14.设 A 是 n 阶矩阵，k 为正整数， 是齐次方
6、程组 A k X=0 的一个解，但是 A k-1 0证明，A，A k-1 线性无关（分数：2.00）_15.设 1 ， 2 ， s 线性无关， i = i + i+1 ，i=1，s-1， s = s + 1 判断 1 ， 2 ， s 线性相关还是线性无关?（分数：2.00）_16.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 1 + 3 + 4 ， 2 =2 1 + 3 + 4 ， 3 = 2 - 4 ， 4 = 3 + 4 ， 5 = 2 + 3 (1)求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )；(2)求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个最大无关组（分数：2.00）_
7、17.设 1 ， 2 ， 3 都是 n 维非零向量，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关 （分数：2.00）_18.设 1 ， 2 ， s ， 都是 n 维向量，证明：r( 1 ， 2 ， s ，)= （分数：2.00）_19.设 A 是 mn 矩阵证明：r(A)=1 （分数：2.00）_20.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 都是 n 维向量组，证明 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t )r( 1 ， 2 ， s )+r( 1 ， 2 ， t )（分数：2.00）_21.设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵， 表示 A 在上，B 在下构造的矩阵证明 （分数：2.0
8、0）_22.证明 r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_23.设 A 是 n 阶矩阵，满足(A-aE)(A-bE)=0，其中数 ab证明：r(A-aE)+r(A-bE)=n（分数：2.00）_24.设 A 是 n 阶矩阵，证明 （分数：2.00）_25.设 1 ， 2 ， r 和 1 ， 2 ， s 是两个线性无关的 n 维向量证明：向量组 1 ， 2 ， r ； 1 ， 2 ， s 线性相关 （分数：2.00）_26.设 A=( 1 ， 2 ， n )是实矩阵，证明 A T A 是对角矩阵 （分数：2.00）_27.设 A 为实矩阵，证明 r(A T A)=r(A)（分数：2.0
9、0）_28.设 1 ， 2 ， s 是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关（分数：2.00）_29.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 是两个线性无关的 n 维实向量组，并且每个 i 和 j 都正交，证明 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关（分数：2.00）_30.设 A 为 n 阶正交矩阵， 和 都是 n 维实向量，证明：(1)内积(，)=(A，A)(2)长度A=（分数：2.00）_考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 8 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只
10、有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.AB=0，A，B 是两个非零矩阵，则（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关B 曰的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关解析：解析：用秩矩阵的行(列)向量组线性相关，即其的秩小于行(列)数 设 A 是 mn 矩阵，B 是ns 矩阵，则由 AB=0 得到 r(A)+r(B)n由于 A，B 都不是零矩阵，r(A)0，r(B)0于是 r(A)n，r(B)nn 是 A 的列数，B 的行数，因此 A 的列向量组线性相关B
11、的行向量组线性相关3.设 1 ， 2 ， s 都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关 B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关解析：解析：本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下： 因为 1 ， 2 ， s 线性相关，所以存在不全为 0 的数 c 1 ，c
12、 2 ，c s 使得 c 1 1 +c 2 2 +c s s =0， 用 A 左乘等式两边，得 c 1 A 1 +c 2 A 2 +c s A s =0， 于是 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关 但是用秩来解此题，则更加简单透彻只要应用两个基本性质，它们是： 1 1 ， 2 ， s 线性无关 4. 1 ， 2 ， s ， 线性无关，而 1 ， 2 ， s ， 线性相关，则（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，+ 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 ，c+ 线性无关C. 1 ， 2 ， 3 ，+c 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ，+c 线性无关 解析：解析：由于 1 ， 2 ， 3
13、 ， 线性无关， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的于是根据定理 32， 1 ， 2 ， 3 ，c+(或 +c)线性相关与否取决于 x+(或 +c)可否用 1 ， 2 ， 3 线性表示 条件说明 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 可用 1 ， 2 ， 3 线性表示 c+ 可否用 1 ， 2 ， 3 线性表示取决于 c，当 c=0 时 c+= 可用 1 ， 2 ， 3 线性表示；c0 时 c+ 不可用 1 ， 2 ， 3 线性表示c 不确定，(A)，(B)都不能选 而 +c 总是不可用 1 ， 2 ， 3 线性表示的，因此(C)不对，(D)对5.设 1 ， 2 ， 3 线性无关，则( )线
14、性无关：（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 1 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3 C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 -3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 -5 3 解析：解析：容易看出(A)中的向量组的第 2 个减去第 1 个等于第 3 个，所以相关(B)组的前两个之和等于第 3 个，也相关于是(A)和(B)都可排除 现在只用判断(C)组是否相关(若相关，选(D)，若无关，选(C) 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 对 1 ， 2 ， 3 的表示矩阵为 二、填
15、空题(总题数：3，分数：6.00)6.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 1 线性相关则实数t 等于 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-12）解析：解析：本题可以用定义做，但是表述比较哕嗦，用秩比较简单证明 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 1 线性相关就是要证明其秩小于 3 记矩阵 A=( 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 1 )用矩阵分解，有 A=( 1 ， 2 ， 3 ) 记 C= 由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，( 1 ， 2 ， 3 )是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质， r
16、( 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 2 )=r(A)=r(C) 于是 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 2 线性 相关 r(C)3 7.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 AX=0 的基础解系，记 1 = 1 +t 2 ， 2 = 2 +t 3 ， 3 = 3 +t 4 ， 4 = 4 +t 1 实数 t= 1 时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，也是AX=0 的基础解系?（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：8.设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 =(1，0，0) T ，则方程组 AX
17、= 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，0，0) T）解析：解析：设 A=( 1 ， 2 ， 3 )A 为正交矩阵，列向量是单位向量于是 1 是(1，0，0) T 则 = 1 =A(1，0，0) T ， 解为(1，0，0) T .三、解答题(总题数：22，分数：44.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.已知 1 ， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为-1 和 1，又 3 维向量 3 满足 A 3 = 2 + 3 证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据
18、特征向量的性质， 1 ， 2 都是 A 的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的根据定理 32，只用再证明 3 不可用 1 ， 2 线性表示 用反证法如果 3 可用 1 ， 2 表示，设 3 =c 1 1 +c 2 2 ，用 A 左乘等式两边，得 2 + 3 =c 1 1 +c 2 2 ， 减去原式得 2 =-2c 1 1 ， 与 1 ， 2 线性无关矛盾，说明 3 不可用 1 ， 2 线性表示)解析：11.设 n 维向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，并且 1 0，证明存在 1ks，使得 k 可用 1 ， k-1 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ，
19、 s 线性相关，所以存在不全为 0 的数 c 1 ，c 2 ，c s ，使得 x 1 1 +c 2 2 +c s s =0 设 c k 是 c 1 ，c 2 ，c s 中最后一个不为 0 的数，即 c k 0，但 ik 时，c i =0则 k1(否则 1 =0，与条件矛盾)，并且有 c 1 1 +c 2 2 +c k k =0则于 k = 1 - 2 - )解析：12.设 A 为 n 阶矩阵， 0 0，满足 A 0 =0，向量组 1 ， 2 满足 A 1 = 2 ，A 2 2 = 2 证明 0 ， 1 ， 2 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用定义证明即要说明当 c 1 ，c
20、 2 ，c 3 满足 c 1 0 +c 2 1 +c 3 2 =0时它们一定都是 0 记此式为(1)式，用 A 乘之，得 c 2 0 +c 3 A 2 =0 (2) 再用 A 乘(2)得 c 3 0 =0由 0 0，得 c 3 =0代入(2)得 c 2 =0再代入(1)得 c 1 =0)解析：13.设 A 为 n 阶矩阵， 1 为 AX=0 的一个非零解，向量组 2 ， 2 ， s 满足 A i-1 i = 1 (i=2，3，s)证明 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用定义法 设 c 1 1 +c 2 2 +c s s =0(1)，要推出系数 c i 都为
21、 0 条件说明 A i i =A 1 =0(i=1，2，3，s) 用 A s-1 乘(1)的两边，得 c s 1 =0，则 c s =0 再用 A s-2 乘(1)的两边，得 c s-1 1 =0，则 c s-1 =0 这样可逐个得到每个系数都为 0)解析：14.设 A 是 n 阶矩阵，k 为正整数， 是齐次方程组 A k X=0 的一个解，但是 A k-1 0证明，A，A k-1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用定义证明 设 c 1 +c 2 A+c k A k-1 =0，要推出每个 c i =0 先用A k-1 乘上式两边，注意到当 mk 时，A m =0(因为 A k
22、 X=0)，得到 c 1 A k-1 =0又因为 A k-1 0，所以 c 1 =0上式变为 c 2 Aa+c k A k-1 =0再用 A k-2 乘之，可得到 c 2 =0如此进行下去，可证明每个 c i =0)解析：15.设 1 ， 2 ， s 线性无关， i = i + i+1 ，i=1，s-1， s = s + 1 判断 1 ， 2 ， s 线性相关还是线性无关?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， s 对 1 ， 2 ， s 的表示矩阵为 )解析：16.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 1 + 3 + 4 ， 2 =2 1 + 3 + 4
23、， 3 = 2 - 4 ， 4 = 3 + 4 ， 5 = 2 + 3 (1)求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )；(2)求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个最大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 对 1 ， 2 ， 3 ， 4 的表示矩阵为 用初等行变换化为阶梯形矩阵： )解析：17.设 1 ， 2 ， 3 都是 n 维非零向量，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“ ”用定义法也不麻烦(请读者自己做)，但是用 C 矩阵法更加简单 1 +s 3 ， 2 +t 3 对 1
24、， 2 ， 3 的表示矩阵为 显然对任何数 s，t，C 的秩都是 2，于是 1 +s 3 ， 2 +t 3 的秩为 2，线性无关 “ ”在 s=t=0 时，得 1 ， 2 线性无关，于是只要再证明 3 不可用 1 ， 2 线性表示用反证法如果 3 可以用 1 ， 2 线性表示，设 3 =c 1 1 +c 2 2 ， 则因为 3 不是零向量，c 1 ，c 2 不能全为 0不妨设 c 1 0，则有 c 1 ( 1 - 3 )+c 2 2 =0， 于是 1 - 3 ， 2 线性相关，即当 s= )解析：18.设 1 ， 2 ， s ， 都是 n 维向量，证明：r( 1 ， 2 ， s ，)= （分数
25、：2.00）_正确答案：(正确答案：把 1 ， 2 ， s 的一个最大无关组放在 1 ， 2 ， s ， 中考察，看它是否也是 1 ， s ， 的最大无关组 设()是 1 ， 2 ， s 的一个最大无关组，则它也是 1 ， 2 ， s ， 中的一个无关组 问题是：()增添 后是否相关? 若 可用 1 ， 2 ， s 表示，则 可用()表示(因为 1 ， 2 ， s 和()等价!)，于是()增添 后相关，从而()也是 1 ， 2 ， s ， 的最大无关组，r( 1 ， 2 ， s ，)=r( 1 ， 2 ， s ) 若 不可用 1 ， 2 ， s 表示，则 不可用()表示，()增添 后无关，从而
26、()不是 1 ， 2 ， s ， 的最大无关组，此时()， 是 1 ， 2 ， s ， 的最大无关组，r( 1 ， 2 ， s ，)=r( 1 ， 2 ， s )+1)解析：19.设 A 是 mn 矩阵证明：r(A)=1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“ ”记 A 的列向量组为 1 ， 2 ， n ，则因为 r(A)=1，所以r( 1 ， 2 ， n )=1于是 A 一定有非零列向量，记 为一个非零列向量，则每个 i 都是 的倍数设 i =b i ，i=1，2，n记 =(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，则 0，并且 A=( 1 ， 2 ， n )=(b 1 ，b 2 ，b n
27、 )= T “ )解析：20.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 都是 n 维向量组，证明 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t )r( 1 ， 2 ， s )+r( 1 ， 2 ， t )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 的一个最大无关组()，记() 1 是()中属于 1 ， 2 ， s 中的那些向量所构成的部分组，() 2 是()中其余向量所构成的部分组于是() 1 和() 2 分别是属于 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， t 的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过 r( 1 ， 2 ， s )和
28、r( 1 ， 2 ， t )。从而 r( 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t )=()中向量个数=() 1 中向量个数+() 2 中向量个数r( 1 ， 2 ， s )+r( 1 ， 2 ， t )解析：21.设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵， 表示 A 在上，B 在下构造的矩阵证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 作等行交换，把 A 和 B 分别化为阶梯矩阵 C 和 D.则矩阵 有 r(A)+r(B)个非零行，于是 )解析：22.证明 r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A+B)r(A+BB) 对矩阵(A+BB)进行初等列变换
29、：左边 A+B 各列都减去右边 B 的对应列，化为(AB)于是 r(A+B)r(A+BB)=r(AB)r(A)+r(B)解析：23.设 A 是 n 阶矩阵，满足(A-aE)(A-bE)=0，其中数 ab证明：r(A-aE)+r(A-bE)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一方面，根据矩阵秩的性质，由(A-aE)(A-bE)=0 得到 r(A-aE)+r(A-bE)n另一方面，用矩阵的秩的性质，有 r(a-aE)+r(a-bE)r(A-aE)-(A-bE)=r(b-a)E)=n 两个不等式结合，推出 r(A-aE)+r(A-bE)=n)解析：24.设 A 是 n 阶矩阵，证明 （分数
30、：2.00）_正确答案：(正确答案：当 r(A)=n 时，A 可逆，从而 A * 也可逆，秩为 n 当 r(A)n-1 时，它的每个余子式 M ij (是 n-1 阶子式)都为 0，从而代数余子式 A ij 也都为 0于是 A * =0，r(A * )=0 当 r(A)=n-1 时，A=0，所以 AA * =0于是 r(A)+r(A * )17,由于 r(A)n-1，得到 r(A * )1 又由 r(A)=n-1 知道 A 有 n-1 阶非 0 子式，从而存在代数余子式 A hk 不为 0，于是 A * 0，r(A * )0于是 r(A * )=1)解析：25.设 1 ， 2 ， r 和 1
31、， 2 ， s 是两个线性无关的 n 维向量证明：向量组 1 ， 2 ， r ； 1 ， 2 ， s 线性相关 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“ ”因为 1 ， 2 ， r ； 1 ， 2 ， s 线性 相关，所以存在 c 1 ，c 2 ，c r ， r+1 ，c r+s 不全为 0，使得 c 1 1 +c 2 2 +c r r +c r+1 1 +c r+2 2 +c r+s s =0 记 =c 1 1 +c 2 2 +c r r =-(c r+1 1 +c r+2 2 +c r+s s )， 则 0(否则由 1 ， 2 ， r 和 1 ， 2 ， s 都线性无关，推出 c 1 ，c 2 ，c s ， r+1 ，c r+s 全为 0)，并且它既可用 1 ， 2 ， r 表示，又可用 1 ， 2 ， s 表示 “ )解析：26.设 A=( 1 ， 2 ， n )是实矩阵，证明 A T A 是对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A T A 的(i，j)位元素为( i ， j )于是 A T A 是对角矩阵 当 ij时，A T A 的(i，j)位元素为 0 当 ij 时， i ， j 正交 )解析：
