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    【考研类试卷】考研数学二(向量代数和空间解析几何)-试卷1及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学二(向量代数和空间解析几何)-试卷1及答案解析.doc

    1、考研数学二(向量代数和空间解析几何)-试卷 1及答案解析(总分:44.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.过点(一 1,2,3)且垂直于直线 并平行于平面 7x+8y+9z+10=0的直线方程是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.3.设有直线 则 L 1 与 L 2 的夹角为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.设有直线 L: (分数:2.00)A.平行于 B.在 上C.垂直于 D.与 斜交5.如果直线 L 1 : 相交,则 =( ) (分数:2.00)A.B.

    2、C.D.6.已知两条直线 (分数:2.00)A.L 1 B.L 1 C.L 2 D.L 1 L 2 二、填空题(总题数:1,分数:2.00)7.已知|a|=2,|b|=5,a 和 b的夹角为 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:15,分数:30.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_9.设向量 A=2a+3b,B=3a 一 b,|a|=2,|b|=1,a 和 b的夹角为 (分数:2.00)_10.已知单位向量 与三个坐标轴的夹角相等,B 是点 M(1,一 3,2)关于点 N(一 1,2,1)的对称点,求 (分数:2.00)_11.求点 P(

    3、1,2,一 1)到直线 (分数:2.00)_12.试证向量 a=一 i+3j+2k,b=2i 一 3j一 4k,c=一 3i+12j+6k在同一平面上(分数:2.00)_13.求过原点且与两条直线 (分数:2.00)_14.求过点(2,一 3,1)和直线 (分数:2.00)_15.设一平面垂直于 xOy面,并通过点(1,一 1,1)到直线 (分数:2.00)_16.设直线 L过点 P(一 1,0,4),与平面 :3x 一 4y+z=10平行,且与直线 L 0 :x+1=y 一 3= (分数:2.00)_17.设有直线 (分数:2.00)_18.求空间曲线 (分数:2.00)_19.将下列曲线化

    4、为参数方程 (分数:2.00)_20.已知点 A与 B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1),线段 AB绕 z轴旋转一周所成的旋转曲面为S,求由 S及平面 z=0,z=1 所围成的立体体积(分数:2.00)_21.求直线 (分数:2.00)_22.求直线 (分数:2.00)_考研数学二(向量代数和空间解析几何)-试卷 1答案解析(总分:44.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.过点(一 1,2,3)且垂直于直线 并平行于平面 7x+8y+9z+10=0的直线方程

    5、是( ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:设所求直线的方向向量为 s,直线 的方向向量为 s 1 =(4,5,6),平面7x+8y+9z+10=0的法向量为 n=(7,8,9),故 由点法式方程知,所求直线为 整理得 3.设有直线 则 L 1 与 L 2 的夹角为( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:由已知条件,L 1 的方向向量为 s 1 =(1,一 2,1) 4.设有直线 L: (分数:2.00)A.平行于 B.在 上C.垂直于 D.与 斜交解析:解析:L 的方向向量5.如果直线 L 1 : 相交,则 =( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解

    6、析:由已知,L 1 的方向向量 s 1 =(1,2,),且过点 A(1,一 1,1);L 2 的方向向量 s 2 =(1,1,1),且过点 B(一 1,1,0)若 L 1 与 L 2 相交,则 s 1 ,s 2 , 共面,即 6.已知两条直线 (分数:2.00)A.L 1 B.L 1 C.L 2 D.L 1 L 2 解析:解析: L 1 的方向向量 s 1 =(一 1,2,一 3) L 2 的方向向量 s 2 =(3,1,2) 的法向量n=(2,7,4), 由于 s 1 .n=一 12+2734=0, 故 L 1 ,从而应选(A)二、填空题(总题数:1,分数:2.00)7.已知|a|=2,|b

    7、|=5,a 和 b的夹角为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:40)解析:解析:由已知,A.B=0,于是(a+17b).(3ab)=0,即 3|a| 2 +(51一 )a.b 一 17|b| 2 =0,亦即 12+(51 一 )10cos 三、解答题(总题数:15,分数:30.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:9.设向量 A=2a+3b,B=3a 一 b,|a|=2,|b|=1,a 和 b的夹角为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: A.B=(2a+3b).(3ab) =6|a| 2 +7a.b3|b| 2 =6|a

    8、| 2 +7|a|b|cos -3|b| 2 =62 2 +721 )解析:10.已知单位向量 与三个坐标轴的夹角相等,B 是点 M(1,一 3,2)关于点 N(一 1,2,1)的对称点,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 因为 与三个坐标轴的夹角相等,所以 cos=cos=cos 又由于 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1,于是 设 B点坐标为(x,y,z),由已知可知 N是 MB的中点,从而有 解得 x=一 3,y=7,z=0,所以 ,则 )解析:11.求点 P(1,2,一 1)到直线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:如图 41所示 向量 s=(2,一 1,

    9、3), 由向量积的几何意义,)解析:12.试证向量 a=一 i+3j+2k,b=2i 一 3j一 4k,c=一 3i+12j+6k在同一平面上(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:三个向量共面的充分必要条件是混合积等于零因为(a,b,c)= )解析:13.求过原点且与两条直线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:两条直线的方向向量分别为 s 1 =(0,1,1),s 2 =(1,2,1), 故平面的法向量 )解析:14.求过点(2,一 3,1)和直线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 设过已知直线的平面束方程为 1 (x一 5y16)+ 2 (2yz+6)=0, 把点(2,

    10、一 3,1)代入上式,得 1 一 2 =0,即 )解析:15.设一平面垂直于 xOy面,并通过点(1,一 1,1)到直线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:先求点(1,一 1,1)到直线 的垂线的方向向量 已知直线的参数方程为设点到直线的垂足为(0,t,t+1),则垂线的方向向量为(一 1,t+1,t) 由于该向量垂直于已知直线的方向向量(0,1,1),从而 (一 1,t+1,t).(0,1,1)=2t+1=0, 于是所求平面的法向量为)解析:16.设直线 L过点 P(一 1,0,4),与平面 :3x 一 4y+z=10平行,且与直线 L 0 :x+1=y 一 3= (分数:2.00)

    11、_正确答案:(正确答案: 过点 P(一 1,0,4)且平行于已知平面 的平面方程为 3(x+1)一 4y+(x一 4)=0,它与直线 L 0 的交点为(15,19,32),即为 L 0 与 L的交点由两点式得 L的方程 即 )解析:17.设有直线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: L 1 ,L 2 的方向向量分别为 s 1 =(2,1,一 3),s 2 =(4,一 1,2), 且两直线分别过点 M 0 (一 1,1,0)和 M 1 (2,3,一 4) 由于 故 L 1 与 L 2 为异面直线 如图 42所示,两直线间的距离即为 在其公垂线的方向向量上的投影的绝对值,即 )解析:18.

    12、求空间曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:在方程组中消去 z,得曲线关于 xOy面的投影柱面方程为 x 2 +y 2 =4,于是投影曲线为 )解析:19.将下列曲线化为参数方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由方程组消去 z得 x 2 +y 2 +(1+x 2 +y 2 ) 2 =5,即 (x 2 +y 2 ) 2 +3(x 2 +y 2 )一 4=0 亦即 x 2 +y 2 =1,此时 z=2(注意 z0),所以曲线方程可化为 令 x=cos ,y=sin ,得曲线参数方程为 (2)曲线方程消去 z得 2x 2 +y 2 =(1一 x) 2 ,即 (x+1) 2

    13、 +y 2 =2 )解析:20.已知点 A与 B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1),线段 AB绕 z轴旋转一周所成的旋转曲面为S,求由 S及平面 z=0,z=1 所围成的立体体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:AB 所在直线的方程为: 解出 x=1一 z,y=z,于是旋转曲面的方程为 x 2 +y 2 =(1一 z) 2 +z 2 , 即 x 2 +y 2 =1一 2z+2z 2 由于旋转体的横截面是圆,半径为 故所求立体的体积为 )解析:21.求直线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 L的方程改写为一般方程为 则过 L的平面束方程为 x一 y一 1+(y+z一 1)=0,即 x+(-1)y+z-(1+)=0 欲使它与平面 垂直,则 1一(1)+2=0,从而 =一 2,得到平面束方程中经过 L且垂直于 的平面方程为 x一 3y一 2z+1=0,于是投影直线 L 0 的方程为 L 0 : 将 L 0 化为 于是 L 0 绕 y轴旋转一周所成曲面的方程为 x 2 +z 2 =4y 2 + )解析:22.求直线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将直线方程改写成 于是旋转曲面方程为 x 2 +y 2 =a 2 z 2 +b 2 当a0,b0 时,旋转曲面方程为 为单叶旋转双曲面 当 a0,b=0 时,旋转曲面方程为 )解析:


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