1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 33及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f() 在(，)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b03.设 a(a)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.4.设函数 f()连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 (0，)有 f()f(0)B.对任意的 (0，)有 f()f(0)C.当 (0，)时，f()为单调增函数D.当
2、 (0，)时，f()是单调减函数5.设 f()是二阶常系数非齐次线性微分方程 yPyqysin22e 的满足初始条件 f(0)f(0)0 的特解，则当 0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他6.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f()在 a 处连续，则 f()在 a 处连续B.若 f()在 a 处连续，则f()在 a 处连续C.若 f()在 a 处连续，则 f()在 a 的一个邻域内连续D.若二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7.设 f()连续，且 f(1)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f()一阶连续可导，且 f(0)0，
3、f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f()连续，且 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f()可导且 f()0，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f()在 2 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_14.当 0 时， （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)1
4、8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 f() （分数：2.00）_20.求函数 yln( （分数：2.00）_21.求极限 （分数：2.00）_22.求极限 （分数：2.00）_23.证明： （分数：2.00）_24.设 f()a 1 ln(1)a 2 ln(12)a n ln(1n)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切 有f()e 1证明：a 1 2a 2 na n 1（分数：2.00）_25.求极限 （分数：2.00）_26.设函数 f()可导且 0f() (k0)，对任意的 n ，作 n+1 f( n )(n0，1，2，)，证明：
5、 （分数：2.00）_27.设 f()在a，)上连续，且 （分数：2.00）_28.设 f()在a，b上连续，任取 i a，b(i1，2，n)，任取 k i 0(i1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f( 1 )k 2 f( 2 )k n f( n )(k 1 k 2 k n )f()（分数：2.00）_29.求 （分数：2.00）_30.设 （分数：2.00）_31.已知 （分数：2.00）_32.设 （分数：2.00）_33.确定 a，b，使得 (abcos)sin 当 0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_34.设 f()连续可导， 2，求 （分数：2.00）_35
6、.求 （分数：2.00）_36.f() （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 33答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f() 在(，)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解析：因为 f() 在(，)内连续，所以 a0，又因为3.设 a(a)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D. 解析：解析：因为 ，所以 0， 于是4.设函数 f()连续，且 f(0)0，
7、则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 (0，)有 f()f(0) B.对任意的 (0，)有 f()f(0)C.当 (0，)时，f()为单调增函数D.当 (0，)时，f()是单调减函数解析：解析：因为 f(0)0，所以 0，根据极限的保号性，存在 0，当 (0，)时，有5.设 f()是二阶常系数非齐次线性微分方程 yPyqysin22e 的满足初始条件 f(0)f(0)0 的特解，则当 0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析： 因为 f(0)f(0)0，所以 f(0)2，于是6.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f()在 a
8、 处连续，则 f()在 a 处连续B.若 f()在 a 处连续，则f()在 a 处连续 C.若 f()在 a 处连续，则 f()在 a 的一个邻域内连续D.若解析：解析：令 f() 、显然f()1 处处连续，然而 f()处处间断，A 不对； 令 f() 显然 f()在 0 处连续，但在任意 a0 处函数 f()都是间断的，故 C不对； 令 f() 显然 f(0h)f(0h)0，但 f()在 0 处不连续，D 不对； 若 f()在 a 处连续，则 f()f(a)，又 0f()f(a) f()f(a)，根据迫敛定理，二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7.设 f()连续，且 f(1)1，则
9、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 f()一阶连续可导，且 f(0)0，f(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：9.设 f()连续，且 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 0 tf(t)dt 0 (u)f(u)(du) 0 f(u)du 0 uf(u)du， 0 arctan(t) 2 dt 0 arctanu 2 (du) 0 arctanu 2 du， 10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11. 1 （分
10、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 0 时，有 1cos a ，则 1 2 ，1 ， 原式 12.设 f()可导且 f()0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 f()在 2 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*(2)）解析：解析：由 得 f(2) ，且 f(2) ，则曲线 yf()在点(2，f(2)处的切线方程为 y14.当 0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因为 0 时， ，cos 2 1 一(cos1)(cos1) 2
11、， 且 15.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ， 因为函数 f()在 z一 0处连续， 所以 a16.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：f(00)17.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 f() 其次 f()的间断点为 k(k0
12、，1，)，因为 )解析：20.求函数 yln( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()ln( )， 因为 f() f()， 所以函数yln( )为奇函数，于是 即函数 yln( )解析：21.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 1，2时有 1 ，则 1 d， 当 2，3时有 当 n，n1时有 从而有 1 ln(n1) 又当 E1，2时， 当 2，3时， 当 n1，n时， 从而有 1 1lnn 故 ln(n1)1 1lnn，于是 1
13、由迫敛定理得 )解析：24.设 f()a 1 ln(1)a 2 ln(12)a n ln(1n)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切 有f()e 1证明：a 1 2a 2 na n 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0 时，由f()e 1 得 且 )解析：25.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由迫敛定理得 )解析：26.设函数 f()可导且 0f() (k0)，对任意的 n ，作 n+1 f( n )(n0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： n+1 n f( n )f( n-1 )f( n )( n n-1 )，因
14、为f()0，所以 n+1 n 与 n n-1 同号，故 n 单调 即 n 有界，于是 n 存在， 根据 f()的可导性得 f()处处连续，等式 n+1 f( n ) 两边令 n，得 )解析：27.设 f()在a，)上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：28.设 f()在a，b上连续，任取 i a，b(i1，2，n)，任取 k i 0(i1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f( 1 )k 2 f( 2 )k n f( n )(k 1 k 2 k n )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在a，b上连续，所以 f()在a，b上取到最小
15、值 m和最大值 M， 显然有 mf( i )M(i1，2，n)， 注意到 k i 0(i1，2，n)，所以有 k i mk i f( i )k i M(i1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k 1 k 2 k n )mk 1 f( 1 )k 2 f( 2 )k n f( n )(k 1 k 2 k n )M， 即 m M， 由介值定理，存在a，b，使得 f() )解析：29.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ln(1a)a o( 2 )，e b 1b
16、o( 2 )，cos1 o( 2 )得 ln(1a)e b cos(ab) 2 o( 2 )， )解析：32.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ln(1)(ab 2 ) o( 2 )(ab 2 ) (1a)(b ) 2 o( 2 )， 由 1 得 0 时， dt 2 于是 )解析：33.确定 a，b，使得 (abcos)sin 当 0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y(abcos)sin， y1bsin 2 (abcos)cos， ybsin2 sin2(abcos)sinasin2bsin2， yacos4bcos2， 显然 y(0)0，y(0)0， 所以令 y(0)y(0)0 得 故当 )解析：34.设 f()连续可导， 2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 f(t)dt 0 f(u)(du) 0 f(u)du， 0 时，ln(1) 得 )解析：35.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：k(k012)及 1 为 f()的间断点 f(00) 0， 因为 f(00)f(00)，所以 0 为跳跃间断点； 由 得 2 为可去间断点； 当k(k1，3，4，)时， 由 f()得 k(k1，3，4，)为第二类间断点；由 )解析：
