1、考研数学二（二重积分）-试卷 6 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设平面区域 D 由曲线 y= （分数：2.00）A.2B.一 2C.7cD.一 7c3.已知 I= ，则 I= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.二次积分 0 2 dx f(x，y)dy 写成另一种次序的积分是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设平面区域 D 由 x=0，y=0，x+y= （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1
2、C.I 1 I 3 I 2D.I 3 I 1 I 26.累次积分 （分数：2.00）A. 0 d 0 2Rsin f(r 2 )rdrB.C.D. 0 d 0 2Rcos f(r 2 )rdr7.设平面区域 D：(x 一 2) 2 +(y 一 1) 2 1，若比较 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 =I 2B.I 1 I 2C.I 1 I 2D.不能比较二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_9.若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有（分数：2.00）填空项 1:_
3、10.设 D=(x，y)1x 2 +y 2 e 2 ，则二次积分 （分数：2.00）填空项 1:_11.由曲线 y=ln x 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为 1，其值等于 2（分数：2.00）填空项 1:_12.设 I= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.计算 0 1 dy 3y 3 （分数：2.00）_15.计算 0 1 dy （分数：2.00）_16.计算 0 1 dx （分数：2.00）_17.计算 0 1 dy （分数：2.0
4、0）_18.计算 0 2 dx （分数：2.00）_19.计算 0 1 dx （分数：2.00）_20.计算 1 2 dx 0 x （分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.记平面区域 D=(x，y)x+y1，计算如下二重积分： (1)I 1 = ，其中 f(t)为定义在(一，+)上的连续正值函数，常数 a0，b0； (2)I 2 = （分数：2.00）_24.设 p(x)在a，b上非负连续，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y)axb，ayb，判别 I 1 = （分数：2.00）_25.设函数 f(x，y)连续，
5、且 f(x，y)=x+ yf(u，v)dudv，其中 D 由 y= （分数：2.00）_26.交换累次积分 I 的积分次序：I= （分数：2.00）_27.交换累次积分 I 的积分次序： I= （分数：2.00）_28.(1)计算 0 + dx， (2)当 x1 一 时，求与 0 + （分数：2.00）_29.证明： 0 1 dx 0 1 (xy) xy dy= 0 1 x x dx（分数：2.00）_30.设 F(x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 I= （分数：2.00）_31.(1)设 D=(x，y)axb，cyd，若 f“ xy 与 f“ yx 在 D 上连续，证明： （分数：
6、2.00）_考研数学二（二重积分）-试卷 6 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设平面区域 D 由曲线 y= （分数：2.00）A.2B.一 2C.7cD.一 7c 解析：解析：如图 151 所示，用曲线 y=一 sin x(一 x0)将区域 D 划分为 D 1 和 D 2 两部分，则 D 1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称， 3.已知 I= ，则 I= ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：积分域由两部分组成(如图
7、 152)设4.二次积分 0 2 dx f(x，y)dy 写成另一种次序的积分是 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：改变积分次序的步骤是： 由原累次积分的上、下限写出来表示为积分域 D 的联立不等式，并作出 D 的草图，原积分变成二重积 f(x，y)dxdy 按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式 由已知积分的上、下限，可知积分域的不等式表示为：5.设平面区域 D 由 x=0，y=0，x+y= （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 1 I 2解析：解析：在 D 内， x+y1，所以 ln(
8、x+y)0sin(x+y)x+y， 于是6.累次积分 （分数：2.00）A. 0 d 0 2Rsin f(r 2 )rdrB.C. D. 0 d 0 2Rcos f(r 2 )rdr解析：解析：7.设平面区域 D：(x 一 2) 2 +(y 一 1) 2 1，若比较 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 =I 2B.I 1 I 2C.I 1 I 2 D.不能比较解析：解析：由二重积分的比较性质，只需比较 D 上(x+y) 2 与(x+y) 2 的大小，即 x+y 与 1 的大小从几何的角度也就是考察圆域 D 与直线 x+y=1 的位置关系因积分域 D 的圆心(2，1)到直线 x+y=1 的
9、距离d= 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.二重积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：负号）解析：解析：二重积分的积分值的符号由被积函数在积分域内的正负号所确定积分域D：x+y1 因 0x 2 +y 2 (x+y) 2 1，故 ln(x 2 +y 2 )ln 1=0，但又不恒等于零，故 9.若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：设连续函数 z=f(x，y)关于 x 为奇函数(f(一 x，y)=一 f(x，y)或关于
10、 x 为偶函数(f(一x，y)=f(x，y)，积分域 D 关于 y 轴对称，D 1 表示 D 的位于 y 轴右方的部分，则有同理当 z=f(x，y)关于 y 为奇函数或偶函数，积分域 D 关于 x 轴对称也有类似的结论10.设 D=(x，y)1x 2 +y 2 e 2 ，则二次积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：被积函数的特点含有 x 2 +y 2 的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便 11.由曲线 y=ln x 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为 1，其值等于 2（分数：2.00）填空项
11、1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.设 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：积分域 D 为：e x ye 2x ，0x1曲线 y=e 2x ，y=e x 与直线 x=1 的交点分别为(1，e 2 )与(1，e)故 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.计算 0 1 dy 3y 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.计算 0 1 dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.计算 0 1 dx （分数：2.0
12、0）_正确答案：(正确答案： )解析：17.计算 0 1 dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.计算 0 2 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.计算 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.计算 1 2 dx 0 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 155 所示，交换积分次序，得 )解析：23.记平面区域 D=(x，y)x+y1，计算如下二重积分： (1)I
13、 1 = ，其中 f(t)为定义在(一，+)上的连续正值函数，常数 a0，b0； (2)I 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，故其面积 S D =2，因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，则由二重积分的性质便有 (2)因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又分别关于 Oy 轴，Ox 轴对称；函数 e x 一 e 一 x ，e y 一 e 一 y 分别关于 x，y 为奇函数，则由二重积分的性质得 )解析：24.设 p(x)在a，b上非负连续，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y)axb，ayb，
14、判别 I 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设函数 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x+ yf(u，v)dudv，其中 D 由 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难首先可以知道积分26.交换累次积分 I 的积分次序：I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由累次积分 I 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域 = 1 2 ，它们可表示为 )解析：27.交换累次积分 I 的积分次序： I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由累次积分 I 的积分限容易写出其对
15、应的二重积分的积分区域为 = 1 2 3 ，其中 )解析：28.(1)计算 0 + dx， (2)当 x1 一 时，求与 0 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.证明： 0 1 dx 0 1 (xy) xy dy= 0 1 x x dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分 在 0 1 (xy) xy dy 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy，当 y 从 0 变到 1 时，t 从 0 变到 x，则 )解析：30.设 F(x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 I= （分数：2.
16、00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.(1)设 D=(x，y)axb，cyd，若 f“ xy 与 f“ yx 在 D 上连续，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) f“ xy (x，y)dxdy= a b dx c d f“ xy (x，y)= a b f“ x (x，y) c d dx = a b f“ x (x，d)一 f“ x (x，c)dx =f(x，d) a b f(x，c) a b =f(b，d)一 f(a，d)+f(a，c)一 f(b，c) 同理， f“ yx (x，y)dxdy= c d dy a b f“ yx (x，y)dx=f(b，d)一f(a，d)+f(a，c)一 f(b，c) 结论成立 (2)用反证法 设存在 P 0 (x 0 ，y 0 )D，有 f“ xy (x 0 ，y 0 )f“ yx (x 0 ，y 0 ) 不妨设 f“ xy (x 0 ，y 0 )一 f“ yx (x 0 ，y 0 )0，由于 f“ xy (x，y)一 f“ yx (x，y)=f“ xy (x 0 ，y 0 )一 f“ yx (x 0 ，y 0 )0 由极限的保号性， 0 0，0，当 P(x，y)U(P 0 ，)时有 f“ xy (x，y)一 f“ yx (x，y) 0 由(1)有， )解析：
