1、考研数学二（二次型）模拟试卷 15 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (AB)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB3.n 阶实对称矩阵
2、 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A -1 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX 与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都
3、相同6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 APB，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX0 与 BX0 同解D.r(A)r(B)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)r(B)B.ABC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同9.设 （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似10.设 A，B 为三阶矩阵，且特征
4、值均为2，1，1，以下命题： (1)AB； (2)A，B 合同； (3)A，B 等价；(4)AB中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：4，分数：8.00)11.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )( 1 2 2 ) 2 4 2 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设二次型 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 a 2 3 的秩为 2，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 5 1 2 2 2 t 3 2 4 1 2 2 1 3 2 2 3 为正定二次型，则
5、t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.用配方法化二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 3 为标准二次型（分数：2.00）_17.用配方法化二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 1 2 2 1 3 4 3 2 为标准形（分数：2.00）_18.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 ABBO，其中 B （分数：2.00）_19.用正交变换法化二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2
6、2 3 2 4 1 2 4 1 3 4 2 3 为标准二次型（分数：2.00）_20.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )(a1) 1 2 (a1) 2 2 2 3 2 2 1 2 (a0)的秩为 2 (1)求 a； (2)用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_21.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次型 XTAX 的标准形； (2)EAA 2 A n 的值（分数：2.00）_22.设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f( 1 ， 2 ， n ) （分数：2.00）_23.设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 2AO，r(A)2
7、(1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，AkE 为正定矩阵?（分数：2.00）_24.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 4 2 2 2 3 2 2t 1 2 2 1 3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：EA1（分数：2.00）_26.用配方法化下列二次型为标准形： f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 2 2 2 5 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 3 （分数：2.00）_27.用配方法化下列二次型为标准形： f( 1 ， 2 ， 3 )2 1 2 2 1 3 6 2 3 （分数：2.00）_28.二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ) 1 2 a 2 2 3 2 4 1 2 8 1 3 4 2 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 by 2 2 4y 3 2 ，求： (1)常数 a，b； (2)正交变换的矩阵Q（分数：2.00）_29.设 C 为正定矩阵，令 P （分数：2.00）_30.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 )X T AX，tr(A)1，又 B （分数：2.00）_
