1、考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 3及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1.设函数 yf()由方程 y2lny 4 所确定，则曲线 yf()在(1，1)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_2.设周期为 4的函数 f()处处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_3.设曲线 yln 与 yk （分数：2.00）填空项 1:_4.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_5.曲线 re 在 （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：22，分数：44.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
2、步骤。（分数：2.00）_7.设 ba0，证明： （分数：2.00）_8.证明： （分数：2.00）_9.证明方程 pqcos0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q1（分数：2.00）_10.证明方程 ln （分数：2.00）_11.设 k0，讨论常数 k的取值，使 f()lnk 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_12.设 f() （分数：2.00）_13.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f() （分数：2.00）_14.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)
3、0，证明： (1)存在 (a，b)，使得f()2() (2)存在 (a，b)，使得 f()f()0（分数：2.00）_15.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f()f()f(2)2f(1)（分数：2.00）_16.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0，证明：存在 ，(1，2)，使得（分数：2.00）_17.证明：当 1 时， （分数：2.00）_18.证明：当 0 时，arctan （分数：2.00）_19.证明：当 01 时， （分数：2.00）_20.当 0 时，证明： （分数：2.00）_21.设 f()在0，1上连续，且
4、f()1，证明：2 0 f(t)dt1 在(0，1)有且仅有一个根（分数：2.00）_22.求曲线 y （分数：2.00）_23.求曲线 y （分数：2.00）_24.求 yf() （分数：2.00）_25.证明：当 0 时， （分数：2.00）_26.设 0a1，证明：方程 arctana 在(0，)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_27.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)f()ln （分数：2.00）_考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 3答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总
5、题数：5，分数：10.00)1.设函数 yf()由方程 y2lny 4 所确定，则曲线 yf()在(1，1)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2）解析：解析：y2lny 4 两边对 求导得 将 1，y1 代入得 2.设周期为 4的函数 f()处处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y24）解析：解析：由 得 f(1)2， 再由3.设曲线 yln 与 yk （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*1）解析：解析：设当 a 时，两条曲线相切，由 得 ae 2 两条曲线的公其切线为 ylne 2 (e 2 )
6、，整理得切线为 y 4.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y21）解析：解析：在点(0，1)处 t0，5.曲线 re 在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*）解析：解析： 当 时，0，y k 1，所求切线方程为y二、解答题(总题数：22，分数：44.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：7.设 ba0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (ab)(lnblna)2(ba)0令 ()(a)(lnlna)2(a)，(a)0， ()lna 1，(a)0， () 0(a) 由得 ()0(a
7、)， 再由 )解析：8.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()ln( )0，得 0，因为 f() 0，所以0 为 f()的最小值点，最小值为 f(0)0，所以有 1ln )解析：9.证明方程 pqcos0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 0q1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：今 f()pqcos，因为 f()1qsin0，所以 f()在(，)上单调增加 又因为 f()， )解析：10.证明方程 ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 令 f()ln ， 令 f() 0， 得 e，因为f(e) ，所以 f(e) 0 为 f()的最大值 又
8、因为 f()， )解析：11.设 k0，讨论常数 k的取值，使 f()lnk 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()的定义域为(0，)， f()k， f() 由 f()ln10，得驻点为 ，由 f() 0，得 为 f()的极小值点，也为最小值点，最小值为 (1)当 k 时，函数 f()在(0，)内没有零点； (2)当 k 时，函数 f()在(0，)内有唯一零点 ； (3)当 0k ，函数 f()在(0，)内有两个零点，分别位于(0， )与( )解析：12.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f() 0，所以 f()在(
9、，)上单调增加 因为 f() ，当 0 时，f()0；当 0 时，f()0，则 yf()在(，0)的图形是凹的，yf()在(0，)内是凸的，(0，0)为 yf()的拐点 因为 f()f()，所以 f()为奇函数 由 )解析：13.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()(b) a f()，显然 ()在a，b上连续，在(a，b)内可导，因为 (a)(b)0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 由 ()(b) a-1 (b)f()af()得 (b) a-1 (b)f()
10、af()且(b) a-1 0，故 f() )解析：14.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明： (1)存在 (a，b)，使得f()2() (2)存在 (a，b)，使得 f()f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 () f()，因为 f(a)f(b)0，所以 (a)(b)0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0， 而 () f()2f()且 )解析：15.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f()f()f(2)2f(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 () ， 则 ()在1，
11、2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)(2)f(2)f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()0， 而 () )解析：16.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0，证明：存在 ，(1，2)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F()ln，F() 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 由拉格朗日中值定理得 ln2lnl .(21) ，其中 (1，2)， F(2)F(1)f()(21)f()，其中 (1，2)， 故 )解析：17.证明：当 1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()(1)ln(1)ln，F(1)2ln20， 因
12、为 f()ln(1)1ln1ln(1 )0(1)， 所以 f()在1，)上单调增加， 再由 f(1)2ln20 得当 1 时，f()0，即 )解析：18.证明：当 0 时，arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()arctan ， 因为 f() 0(0)，所以 f()在(0，)内单调递减， 又因为 ，所以 f() ，即 arctan )解析：19.证明：当 01 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()(1)ln(1) arcsin，f(0)0， f()ln(1) arcsin0(01)， 由 得当 01 时，f()0， 故 )解析：20.当 0 时，
13、证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()sin，f(0)0 f()1cos0(0 )， 由 得 f()0(0 即当 0 时，sin； 令 g()sin ，g(0)0，g( )0 由 g()sin0(0 )得 g()在(0， )内为凸函数 由得 g()0(0 )，即当 0 时， sin， 故当 0 时，)解析：21.设 f()在0，1上连续，且 f()1，证明：2 0 f(t)dt1 在(0，1)有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()2 0 1，(0)1，(1)1 0 1 f(t)dt， 因为f()1，所以 0 1 f(t)dt1，从而 (0)(1)
14、0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)0 因为 ()2f()0，所以 ()在0，1上单调增加，故方程 2 0 f(t)dt1有且仅有一个根)解析：22.求曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 y0 得(3) 2 10，解得 24， 故曲线 y )解析：23.求曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 11 得 曲线 y )解析：24.求 yf() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()，所以 yf()没有水平渐近线， 由 f()得0 为铅直渐近线， 由 f()得 2 为铅直渐近线， )解析：25.证明：当 0 时， （分数：2.00
15、）_正确答案：(正确答案：令 (t)ln(t)，由拉格朗日中值定理得 ln(1 )ln(1)ln(1)(0)() (01)， )解析：26.设 0a1，证明：方程 arctana 在(0，)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()arctana，由 f() a0 得 ， 由 f() 0 得 f()的最大值点， 由 f()，f(0)0 得方程 arctana在(0，)内有且仅有唯一实根，位于( )解析：27.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)f()ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F()ln，F() 0， 由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 即 ，整理得 f(b)f(a)f()ln )解析：
