1、考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 2及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 y （分数：2.00）A.1条B.2条C.3条D.4条3.函数 f() 3 3k 只有一个零点，则 k的范围为( )（分数：2.00）A.k1B.k1C.k2D.k24.设曲线 y 2 ab 与曲线 2yy 3 1 在点(1，1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a1，b1B.a1，b1C.a2，b1D.a2，b1二、填空题(总题数：4，分数：8.0
2、0)5.设 L： （分数：2.00）填空项 1:_6.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_8.ye 在 0 处的曲率半径为 R 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明：存在 (a，b)，使得 f()f()g()0（分数：2.00）_11.设 f()在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0) 0 2 f(t)dtf(2)f(3) 证明：(
3、1)存在 1 ， 2 (0，3)，使得 f( 1 )f( 2 )0 (2)存在 (0，3)，使得 f()2f()0（分数：2.00）_12.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0(12)，又 存在且非零，证明： (1)存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_13.设 f()在a，b上二阶可导且 f()0，证明：f()在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_14.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 1 1 (t)dt0 证明：存在 (0，1)，使得 f() 0 f(t)dt（分数：2.00）_15.设 f()在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 3f(0
4、)f(1)2f(2)，证明：存在 (0，2)，使得f()0（分数：2.00）_16.设 f()三阶可导， （分数：2.00）_17.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)0，证明：存在 (0，1)，使得 f()sinf()cos0（分数：2.00）_18.设 f()二阶可导，f(1)0，令 () 2 f()，证明：存在 (0，1)，使得 ()0（分数：2.00）_19.设 f()二阶可导，且 （分数：2.00）_20.设 f()二阶可导， （分数：2.00）_21.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)f()ln
5、 （分数：2.00）_22.设 f()在0， 上连续，在(0， )内可导，证明：存在 ，(0， )，使得（分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.设 e （分数：2.00）_25.设 y （分数：2.00）_26.设当 0 时，方程 k （分数：2.00）_27.求曲线 yf() （分数：2.00）_28.证明：当 0 时，e 1(1)ln(1)（分数：2.00）_考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 2答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数
6、：2.00）_解析：2.曲线 y （分数：2.00）A.1条B.2条 C.3条D.4条解析：解析：由 f()得 0 为铅直渐近线；由 得 y3.函数 f() 3 3k 只有一个零点，则 k的范围为( )（分数：2.00）A.k1B.k1C.k2 D.k2解析：解析： f()， 4.设曲线 y 2 ab 与曲线 2yy 3 1 在点(1，1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a1，b1B.a1，b1 C.a2，b1D.a2，b1解析：解析：由 y 2 ab 得 y2a，2yy 3 1 两边对 求导得 2yy 3 3y 2 y，解得 y ，因为两曲线在点(1，1)处切线相同 二、填空题(总
7、题数：4，分数：8.00)5.设 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2）解析：解析：t0 对应的曲线上点为(0，0)， 又 ，切线斜率为 k6.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y3）解析：解析：7.曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y）解析：解析：由 0， 得曲线 y8.ye 在 0 处的曲率半径为 R 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：y(0)1，y(0)1，则曲线 ye 在 0 处的曲率为 k ，则曲率半径为R 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)
8、9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明：存在 (a，b)，使得 f()f()g()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()f()e () ， 由 f(a)f(b)0 得 (a)(b)0，则存在(a，b)，使得 ()0， 因为 ()e () f()f()g()且 () 0，所以f()f()g()0)解析：11.设 f()在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0) 0 2 f(t)dtf(2)f(3) 证明：(1)存在 1 ， 2 (0，3)，使得
9、f( 1 )f( 2 )0 (2)存在 (0，3)，使得 f()2f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F() 0 f(t)dt，F()f()， 0 2 f(t)dtF(2)F(0)F(c)(20)2f(c)，其中 0c2 因为 f()在2，3上连续，所以 f()在2，3上取到最小值 m和最大值 M， m M， 由介值定理，存在 0 2，3，使得 f( 0 ) ，即 f(2)f(3)2f( 0 )， 于是 f(0)f(c)f( 0 )， 由罗尔定理，存在 1 (0) (0，3)， 2 (c， 0 ) (0，3)，使得 f( 1 )f( 2 )0 (2)令 ()e 2 f(
10、)，( 1 )( 2 )0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：12.设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0(12)，又 存在且非零，证明： (1)存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 h()ln，F() 1 f(t)dt，且 F()f()0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 (2)由 )解析：13.设 f()在a，b上二阶可导且 f()0，证明：f()在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 1 ， 2 (a，b)且 1 2 ，取 0 ，由泰勒公式得 f()f( 0 )f( 0 )(
11、 0 ) ( 0 ) 2 ，其中 介于 0 与 之间 因为 f()0，所以 f()f( 0 )f( 0 )( 0 )，“”成立当且仅当“ 0 ”，从而 两式相加得 f( 0 ) ， 即 )解析：14.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 1 1 (t)dt0 证明：存在 (0，1)，使得 f() 0 f(t)dt（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()e - 0 f(t)dt， 因为 (0)(1)0，所以存在 (0，1)，使得 ()0， 而 5()e f() 0 f(t)dt且 e 0，故 f() 0 f(t)dt)解析：15.设 f()在0，2上连续，在(0，2)内可导
12、，且 3f(0)f(1)2f(2)，证明：存在 (0，2)，使得f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在1，2上连续，所以 f()在1，2上取到最小值 m和最大值 M 又因为 m M，所以由介值定理，存在 c1，2，使得 f(c) ，即 f(1)2f(2)3f(c)， 因为 f(0)f(c)，所以由罗尔定理，存在 (0，c) )解析：16.设 f()三阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 得 f(0)1，f(0)0； 由 0 得 f(1)1，f(1)0 因为 f(0)f(1)1，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)0 由 f(0)f(
13、c)f(1)0，根据罗尔定理，存在 1 (0，c)， 2 (c，1)，使得 f( 1 )f( 2 )0，再根据罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：17.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)0，证明：存在 (0，1)，使得 f()sinf()cos0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()f()sin， (0)(1)0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()0， 而 ()f()sinf()cosv，故 f()sinf()cos0)解析：18.设 f()二阶可导，f(1)0，令 () 2 f()，证明：存在 (0，1)，使得 ()0（分数：2.00）_正确
14、答案：(正确答案：(0)(1)0，由罗尔定理，存在 1 (0，1)，使得 ( 1 )0， 而 ()2f() 2 f()，(0)( 1 )0， 由罗尔定理，存在 (0， 1 ) )解析：19.设 f()二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 得 f(0)1，f(0)0， f(0)f(1)1，由罗尔定理，存在c(0，1)，使得 f(c)0令 () 2 f()， (0)(c)0，由罗尔定理，存在E(0，c) )解析：20.设 f()二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 得 f(0)0，f(0)1， 由拉格朗日中值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)
15、 1 令 ()e - f()1，(0)(c)0， 由罗尔定理，存在(0，c) )解析：21.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)f()ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g()ln，g() 0，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得 整理得 f(b)f(a)f()ln )解析：22.设 f()在0， 上连续，在(0， )内可导，证明：存在 ，(0， )，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g()cos，g()sin0(0 )， 由柯西中值定理，存在 (0， )，使得 由拉格朗日中值定理，存在 (0，
16、)，使得 f( )f(0)f()( 0)， 故 )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 e （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e 1 o( 3 )， 1bb 2 2 b 3 3 o( 3 )， (1a)1bb 2 2 b 3 3 o( 3 ) 1(ab)b(ba) 2 b 2 (ba) 3 o( 3 )， e (1ab)( abb 2 ) 2 ( b 3 ab 2 ) 3 o( 3 )， 由题意得 1ab0， abb 2 0 且 b 3 ab 2 0，解得 a ，b )解析：25.设 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：sin 又
17、1 2 2 o( 4 )， 所以 y o( 5 ) 由 )解析：26.设当 0 时，方程 k （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()k 1，f()k (1)当 k0 时，由 f()0 得 f()在(0，)内单调减少， 再由 f(00)， f()0 得 k0 时，f()在(0，)内有且仅有一个零点， 即方程 k 1 在(0，)内有且仅有一个根； (2)当 k0时，令 f()0，解得 ， 因 f() 0 ，所以 为 f()的唯一极小值点即为最小值点，令最小值 mf( )0，解得 k 故 k 或 k0 时，方程 k)解析：27.求曲线 yf() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()得曲线无水平渐近线， 由 f()得 1 为铅直渐近线； 由 得 1 不是铅直渐近线； 由 )解析：28.证明：当 0 时，e 1(1)ln(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()e 1(1)ln(1)，f(0)0， f()e ln(1)1，f(0)0；f()e )解析：
