1、考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 1及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1.设 f()ln(1)，当 0 时，f()f()，则 （分数：2.00）填空项 1:_2.函数 f()e 2 的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_3.曲线 L 在 t （分数：2.00）填空项 1:_4. 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.曲线 y(32) （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：22，分数：44.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_7.设 f()二阶连续可导，
2、且 f(0)f(0)0，f(0)0，设 u()为曲线 yf()在点(，f()处的切线在 轴上的截距，求 （分数：2.00）_8.设函数 f()在区间0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)f(1)f(2)3，f(3)1 证明：存在 (0，3)，使得 f()0（分数：2.00）_9.设函数 f()和 g()在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)g(b)0，g()0试证明存在 (a，b)使 （分数：2.00）_10.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_11.设 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内可
3、导，且 g()0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_12.设 f()在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 f(t)dt(1)f()0（分数：2.00）_13.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a)f( （分数：2.00）_14.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得f()f()0（分数：2.00）_15.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 f()（分数：2.00）_16.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接
4、点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线yf()交于点 C(c，f(c)(其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_17.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)，且 f()在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)，使得 f()0，f()0（分数：2.00）_18.设 ba0，证明 （分数：2.00）_19.设 f()在a，b上满足f()2，且 f()在(a，b)内取到最小值证明：f(a)f(b)2(ba)（分数：2.00）_20.设 f()在0，1上二阶连续可导且 f(0)f(1)，又f()M，证明：f() （分数：2.0
5、0）_21.设函数 f()，g()在a，)上二阶可导，且满足条件 f(a)g(a)，f(a)g(a)，f()g()(a)证明!当 a 时，f()g()（分数：2.00）_22.证明：当 0 时， 2 (1)ln 2 (1)（分数：2.00）_23.证明不等式：arctan （分数：2.00）_24.求 y 0 (1t)arctantdt 的极值（分数：2.00）_25.设 PQ为抛物线 y （分数：2.00）_26.证明：当 01 时，(1)ln 2 (1) 2 （分数：2.00）_27.证明：对任意的 ，yR 且 y，有 （分数：2.00）_考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试
6、卷 1答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1.设 f()ln(1)，当 0 时，f()f()，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f() ，由 f()f() 得 ln(1) ，解得 ， 故2.函数 f()e 2 的最大值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f()(12)e -2 0 得 ， 当 时，f()0；当 时，f()0， 则 为 f()的最大点，最大值为 3.曲线 L 在 t （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k*）解析：解析
7、： 曲率为 k4. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.曲线 y(32) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y35）解析：解析：由二、解答题(总题数：22，分数：44.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：7.设 f()二阶连续可导，且 f(0)f(0)0，f(0)0，设 u()为曲线 yf()在点(，f()处的切线在 轴上的截距，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 yf()在点(，f()的切线为 Yf()f()(X)， 令Y0，则 u()X )解析：8.设函数 f()
8、在区间0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)f(1)f(2)3，f(3)1 证明：存在 (0，3)，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在0，3上连续，所以 f()在0，2上连续，故 f()在0，2取到最大值 M和最小值 m，显然 3mf(0)f(1)f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 C0，2，使得 f(c)1 因为 f()在c，3上连续，在(c，3)内可导，且 f(c)f(3)1，根据罗尔定理，存在(c，3) )解析：9.设函数 f()和 g()在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)g(b)0，g()0试证明存在 (a，b)
9、使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()f() b g(t)dtg() a f(t)dt，()在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 ()f() b g(t)dtf()g()g()f()g() a f(t)dt f() b g(t)dtg() a (t)dt， 因为 (a)(b)0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)使 ()0，即 f() b g(t)dtg() a f(t)dt0， 由于 g(b)0 及 g()0，所以区间(a，b)内必有 g()0， 从而就有 b g(t)dt0，于是有 )解析：10.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a
10、，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()f(b)lnf()lnf()lna，(a)(b)f(b)lna 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()0 而 () f()lnf()lna， 所以 f(b)f()f()(lnlna)0，即 )解析：11.设 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g()0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F()f()g(b)f(a)g()f()g()，则 F()在a，b上连续在(a，b)内可导，且 F(a)F(b)f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F()01 而F()f(
11、)g(b)f(a)g()f()g()f()g()，所以 )解析：12.设 f()在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 f(t)dt(1)f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 () 0 f(t)dt 0 f(t)dt 因为 (0)(1)0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()0 而 () 0 f(t)dt(1)f()，故 0 f(t)dt(1)f()0)解析：13.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a)f( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f(a)0，f(b)0， 0，令 ()e - f()，则 ()e
12、 - f()f() 因为 (a)0， 0，(b)0 所以存在 使得 ( 1 )( 2 )0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：14.设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1)，证明：存在 ，(0，1)，使得f()f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：存在 (0， )，( ，1)，使得 )解析：15.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)证明：存在 ，(a，b)，使得 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F() 2 ，F()20(ab)，由柯西中值定理，存在(a，b)，使得 再由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 f
13、()，故 f() )解析：16.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线yf()交于点 C(c，f(c)(其中 acb)证明：存在 (a，b)，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 因为点A，B，C 共线，所以 f( 1 )f( 2 )， 又因为 f()二阶可导，所以再由罗尔定理，存在( 1 ， 2 ) )解析：17.设 f()在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)f(b)，且 f()在a，b上不恒为常数证明：存在 ，(a，b)，使得 f()
14、0，f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在a，b上不恒为常数且 f(a)f(b)，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)f(b)，不妨设 f(c)f(a)f(b)， 由微分中值定理，存在 (a，c)，(c，b)，使得)解析：18.设 ba0，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于 b(lnblna)ba，令 1 ()(lnlna)(a)， 1 (a)0， 1 ()lnlna0(a) 由 得 1 )()0(a)，而 ba，所以 1 (b)0， 从而 ，同理可证 )解析：19.设 f()在a，b上满足f()2，且 f()在(a，b)内取到最小值证
15、明：f(a)f(b)2(ba)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在(a，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为 f()在a，b上的最小值，从而 f(c)0 由微分中值定理得 其中 (a，c)，(c，b)， 两式取绝对值得 )解析：20.设 f()在0，1上二阶连续可导且 f(0)f(1)，又f()M，证明：f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)f()f()(0) (0) 2 ，(0，)，f(1)f()f()(1) (1) 2 ，(，1)， 两式相减得 f() f() 2 f()(1) 2 ， 取绝对值得f() 2 (1)
16、 2 ， 因为 2 ，(1) 2 1，所以 2 (1) 2 1，故f() )解析：21.设函数 f()，g()在a，)上二阶可导，且满足条件 f(a)g(a)，f(a)g(a)，f()g()(a)证明!当 a 时，f()g()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()f()g()，显然 (a)(a)0，()0(a) 由得 ()0(a)； 再由 )解析：22.证明：当 0 时， 2 (1)ln 2 (1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 2 (1)ln 2 (1)，f(0)0； f()2ln 2 (1)2ln(1)，f(0)0； f()2 0(0)， 由 得 f()0
17、(0)；由 )解析：23.证明不等式：arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()arctan ln(1 2 )，f(0)0令 f() arctan arctan0，得 0，因为 f() 0，所以 0 为 f()的极小值点，也为最小值点，而 f(0)0，故对一切的 ，有 f()0，即 arctan )解析：24.求 y 0 (1t)arctantdt 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y(1)arctan0，得 0 或 1，yarctan ，因为 y(0)10，y(1) 0，所以 0 为极小值点，极小值为 y0；1 为极大值点，极大值为 )解析：25.设
18、 PQ为抛物线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P(a， )，因为 y 关于 y轴对称，不妨设 a0 y(a) ，过 P点的法线方程为 y (a)， 设 Q(b， )，因为 Q在法线上，所以 ，解得 ba PQ 的长度的平方为 L(a)(ba) 2 ， 由 L(a) 0 得 a2 为唯一驻点，从而为最小值点， 故 PQ的最小距离为 )解析：26.证明：当 01 时，(1)ln 2 (1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() 2 (1)ln 2 (1)，f(0)0； f()2ln 2 (1)2ln(1)，f(0)0； f()2 0(01) 由 得 f()0(01) 再由 )解析：27.证明：对任意的 ，yR 且 y，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：今 f(t)e t ，因为 f(t)e t 0，所以函数 f(t)e t 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 ，yR 且 y，有 即 )解析：
