1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 15及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：28，分数：56.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.求 0 e-1 (x+1)ln 2 x(x+1)dx（分数：2.00）_3.求定积分：()J= -2 2 min2，x 2 dx； ()J= -1 x (1-t)dt，x-1（分数：2.00）_4.设 n为正整数,利用已知公式 I n = sin n xdx= cos n xdx= ，其中 求下列积分： ()J n = （分数：2.00）_5.求无穷积分 J= 1 + （
2、分数：2.00）_6.设 f(x)= （分数：2.00）_7.设 f(x)=arcsin(x-1) 2 ，f(0)=0，求 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_8.设 a0，f(x)在(-+)上有连续导数求极限 （分数：2.00）_9.求 （分数：2.00）_10.设 f(x)在(-，+)连续，在点 x=0处可导，且 f(0)=0，令 （分数：2.00）_11.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= （分数：2.00）_12.求函数 f(x)= e x （分数：2.00）_13.求星形线 L （分数：2.00）_14.求下列旋转体的体积 V： ()由曲
3、线 y=x 2 ，x=y 2 所围图形绕 x轴旋转所成旋转体； ()由曲线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)，y=0 所围图形绕 y轴旋转的旋转体（分数：2.00）_15.求双纽线 r 2 =a 2 cos2(a0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积（分数：2.00）_16.求功：()设半径为 1的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?()半径为尺的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?（分数：2.00）_17.过曲线 y=x 2 (x0)上某点 A作一切线，使之与曲线及 x轴围成图形面积为 （分数：2.00）_18.设常数
4、ab，曲线 ： (x，)的弧长为 1()求证： （分数：2.00）_19.设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) 0 x f(x-t)dt=sin 2 x；求 f(x)在 （分数：2.00）_20.设 a0，f(x)在(0，+)连续，求证： () t a ()又设 =f(x)(x0)，则 a a2 （分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 a b f(x)dx=0，求证：在a，b上 f(x)0（分数：2.00）_22.证明 （分数：2.00）_23.证明：定积分 （分数：2.00）_24.证明： （分数：2.00）_25.证明： n n+p sin(x 2 )
5、dx （分数：2.00）_26.证明： 0 （分数：2.00）_27.设 f(x)在0，1连续，且对任意 x，y0，1均有f(x)-f(y)Mx-y，M 为正的常数，求证：（分数：2.00）_28.设函数 f(x)与 g(x)在区间a，b上连续，证明： a b f(x)g(x)dx 2 a b f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx (*)（分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 15答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：28，分数：56.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.
6、求 0 e-1 (x+1)ln 2 x(x+1)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= 0 e-1 ln 2 (x+1)d(x+1) 2 1 e ln 2 tdt 2 = (t 2 ln 2 t 1 e - 1 e t 2 dln 2 t)= (e 2 - 1 t t 2 .2lnt. dt) = (e 2 - 1 e lntdt 2 )= (e 2 -t 2 lnt 1 e + 1 e t 2 dlnt) = 1 e tdt= t 2 1 e = )解析：3.求定积分：()J= -2 2 min2，x 2 dx； ()J= -1 x (1-t)dt，x-1（分数：2.00）_正
7、确答案：(正确答案：()min2，x 2 = 于是 J= -2 2 min2，x 2 dx=2 0 2 min2，x 2 dx ()当-1x0 时，J= -1 x (1+t)dt= (1+t) 2 -1 x = (1+x) 2 当 x0时，J= -1 0 (1+t)dt+ 0 x (1-t)dt= (1+t) 2 -1 0 - (1-t) 2 0 x =1- )解析：4.设 n为正整数,利用已知公式 I n = sin n xdx= cos n xdx= ，其中 求下列积分： ()J n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()J n =2 -n sin n 2xdx=2 -n .
8、0 sin n udu，而 () J n =2 0 1 (-1) n (1-x 2 ) n dx (-1) n (1-sin 2 t) n costdt )解析：5.求无穷积分 J= 1 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：J= 1 + ln(1+x)-lnx- dx，而， 因此 )解析：6.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f(x)=sin2xdx= cos2x+C 1 ； 当 x0 时，f(x)=ln(2x+1)dx=xln(2x+1)- =xln(2x+1)-dx+ =xln(2x+1)-x+ ln(2x+1)+C 2 ， 为了保证 F(x
9、)在x=0点连续，必须 C 2 = +C 1 ， (*) 特别，若取 C 1 =0，C 2 = 就是 f(x)的一个原函数 因此 )解析：7.设 f(x)=arcsin(x-1) 2 ，f(0)=0，求 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 f(x)dx= 0 1 f(x)d(x-1)=(x-1)f(x) 0 1 - 0 1 (x-1)f(x)dx =f(0)- 0 1 (x-1)f(x)dx=- 0 1 (x-1)arcsin(x-1) 2 dx = 0 1 arcsin(x-1) 2 d(x-1) 2 0 1 arcsintdt= 0 1 arcsintd
10、t )解析：8.设 a0，f(x)在(-+)上有连续导数求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 I(a)= -a a f(t+a)-f(t-a)dt，由积分中值定理可得 I(a)= f(+a)-f(-a).2a= f(+a)-f(-a)，-aa 因为 f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得 I(a)= f().2a=f()，-a+a 于是 )解析：9.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 f(x)在(-，+)连续，在点 x=0处可导，且 f(0)=0，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为
11、使其在 x=0处连续，只要 F(x)=A而 故令 A=0即可 ()当 x0 时 F(x)= 0 x tf(t)dt+ 0 x tf(t)dt 在 x=0处，由导数定义和洛必达法则可得 所以 又 )解析：11.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 由 f(x)连续及 x 2 可导知 f 2 (x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，且f 2 (x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对 x求导，得 2f(x)f(x)=f(x).2x f(x)=x 在(*)式中令 x=0可得 f(0)=0 于是(*)式 两边
12、积分( 0 x )得 0 x f(t)dt= 0 x tdt，f(0)=0 )解析：12.求函数 f(x)= e x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b上连续，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得由 f(x)= ，xe，e 2 ，可知 f(x)在e，e 2 上单调增加，故 )解析：13.求星形线 L （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：图形关于 x，y 轴均对称，第一象限部分： )解析：14.求下列旋转体
13、的体积 V： ()由曲线 y=x 2 ，x=y 2 所围图形绕 x轴旋转所成旋转体； ()由曲线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)，y=0 所围图形绕 y轴旋转的旋转体（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()如图 32，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为 V= 0 1 -(x 2 ) 2 dx= 0 1 (x-x 4 )dx ()如图 33，所求体积为 V=2 0 2a yxdx=2 0 2 a(1-cost)a(t-sint)a(1-cost)dt =2a 3 0 2 (1-cost) 2 (t-sint)dt =2a 3 0 2 (1-cost) 2 td
14、t-2a 3 - (1-cost) 2 sintdt =2a 3 0 2 (1-cost) 2 tdt 2a 3 - 1-cos(u+) 2 (u+)du =2a 3 - (1+cosu) 2 udu+2 2 a 3 - (1+cosu) 2 du =4 2 a 3 0 (1+cosu) 2 du=4 2 a 3 0 (1+2cosu+cos 2 u)du=4 2 a 3 =6 3 a 3 )解析：15.求双纽线 r 2 =a 2 cos2(a0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：双纽线如图 34 所示由对称性，只需考察 面积 由 r 2 =a 2 cos2
15、 2rr=-2a 2 sin2， )解析：16.求功：()设半径为 1的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?()半径为尺的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(微元法)以球心为原点，x 轴垂直向上，建立坐标系(如图 35) 取下半球中的微元薄片，即 取小区间x，x+dx -1，0，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为 (1-x 2 )dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+x)，故需做功 dw 1 =(1+x)(1-x 2 )dx因此，对下半球做的功 w 1 = -
16、1 0 (1+x)(1-x 2 )dx 取上半球中的微元薄片，即 V取小区间x，x+dx 0，1，相应的小薄片，其重量为 (1-x 2 )dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为 1所受力为重力，故需做功 dw 2 =(1-x 2 )dx因此，对上半球做的功 w 2 = 0 1 (1-x 2 )dx 于是，对整个球做的功为 w=w 1 +w 2 = -1 0 (1+x)(1-x 2 )dx+ 0 1 (1-x 2 )dx = -1 1 (1-x 2 )dx+ -1 0 x(1-x 2 )dx ()建立坐标系如图36取 x为积分变量，x0，R x，x+dx相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 (R
17、 2 -x 2 )dx， 又比重 =1，于是把这层水抽出需做功 dw=x(R 2 -x 2 )dx因此，所求的功 w= 0 R x(R 2 -x 2 )dx )解析：17.过曲线 y=x 2 (x0)上某点 A作一切线，使之与曲线及 x轴围成图形面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 37()设点 A(x 0 ，x 0 2 )，点 A处的切线方程 y=x 0 2 +2x 0 (x-x 0 )，即 y=2x 0 x-x 0 2 令 y=0 截距 x= 按题意 解得 x 0 =1 A(1，1) ()过A点的切线 y=2x-1 ()旋转体体积 V= 0 1 (x 2 ) 2 dx-
18、)解析：18.设常数 ab，曲线 ： (x，)的弧长为 1()求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()：y 2 =(x-a)(b-x)=-x 2 +(a+b)x-ab，两边对 x求导得 2yu=-2x+a+b， 因此 ()曲线 为圆心，半径为 的半圆周由题()：=a，= ，则对应的 长 )解析：19.设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) 0 x f(x-t)dt=sin 2 x；求 f(x)在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x-t=u，则 0 x f(x-)dt= 0 x f(u)du于是 f(x) 0 x f(u)dx=sin 4 x，d 0 x f(u
19、)du 2 =2sin 4 xdx 两边积分 故 f(x)在 上的平均值为 )解析：20.设 a0，f(x)在(0，+)连续，求证： () t a ()又设 =f(x)(x0)，则 a a2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()按要证的等式，将等式左端改写可得 ()按题设，对左端作变换 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 a b f(x)dx=0，求证：在a，b上 f(x)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由定积分的性质 0 a x f(t)dt a b f(x)dx=0( a，b) a x f(t)dt=0( a，b) a x f(t)dt=f(x)
20、=0( )解析：22.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 利用被积函数的结合性，原式改写成 I n = cos n-1 xcosxsinnxdx， 两式相加得 2I n = cos n-1 x(cosxsinnx-sinxcosnx)dx = cos n-1 xsin(n-1)xdx= +I n-1 现得递推公式 2I n = +I n-1 ，即 2 n I n = +2 n-1 I n-1 令 J n =2 n I n ，得 J n-1 = +J n-1 由此进一步得 注意 J 0 =0 )解析：23.证明：定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作变量替换 t=x
21、 2 被积函数在0，2上变号，t(0，)时取正值，t(，2)时取负值，于是 I= 0 I 1 +I 2 把后一积分转化为0，上积分，然后比较被积函数，即 被积函数 )解析：24.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() () ()由题()与题()得 )解析：25.证明： n n+p sin(x 2 )dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.证明： 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用和差化积公式由于 sin2nx=sin2x-sin2x+sin4x-sin4x+sin(2n-2)x-sin(2n-2)x+sin2nx =sin2x+2cos3
22、xsinx+2cos5xsinx+2cos(2n-3)xsinx+2cos(2n-1)xsinx， 所以I=2 0 cosx+cos3x+cos5x+cos(2n-1)xdx=0)解析：27.设 f(x)在0，1连续，且对任意 x，y0，1均有f(x)-f(y)Mx-y，M 为正的常数，求证：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 0 1 f(x)dx与 分别表示成 代入不等式左端，然后利用定积分性质与已知条件得不等式左端 )解析：28.设函数 f(x)与 g(x)在区间a，b上连续，证明： a b f(x)g(x)dx 2 a b f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx (*)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把证明定积分不等式 ( a b f(x)g(x)dx) 2 a b f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx (*) 转化为证明重积分不等式 引入区域 D=(x，y)axb，ayb (*)式左端= a b f(x)g(x)dx. a b f(y)g(y)dy = f(x)g(y).f(y)g(x)dxdy f 2 (x)g 2 (y)+f 2 (y)g 2 (x)dxdy = f 2 (x)g 2 (y)dxdy+ f 2 (y)g 2 (x)dxdy = a b f 2 (x)dx a b g 2 (y)dy+ )解析：
