1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 14及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：20，分数：40.00)1.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_2.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_3.e x+excosx (cosx-sinx)dx= 1.（分数：2.00）填空项 1:_4.设 f(x)连续，f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_5. -1 1 （分数：2.00）填空项 1:_6. 0 4 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8. 0 1 xarcsinxdx= 1（分数：2.00
2、）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10. 0 2 sin n xcos m xdx(自然数 n或 m为奇数)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11. 0 a arctan （分数：2.00）填空项 1:_12.设 y=f(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 a b f 2 (x)dx=1，则 a b xf(x)f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)具有连续导数，且 F(x)= 0 x (x 2 -t 2 )f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无
3、穷小，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 f(x)= 1 x2 e -t2 dt，则 0 1 xf(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_16. 0 + x 7 e -x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_17. 0 + （分数：2.00）填空项 1:_18. 1 + （分数：2.00）填空项 1:_19.曲线 x=a(cost+tsint)，y=a(sint-tcost)(0t2)的长度 L= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.曲线 y 2 =2x在任意点处的曲率为 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：8，分数：16.00)
4、21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.已知 （分数：2.00）_23.求 （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.求 （分数：2.00）_26.求 （分数：2.00）_27.求 0 1 （分数：2.00）_28.求 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 14答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：20，分数：40.00)1.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：2.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x
5、lnlnx+C）解析：解析：原式=(lnlnx+x.3.e x+excosx (cosx-sinx)dx= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e excosx +C）解析：解析：e x+excosx (cosx-sinx)dx=e excosx (cosx-sinx)de x =e excosx d(e x cosx) =d(e excosx )=e excosx +C4.设 f(x)连续，f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式= ，而 于是5. -1 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2
6、）解析：解析：原式= -1 1 x 2 + +(1-x 2 )dx= -1 1 dx+2 -1 1 6. 0 4 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2 +2）解析：解析：原式 0 2 e t 2tdt=2 0 2 tde t 7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8. 0 1 xarcsinxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 其中 0 1 单位圆的面积即 9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：原式= 10. 0 2 sin n
7、 xcos m xdx(自然数 n或 m为奇数)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由周期函数的积分性质得 I n,m 11. 0 a arctan （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分部积分法 原式12.设 y=f(x)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知 ，从而 由 f(0)=0可得 C=0于是 f(x)= 由定积分几何意义得 0 1 f(x)dx= 0 1 13.设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 a b f 2 (x)dx=1，
8、则 a b xf(x)f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 =f(x)f(x)，所以 a b xf(x)f(x)dx= a b xd a b f 2 (x)dx= 14.设 f(x)具有连续导数，且 F(x)= 0 x (x 2 -t 2 )f(t)dt，若当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，则 f(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 F(x)= 0 x (x 2 -t 2 )f(t)dt=x 2 0 x f(t)dt- 0 x t 2 f(t)dt， 所以F(x)=2x 0
9、 x f(t)dt+x 2 f(x)-x 2 f(x)=2x 0 x f(t)dt 又依题设，当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，从而 15.已知 f(x)= 1 x2 e -t2 dt，则 0 1 xf(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：用分部积分法由于 f(x)=e -x4 (x 2 )=2xe -x4 ，故 0 1 xf(x)dx= 0 1 f(x)dx 2 = x 2 f(x) 0 1 - 0 1 x 2 f(x)dx 0 1 x 2 .2xe -x4 dx= e -x4 0 1 = 16. 0 + x 7 e -x2 d
10、x= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：令 x 2 =t，则原式= 0 + t 3 e -t dt令 t 3 e -t dt=e -t (at 3 +bt 2 +dt+e)+C， 两边求导得 t 3 e -t =e -t -at 3 +(3a-b)t 2 +(2b-d)t+d-e， 比较两边 t的同次幂项的系数得 a=-1，b=-3，d=-6，e=-6 于是 原式= 17. 0 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18. 1 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因(xe x
11、)=e x (x+1)，令 xe x =t，则 dt=e x (x+1)dx，于是 19.曲线 x=a(cost+tsint)，y=a(sint-tcost)(0t2)的长度 L= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2 a）解析：解析：曲线由参数方程表示出，直接代入弧长公式得 =a 0 2 tdt=a. 20.曲线 y 2 =2x在任意点处的曲率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用曲率计算公式 K= 由二、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2
12、2.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按题意： x 3 f(x)dx )解析：23.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意分解 1+x 6 =1+(x 2 ) 3 =(1+x 2 )(1-x 2 +x 4 ) 原式 )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作恒等变形，然后凑微分即得 )解析：25.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作变量替换 ，则 )解析：26.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=asint ，则 原式 )解析：27.求 0 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿-莱布尼兹公式得 )解析：
