1、考研数学二(一元函数积分概念、计算及应用)模拟试卷 14及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:20,分数:40.00)1.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_2.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_3.e x+excosx (cosx-sinx)dx= 1.(分数:2.00)填空项 1:_4.设 f(x)连续,f(x)0,则 (分数:2.00)填空项 1:_5. -1 1 (分数:2.00)填空项 1:_6. 0 4 (分数:2.00)填空项 1:_7.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_8. 0 1 xarcsinxdx= 1(分数:2.00
2、)填空项 1:_9.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_10. 0 2 sin n xcos m xdx(自然数 n或 m为奇数)= 1(分数:2.00)填空项 1:_11. 0 a arctan (分数:2.00)填空项 1:_12.设 y=f(x)满足 (分数:2.00)填空项 1:_13.设 f(x)在a,b上连续可导,f(a)=f(b)=0,且 a b f 2 (x)dx=1,则 a b xf(x)f(x)dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_14.设 f(x)具有连续导数,且 F(x)= 0 x (x 2 -t 2 )f(t)dt,若当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无
3、穷小,则 f(0)= 1(分数:2.00)填空项 1:_15.已知 f(x)= 1 x2 e -t2 dt,则 0 1 xf(x)dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_16. 0 + x 7 e -x2 dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_17. 0 + (分数:2.00)填空项 1:_18. 1 + (分数:2.00)填空项 1:_19.曲线 x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(0t2)的长度 L= 1(分数:2.00)填空项 1:_20.曲线 y 2 =2x在任意点处的曲率为 1(分数:2.00)填空项 1:_二、解答题(总题数:8,分数:16.00)
4、21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_22.已知 (分数:2.00)_23.求 (分数:2.00)_24.求 (分数:2.00)_25.求 (分数:2.00)_26.求 (分数:2.00)_27.求 0 1 (分数:2.00)_28.求 (分数:2.00)_考研数学二(一元函数积分概念、计算及应用)模拟试卷 14答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:20,分数:40.00)1.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:2.= 1. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:x
5、lnlnx+C)解析:解析:原式=(lnlnx+x.3.e x+excosx (cosx-sinx)dx= 1.(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e excosx +C)解析:解析:e x+excosx (cosx-sinx)dx=e excosx (cosx-sinx)de x =e excosx d(e x cosx) =d(e excosx )=e excosx +C4.设 f(x)连续,f(x)0,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:原式= ,而 于是5. -1 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2
6、)解析:解析:原式= -1 1 x 2 + +(1-x 2 )dx= -1 1 dx+2 -1 1 6. 0 4 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2e 2 +2)解析:解析:原式 0 2 e t 2tdt=2 0 2 tde t 7.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:8. 0 1 xarcsinxdx= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: 其中 0 1 单位圆的面积即 9.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:原式= 10. 0 2 sin n
7、 xcos m xdx(自然数 n或 m为奇数)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:由周期函数的积分性质得 I n,m 11. 0 a arctan (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:利用分部积分法 原式12.设 y=f(x)满足 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由题设可知 ,从而 由 f(0)=0可得 C=0于是 f(x)= 由定积分几何意义得 0 1 f(x)dx= 0 1 13.设 f(x)在a,b上连续可导,f(a)=f(b)=0,且 a b f 2 (x)dx=1,
8、则 a b xf(x)f(x)dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因 =f(x)f(x),所以 a b xf(x)f(x)dx= a b xd a b f 2 (x)dx= 14.设 f(x)具有连续导数,且 F(x)= 0 x (x 2 -t 2 )f(t)dt,若当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小,则 f(0)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由于 F(x)= 0 x (x 2 -t 2 )f(t)dt=x 2 0 x f(t)dt- 0 x t 2 f(t)dt, 所以F(x)=2x 0
9、 x f(t)dt+x 2 f(x)-x 2 f(x)=2x 0 x f(t)dt 又依题设,当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小,从而 15.已知 f(x)= 1 x2 e -t2 dt,则 0 1 xf(x)dx= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:用分部积分法由于 f(x)=e -x4 (x 2 )=2xe -x4 ,故 0 1 xf(x)dx= 0 1 f(x)dx 2 = x 2 f(x) 0 1 - 0 1 x 2 f(x)dx 0 1 x 2 .2xe -x4 dx= e -x4 0 1 = 16. 0 + x 7 e -x2 d
10、x= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:解析:令 x 2 =t,则原式= 0 + t 3 e -t dt令 t 3 e -t dt=e -t (at 3 +bt 2 +dt+e)+C, 两边求导得 t 3 e -t =e -t -at 3 +(3a-b)t 2 +(2b-d)t+d-e, 比较两边 t的同次幂项的系数得 a=-1,b=-3,d=-6,e=-6 于是 原式= 17. 0 + (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:18. 1 + (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因(xe x
11、)=e x (x+1),令 xe x =t,则 dt=e x (x+1)dx,于是 19.曲线 x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(0t2)的长度 L= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2 2 a)解析:解析:曲线由参数方程表示出,直接代入弧长公式得 =a 0 2 tdt=a. 20.曲线 y 2 =2x在任意点处的曲率为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:用曲率计算公式 K= 由二、解答题(总题数:8,分数:16.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:2
12、2.已知 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:按题意: x 3 f(x)dx )解析:23.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:注意分解 1+x 6 =1+(x 2 ) 3 =(1+x 2 )(1-x 2 +x 4 ) 原式 )解析:24.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:作恒等变形,然后凑微分即得 )解析:25.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:作变量替换 ,则 )解析:26.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 x=asint ,则 原式 )解析:27.求 0 1 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用定积分的分段积分法与推广的牛顿-莱布尼兹公式得 )解析: