1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 13及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列可表示由双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 -y 2 围成平面区域的面积的是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)为连续函数， （分数：2.00）A.依赖于 s和 tB.依赖于 s，t，xC.依赖于 t，x，不依赖于 sD.依赖于 s，不依赖于 t4.下列函数中在-1，2上定积分不存在的是 （分数：2.00）A.B.C.D.5.下列函数
2、中在-2，3不存在原函数的是 （分数：2.00）A.B.C.D.6.积分 a a+2 cosxln(2+cosx)dx的值（分数：2.00）A.与 a有关B.是与 a无关的负数C.是与 a无关的正数D.为零7.设常数 0，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 B.I 1 I 2 C.I 1 =I 2 D.I 1 与 I 2 的大小与 的取值有关8.下列反常积分中发散的是（分数：2.00）A. e + B. e + xe -x2 dxC. -1 1 D. -1 1 9.设 f(x)= 0 1 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导二、填空题(总题
3、数：2，分数：4.00)10.由曲线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)(摆线)及 x轴围成平面图形的面积 S= 1.（分数：2.00）填空项 1:_11.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 F(x)= 0 x2 e -t2 dt，试求： ()F(x)的极值； ()曲线 y=F(x)的拐点的横坐标； () -2 3 x 2 F(x)dx.（分数：2.00）_14.求曲线 r=asin 3 （分数：2.00）_15.求曲线 r=a(1+cos)
4、的曲率（分数：2.00）_16.已知一条抛物线通过 x轴上两点 A(1，0)，8(3，0)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x轴与该抛物线所围成的面积（分数：2.00）_17.求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 x 2 +y 2 2x 与 yx 确定的平面图形绕直线 x=2旋转而成的旋转体； ()由曲线 y=3-x 2 -1与 x轴围成封闭图形绕直线 y=3旋转而成的旋转体（分数：2.00）_18.求由曲线 ：x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)及 y=0所围图形绕 Ox轴旋转所成立体的体积（分数：2.00）_19.求以半径为 R的圆为底，平行且等于底圆直径的线
5、段为顶，高为 h的正劈锥体的体积（分数：2.00）_20.求曲线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)及 y=0所围图形绕 x轴旋转一周所得曲面的面积S（分数：2.00）_21.边长为 a和 b的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深 h处，设 ab，液体的比重为 ，求薄板受的液体压力（分数：2.00）_22.设有一半径为 R长度为 l的圆柱体，平放在深度为 2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)设圆柱体的比重为 (1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?（分数：2.00）_23.求星形线 （分数：2.00）_24.求由曲线 x 2 =ay与 y 2
6、=ax(a0)所围平面图形的质心(形心)(如图 334). （分数：2.00）_25.有两根长各为 l，质量各为 M的均匀细杆，位于同一条直线上，相距为 a，求两杆间的引力（分数：2.00）_26.设有以 O为圆心，r 为半径，质量为 M的均匀圆环， 垂直圆面， =b，质点 P的质量为 m，试导出圆环对 P点的引力公式 （分数：2.00）_27.设有半径为 a，面密度为 的均匀圆板，质量为 m的质点位于通过圆板中心 O且垂直于圆板的直线上，（分数：2.00）_28.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)sinxdx=0， 0 f(x)cosxdx=0证明：在(0，)内f(x)至少有两个
7、零点（分数：2.00）_29.设 f(x)在(-，+)连续，以 T为周期，令 F(x)= 0 x f(x)dt，求证： ()F(x)一定能表示成：F(x)=kx+(x)，其中 k为某常数，(x)是以 T为周期的周期函数； () 0 x f(t)dt= （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 13答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列可表示由双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =x 2 -y 2 围成平面区域的面积的是
8、 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：双纽线的极坐标方程是：r 4 =r 2 (cos 2 -sin 2 )即 r 2 =cos2当 -，时，仅当 时才有 r0(图 325) 由于曲线关于极轴与 y轴均对称，如图 325，只需考虑 部分由对称性及广义扇形面积计算公式得 3.设 f(x)为连续函数， （分数：2.00）A.依赖于 s和 tB.依赖于 s，t，xC.依赖于 t，x，不依赖于 sD.依赖于 s，不依赖于 t 解析：解析：I= 4.下列函数中在-1，2上定积分不存在的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：显然，(A)，(B)，(C)中的 f(x)在-1，2均有
9、界，至多有一个或两个间断点，因而 f(x)在-1，2均可积，即 5.下列函数中在-2，3不存在原函数的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：先考察 f(x)的连续性关于(A)： = =f(0)， f(x)在-2，3连续，存在原函数 (B)中 f(x)如图 31 所示，显然处处连续，在-2，3存在原函数 显然，(D)中 g(x)在-2，3可积，f(x)= 0 x g(t)dt在-2，3连续 6.积分 a a+2 cosxln(2+cosx)dx的值（分数：2.00）A.与 a有关B.是与 a无关的负数C.是与 a无关的正数 D.为零解析：解析：由于被积函数 ln(2+cosx).c
10、osx是以 2 为周期的偶函数，因此 原式= 0 2 ln(2+cosx)cosxdx= - ln(2+cosx)cosxdx =2 0 ln(2+cosx)cosxdx=2 0 ln(2+cosx)d(sinx) =2sinxln(2+cosx) 0 - 0 sinxdln(2+cosx)=2 0 7.设常数 0，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 B.I 1 I 2 C.I 1 =I 2 D.I 1 与 I 2 的大小与 的取值有关解析：解析：I 1 -I 2 = 当 0x 时 cosxsinx，又 0x 8.下列反常积分中发散的是（分数：2.00）A. e + B. e +
11、 xe -x2 dxC. -1 1 D. -1 1 解析：解析：对于(A)：由于当 k1 时 故 e + 收敛 对于(B)： 0 + xe -x2 dx= e -x2 0 + = 是收敛的 对于(C)： -1 1 9.设 f(x)= 0 1 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：f(0)= 0 1 lnxdx=(xlnx-x) 0 1 =-1 当 t0 时， 因 =-1=f(0)，故函数f(t)在 t=0处连续 又 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)10.由曲线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)(摆线)及 x轴围
12、成平面图形的面积 S= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3a 2）解析：解析：当 t0，2时，曲线与 x轴的交点是 x=0，2a(相应于 t=0，2)，曲线在 x轴上方，见图 326 于是图形的面积 S= 0 2a y(x)dx 11.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：18，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 F(x)= 0 x2 e -t2 dt，试求： ()F(x)的极值； ()曲线 y=F(x)的拐点的横坐标； () -2
13、3 x 2 F(x)dx.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 F(x)=2xe -x4 ，即知 F(x)在 x=0处取极小值 0，且无其他极值 ()F(x)=2(1-4x 4 )e -x4 ，注意到仅当 x= 时 F(x)=0，且在 x= 两侧 F(x)变号，即知 x= 为曲线 y=F(x)的拐点的横坐标 ()注意到 x 2 F(x)为奇函数，因此 -2 3 x 2 F(x)dx= -2 2 xF(x)dx+ 2 3 x 2 F(x)dx=2 2 3 x 3 e -x4 dx = 2 3 e -x4 d(x 4 )= e -x4 2 3 = )解析：14.求曲线 r=asin 3
14、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r=asin 3 以 6 为周期，0，3 0，r0；0(3，6) (，2)，r0只需考虑 00，3 r=3asin 2 ，r 2 +r 2 =a 2 sin 4 ，则 L= 0 3 =a 0 3 sin 2 d=3a 0 sin 2 tdt= )解析：15.求曲线 r=a(1+cos)的曲率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线的参数方程为 x=rcos=a(1+cos)cos，y=rsin=a(1+cos)sin， x=-asin(1+2cos)=-a(sin+sin2)，y=a(cos+cos2)， x 2 +y 2 =a 2 2(1+c
15、os)=2ar，x=-a(cos+2cos2)，y=-a(sin+2sin2)， xy-x“y=a 2 (sin+sin2)(sin+2sin2)+(cos+cos2)(cos+2cos2) =3a 2 (1+cos)=3ar 因此，曲率 )解析：16.已知一条抛物线通过 x轴上两点 A(1，0)，8(3，0)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x轴与该抛物线所围成的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)写出抛物线方程 y=a(x-1)(x-3)(a0 或 a0 为常数)，如图 327 所示 2)求两坐标轴与抛物线所围面积 S 1 ，即 S 1 = 0 1 a(x-1)(x
16、-3)dx=a 0 1 (1-x)(3-x)dx = a 0 1 (3-x)d(1-x) 2 = a(-3)- a 0 1 (1-x) 2 dx 3)求x轴与该抛物线所围面积 S 2 ，即 S 2 = 1 3 a(x-1)(x-3)dx=a 1 3 (x-1)(3-x)dx =a 1 3 (3-x)d(x-1) 2 = a 1 3 (x-1) 2 dx )解析：17.求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 x 2 +y 2 2x 与 yx 确定的平面图形绕直线 x=2旋转而成的旋转体； ()由曲线 y=3-x 2 -1与 x轴围成封闭图形绕直线 y=3旋转而成的旋转体（分数：2.00）_正确答案
17、：(正确答案：()对该平面图形，我们可以作垂直分割也可作水平分割 作水平分割该平面图形如图 328上半圆方程写成 x=1- (0y1)任取 y轴上0，1区间内的小区间y，y+dy，相应的微元绕 x=2旋转而成的立体体积为 dV=2-(1- ) 2 -(2-y) 2 dy 于是 V= 0 1 2-(1- ) 2 dy- 0 1 (2-y) 2 dy， = 0 1 (2-y 2 + )dy- 1 2 t 2 dt ()曲线 y=3-x 2 -1与 x轴的交点是(-2，0)，(2，0)曲线 y=f(x)=3-x 2 -1与 x轴围成的平面图形，如图 329 所示 显然作垂直分割方便任取x，x+dx
18、-2，2，相应的小竖条绕 y=3旋转而成的立体体积为 dV=3 2 -(3-f(x) 2 dx=(9-x 2 -1 2 )dx， 于是 V= -2 2 9-(x 2 -1) 2 dx =2 0 2 9-(x 4 -2x 2 +1)dx )解析：18.求由曲线 ：x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)及 y=0所围图形绕 Ox轴旋转所成立体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用已有的体积公式 V x = a b y 2 dx代入参数方程时，就相当于作了变量替换平面图形如图 330 所示 由已知的体积公式，得 V= 0 2a y 2 (x)dx = 0 2 a 2 (
19、1-cost) 2 x(t)dt = 0 2 a 3 (1-cost) 3 dt=a 3 0 2 8sin 6 dt =16a 3 0 sin 6 sda=32a 3 sin 6 sds=32a 3 )解析：19.求以半径为 R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h的正劈锥体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取底圆所在平面为 Oxy平面，圆心 O为原点，并使 x轴与劈锥的顶平行，底圆方程为 x 2 +y 2 =R 2 过 x轴上的点 x(-RxR)作垂直于 x轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形，底边长即 高为 h，该截面的面积为 于是 V= -R R S(x)dx=h -
20、R R R 2 h. )解析：20.求曲线 x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2)及 y=0所围图形绕 x轴旋转一周所得曲面的面积S（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由旋转面面积公式得 )解析：21.边长为 a和 b的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深 h处，设 ab，液体的比重为 ，求薄板受的液体压力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：建立坐标系如图 332 所示，z 轴铅直向下一长边的深度为 h，另一长边的深度为 h+bsin，在h，h+bsin中任取x，x+dx，相应的薄板上一小横条，长 a，宽 ，于是所受的压力为 整块板受的压力为 P
21、= h h+bsin x 2 h+bsin =ab(h+ +bsin). )解析：22.设有一半径为 R长度为 l的圆柱体，平放在深度为 2R的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)设圆柱体的比重为 (1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：任取小区间x，x+dx -R，R相应的柱体薄片，其体积为 移至水面时薄片移动的距离为 R-x，所受的力(重力与浮力之差)为 ，因而移至水面时做的功为 整个移出水面时，此薄片离水面距离为 R+x，将薄片从水面移到此距离时所做的功为 (R+x)2l 于是对薄片做的功为 dW=2l(-1)(R-x)+(R+x) =2l(
22、2-1)R+x 因此，所求的功 W= -R R 2l (2-1)R+xdx=2l(2-1)R -R R =21(2-1)R. )解析：23.求星形线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 =3asintcostdt 再求总长度 积分 于是 )解析：24.求由曲线 x 2 =ay与 y 2 =ax(a0)所围平面图形的质心(形心)(如图 334). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两曲线的交点是(0，0)，(a，a)设该平面图形的质心(形心)为 ，则由质心(形心)公 式有 同样计算或由对称性可知 )解析：25.有两根长各为 l，质量各为 M的均匀细杆，位于同一条直线上，相距为
23、 a，求两杆间的引力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：沿杆建立坐标系如图 335.在右杆上任取微元x，x+dx，它与左杆间的引力为于是两杆间的引力为 )解析：26.设有以 O为圆心，r 为半径，质量为 M的均匀圆环， 垂直圆面， =b，质点 P的质量为 m，试导出圆环对 P点的引力公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 336，由对称性，引力沿 方向取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为 s到 s+ds的一段微元 ，它的质量为 ，到 P点的距离为 的夹角为 ，cos=对 P点的引力沿 方向的分力为 于是整个圆环对 P点的引力为 )解析：27.设有半径为 a，面密度为 的均
24、匀圆板，质量为 m的质点位于通过圆板中心 O且垂直于圆板的直线上，（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 337，任取r，r+dr对应的圆环，它的面积 dS=2rdr，质量dM=dS=2rdr，对质点 P的引力 ，因此，整个圆板对 P的引力为 )解析：28.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)sinxdx=0， 0 f(x)cosxdx=0证明：在(0，)内f(x)至少有两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法如果 f(x)在(0，)内无零点(或有一个零点，但 f(x)不变号，证法相同)，即 f(x)0(或0)，由于在(0，)内，亦有 sinx0，因此，必有
25、0 f(x)sinxdx0(或0)这与假设相矛盾。 如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0，a)与(a，)内 f(x)sin(x-a)同号，因此 0 f(x)sin(x-a)dx0但是，另一方面 0 f(x)sin(x-a)dx= 0 f(x)(sinxcosa-cosxsina)dx =cosa 0 f(x)sinxdx-sina 0 f(x)cosxdx=0 这个矛盾说明 f(x)也不能在(0，)内只有一个零点，因此它至少有两个零点)解析：29.设 f(x)在(-，+)连续，以 T为周期，令 F(x)= 0 x f(x)dt，求证： ()
26、F(x)一定能表示成：F(x)=kx+(x)，其中 k为某常数，(x)是以 T为周期的周期函数； () 0 x f(t)dt= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()即确定常数 k，使得 (x)=F(x)-kx 以 T为周期由于 (x+T)=F(x+T)-k(x+T)= 0 x f(x)dt-kx+ 0 x+T f(t)dt-kT =(x)+ 0 T f(t)dt-kT， 因此，取 k= 0 T f(t)dt，(x)=F(x)-kx,则 (x)是以 T为周期的周期函数此时 F(x)= 0 T f(t)dtx+(x). ()不能用洛必达法则因为 不存在，也不为但 0 x (t)dt可表示成 0 x (t)dt= 0 T f(t)dt+(x) (x)在(-，+)连续且以 T为周期，于是，(x)在0，T有界，在(-，+)也有界因此 )解析：
