1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 11及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：2，分数：4.00)1.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)的原函数是 1（分数：2.00）填空项 1:_2.设 f(x)在0，1连续， （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：26，分数：52.00)3.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_4.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 （分数：2.00）_5.求下列变限积分函数的导数： ()F(x)= 2x ln(x+1) ，求 F(x)(x0)； ()设
2、 f(x)处处连续，又 f(0)存在，F(x)= 1 x （分数：2.00）_6.以下计算是否正确?为什么? （分数：2.00）_7.n为自然数，证明： 0 2 xdx= 0 2 sin n xdx= （分数：2.00）_8.求下列不定积分： （分数：2.00）_9.计算下列定积分： () () 0 2 f(x-1)dx，其中 f(x)= （分数：2.00）_10.计算定积分 I= 0 （分数：2.00）_11.设函数 f(x)= （分数：2.00）_12.求下列不定积分： （分数：2.00）_13.求下列不定积分： （分数：2.00）_14.求不定积分 （分数：2.00）_15.求下列积分：
3、 （分数：2.00）_16.求下列不定积分： ()arcsinx.arccosxdx； ()x 2 sin 2 xdx； () （分数：2.00）_17.求 I n = sin n xdx和 J n = （分数：2.00）_18.计算不定积分 （分数：2.00）_19.求下列不定积分： （分数：2.00）_20.求下列不定积分： （分数：2.00）_21.求下列定积分： （分数：2.00）_22.求下列定积分： ()I= 0 （分数：2.00）_23.计算下列反常积分(广义积分)的值： （分数：2.00）_24.求一块铅直平板如图 3-1所示在某种液体(比重为 y)中所受的压力 （分数：2.0
4、0）_25.求下列平面曲线的弧长： ()曲线 9y 2 =x(x-3) 2 (y0)位于 x=0到 x=3之间的一段； ()曲线 （分数：2.00）_26.求下列曲线的曲率或曲率半径： ()求 y=lnx在点(1，0)处的曲率半径 ()求 x=t-ln(1+t 2 )，y=arctant在 t=2处的曲率（分数：2.00）_27.已知抛物线 y=ax 2 +bx+c经过点 P(1，2)，且在该点与圆 （分数：2.00）_28.设函数 y=f(x)在a，b(a0)连续，由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x轴围成的平面图形(如图312)绕 y轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公
5、式 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷 11答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：2，分数：4.00)1.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)的原函数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-sinx+C 1 x+C 2）解析：解析：f(x)的导函数是 sinx，那么 f(x)应具有形式-cosx+C 1 ，所以 f(x)的原函数应为-sinx+C 1 x+C 2 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数2.设 f(x)在0，1连续， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4A）解
6、析：解析：由于 f(cosx)在(-，+)连续，以 为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得 I=2 0 f(cosx) 二、解答题(总题数：26，分数：52.00)3.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：4.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点 c使得 f(c)= a b f(x)dx 这就说明 f(c)=f(b)根据假设可得 f(x)在c，b上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知，在(c，b)内至少存在一
7、点 ，使 f()=0，其中 (c，b) )解析：5.求下列变限积分函数的导数： ()F(x)= 2x ln(x+1) ，求 F(x)(x0)； ()设 f(x)处处连续，又 f(0)存在，F(x)= 1 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()注意到积分的上、下限都是 x的复合函数，由变限积分求导公式(34)可得 ()令 g(t)= 注意变限积分函数 F(x)= 1 x g(t)dt其被积函数 g(t)还是变限积分函数且g(t)是 t的可导函数，于是 )解析：6.以下计算是否正确?为什么? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 a b f(x)d
8、x必须满足两个条件：其一是f(x)在a，b上连续，另一个是 F(x)是 f(x)在a，b上的一个原函数 由 ，可知积分应是负值事实上 由此可见，本题的题目中所给出的计算是错误的原因在于 arctan 在 x=0不连续，且 x=0不是 arctan 的可去间断点，从而 arctan 在区间-1，1上的一个原函数，故不能直接在-1，1上应用牛顿-莱布尼兹公式这时正确的做法是把-1，1分为-1，0与0，1两个小区间，然后用分段积分法进行如下计算： )解析：7.n为自然数，证明： 0 2 xdx= 0 2 sin n xdx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2 cosnxdx= 0
9、2 sin n sin n tdt = 0 2 sin n xdx(sin n x以 2 为周期)， 当 n为奇数时， 0 2 sin n xdx - sin n xdx =0； 当 n为偶数时， 0 2 sin n xdx= - sinnxdx 2 0 sin n xdx )解析：8.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()利用三角函数的倍角公式：1+cos2x=2cos 2 x进行分项得 ()利用加减同一项进行拆项得 ()将被积函数的分母有理化后得 再将第二项拆项得 )解析：9.计算下列定积分： () () 0 2 f(x-1)dx，其中 f(x)= （分数：2.0
10、0）_正确答案：(正确答案：()由于 min 为偶函数，在 上的分界点为 ，所以 ()由于分段函数 f(x)的分界点为 0，所以，令 t=x-1后，有 0 2 f(x-1)dx= -1 1 f(t)dt= -1 0 )解析：10.计算定积分 I= 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在区间0，上按如下方式用牛顿-莱布尼兹公式是错误的即 因为无定义，它只是分别在 的原函数， 因而不能在0，上对积分，应用牛顿-莱布尼兹公式，但可按如下方法计算： )解析：11.设函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据牛顿-莱布尼兹公式，当 0x1 时，有 F(x)= 0 2 t
11、2 dt= 当1x2 时，F(x)= 0 1 t 2 dt+ 1 x (2-t)dt )解析：12.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() () () )解析：13.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 则 =sin 2 tcostdt.sgnx=sin 2 tdsint.sgnx= sin 3 t.sgnx+C 其中 再用上面的三角形示意图 ，则得 ()令 x= ，于是 dx=asec 2 tdt， =asect，则 =sectdt=lnsect+tant+C， 再利用上面的三角形示意图，则有 其中 C 1 =C-lna ()由于 dx
12、2 ，故可令 x 2 =sint，于是 )解析：14.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 e x =t，则 原式 分别令 ，则分别有 =v-arctanv+C 2 ， 于是 )解析：15.求下列积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 原式 () )解析：16.求下列不定积分： ()arcsinx.arccosxdx； ()x 2 sin 2 xdx； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()按照上表第二栏所讲的方法，有 ()由于 sin 2 x= (1-cos2x)，所以 x 2 sin 2 xdx= x 2 (1-cos2x)dx= x 3
13、- x 2 dsin2x 连续使用分部积分法得 x 2 sin 2 xdx= x 3 - sin2x+ xsin2xdx= dcos2x () 注意到等式右端也包含积分 因而得到关于 的方程，解得 )解析：17.求 I n = sin n xdx和 J n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 n2 时 I n = sin n xdx= sin n-1 xdcosx=-sin n-1 xcosx sin n-2 xcos 2 xdx =(n-1) sin n-2 x(1-sin 2 x)dx =(n-1)I n-2 -(n-1)I n ， 解出 I n ，于是当 n2 时得递推
14、公式 I n = I n-2 由于 I 0 = ，I 1 =1，应用这一递推公式，对于 n为偶数时，则有 对于 n为奇数时，则有 其中 ()由于 cosx= ，则有 J n = )解析：18.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()被积函数中含有两个根式 ，为了能够同时消去这两个根式，令 x=t t 则 ()尽管被积函数中所含根式的形式与上面所介绍的有所不同，然而也应该通过变量替换将根式去掉令 ，即 x=ln(1+t 2 )，从而 =2ln(1+t 2 )dt=2tln(1+t 2 )- =2tln
15、(1+t 2 )-4t+4arctant+C )解析：20.求下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作恒等变形后凑微分 () () )解析：21.求下列定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 ，故 ()由于 其中 -c c t 2 c 2 sin 2 c 2 cos 2 d=2c 4 sin 2 (1-sin 2 )d )解析：22.求下列定积分： ()I= 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：积分 I= 0 b f(x)dx在变量替换 t=b-x下积分区间保持不变，即 I=- b 0 f(b-t)dt= 0 b f(b-t)
16、dt= 0 b f(b-x)dx， 于是 2I= 0 b f(x)+f(b-x)dx若右端易求，则就求出了 I值 积分区间的对称性除了奇函数或偶函数带来方便之外，有时对某些其他函数也会带来方便在对称区间的情形：I= -a a f(x)dx，若作变量替换 x=-t，则积分区间保持不变，即 I= -a a f(-t)dt 于是 2I= -a a f(x)+f(-x)dx 若右端积分易算，则就求出了 I的值23.计算下列反常积分(广义积分)的值： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 x 2 -2x=(x-1) 2 -1，所以为去掉被积函数中的根号，可令 x-1=sect，则有 ()采
17、用分解法与分部积分法注意 将被积函数分解并用分部积分法有 () )解析：24.求一块铅直平板如图 3-1所示在某种液体(比重为 y)中所受的压力 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：液体中深度为 h处所受的压强为 p=h，从深度为 a到 x之间平板所受的压力记为 P(x)，任取x，x+x上小横条，所受压力为 P=P(x+x)-P(x)x.cx 令x0，得 dP(x)=xcdx于是，总压力为 P= a b xcdx= (b 2 -a 2 ) =. )解析：25.求下列平面曲线的弧长： ()曲线 9y 2 =x(x-3) 2 (y0)位于 x=0到 x=3之间的一段； ()曲线 （分数：2.
18、00）_正确答案：(正确答案：()先求 y与 将 9y 2 =x(x-3) 2 两边对 x求导得 6yy=(x-3)(x-1)，即 y= (x-3)(x-1)， ，因此该段曲线的弧长为 ()先写出曲线的参数方程 t0，2，再求 于是代公式并由对称性得，该曲线的弧长为 )解析：26.求下列曲线的曲率或曲率半径： ()求 y=lnx在点(1，0)处的曲率半径 ()求 x=t-ln(1+t 2 )，y=arctant在 t=2处的曲率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 ，然后代公式： 于是，在任意点 x0 处曲率为 于是曲线在点(1，0)处的曲率半径 = =2 32 ()利用由参数方
19、程确定的函数的求导法则，得 于是所求曲率为 )解析：27.已知抛物线 y=ax 2 +bx+c经过点 P(1，2)，且在该点与圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：圆 ，所以在圆上任何一点的曲率为 由于点 P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线 在点 P(1，2)处为凹的，所以由 确定的连续函数 y=y(x)在 P(1，2)处的y0又经过计算，可知在点 P(1，2)处的 y=1 由题设条件知，抛物线经过点 P(1，2)，于是有 a+b+c=2 抛物线与圆在点 P(1，2)相切，所以在点 P(1，2)处 y=1，即有 2a+b=1又抛物线与圆在点P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有 )解析：28.设函数 y=f(x)在a，b(a0)连续，由曲线 y=f(x)，直线 x=a，x=b 及 x轴围成的平面图形(如图312)绕 y轴旋转一周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用微元法任取a，b上小区间x，x+dx，相应得到小曲边梯形，它绕 y轴旋转所成立体的体积(见图 312)为 dV=f(x)2xdx，于是积分得旋转体的体积为 V=2 a b xf(x)dx)解析：
