1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 2 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()为连续函数，It （分数：2.00）A.依赖于 s 和 tB.依赖于 s，t，C.依赖于 t，不依赖于 sD.依赖于 s，不依赖于 t3.下列函数中在1，2上定积分不存在的是（分数：2.00）A.B.C.D.4.下列函数中在2，3不存在原函数的是（分数：2.00）A.B.f()max，1C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5. 1 （分数：2
2、.00）填空项 1:_6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.(cossin)d 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f()连续，f()0，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.已知 （分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.求 0 e-1 (1)ln 2 (
3、1)d（分数：2.00）_19.求定积分：()J -2 2 min2， 2 d；()J -1 (1t)dt，1（分数：2.00）_20.设 n 为正整数，利用已知公式，I n ，其中 I * 求下列积分：()J n （分数：2.00）_21.求无穷积分J （分数：2.00）_22.设 f() （分数：2.00）_23.设 f()arcsin(1) 2 ，f(0)0，求 0 1 f()d（分数：2.00）_24.设 a0，f()在(，)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_25.求 （分数：2.00）_26.设 f()在(，)连续，在点 0 处可导，且 f(0)0，令 （分数：2.00）_2
4、7.设 0，a时 f()连续且 f()0(0，a)，又满足 f() （分数：2.00）_28.求函数 f() （分数：2.00）_29.求星形线 L： （分数：2.00）_30.求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 y 2 ，yy * 所围图形绕 轴旋转所成旋转体； ()由曲线 a(tsint)，ya(1cost)(0t2)，y0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体（分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 2 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2
5、.00）_解析：2.设 f()为连续函数，It （分数：2.00）A.依赖于 s 和 tB.依赖于 s，t，C.依赖于 t，不依赖于 sD.依赖于 s，不依赖于 t 解析：3.下列函数中在1，2上定积分不存在的是（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：显然，选项 A、B、C 中的 f()在1，2均有界，至多有一个或两个间断点，因而 f()在1，2均可积，即 4.下列函数中在2，3不存在原函数的是（分数：2.00）A.B.f()max，1C. D.解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6. 1 （
6、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnlnC）解析：解析：原式(lnln.8.(cossin)d 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 f()连续，f()0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按题意：f() 3 f()d )解析：12
7、.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分解 1 6 1( 2 ) 3 (1 2 )(1 2 5 ) 原式 arctan )解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作恒等变形，然后凑微分即得 )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 sgn 则 )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 asint(t )，则 )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿莱布尼兹公式得 )解析：18.求 0 e-1 (1)ln 2
8、 (1)d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求定积分：()J -2 2 min2， 2 d；()J -1 (1t)dt，1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()min2， 2 于是 ()当10 时，J -1 (1t)dt 当 0 时，J -1 0 (1t)dt 0 (1t)dt )解析：20.设 n 为正整数，利用已知公式，I n ，其中 I * 求下列积分：()J n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求无穷积分J （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求原函数
9、() 0 f(t)dt 当 0 时，() 0 f(t)dt 0 sin2tdt 当 0 时，() 0 f(t)dt 0 ln(2t1)dttln(2t1)dttln(2t1) 0 0 ln(21) ln(21) 因此f()d()C )解析：23.设 f()arcsin(1) 2 ，f(0)0，求 0 1 f()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 a0，f()在(，)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f()在(，)连续，在点 0 处可导，且 f(0)0，令
10、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由变上限积分性质知 F()在 0 时连续为使其在 0 处连续，只要()A而 故令 A0 即可。 ()当 0 时 F() 在 0 处，由导数定义和洛必达法则可得 )解析：27.设 0，a时 f()连续且 f()0(0，a)，又满足 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f() 由 f()连续及 2 可导知 f 2 ()可导，又 f()0，从而f()可导，且f 2 ()2f()f()，故将上式两边对 求导，得 2f()f()f().2 f() 在(*)式中令 0 可得 f(0)0 于是(*)式 两边积分( 0 )得 )解析：28.求函数
11、 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f() 0，e，e 2 ， 可知 f()在e，e 2 上单调增加，故 )解析：29.求星形线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：图形关于 ，y 轴均对称，第一象限部分：0a，0y ， )解析：30.求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 y 2 ，yy * 所围图形绕 轴旋转所成旋转体； ()由曲线 a(tsint)，ya(1cost)(0t2)，y0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()如图 32，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为 ()如图 33，所求体积为 V2 0 2a yd2 0 2 a(1cost )a(1cost)a(tsint)a(1cost)dt 2a 3 0 2 (1cost) 2 (tsint)dt 2a 3 0 2 (1cost) 2 tdt2a 3 (1cost) 2 sintdt 2a 3 0 2 (1cost) t tdt 2a 3 1cos(u) 2 (u)du 2a (1cosu) 2 udu2 2 a 3 (1cosu) 2 du 4 2 a 3 0 (1cosu) 2 du4 2 a 3 0 (12cosucos 2 u)du4 2 a 3 ( )6 3 a 3 )解析：
