1、考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 1 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()为(，)上的连续奇函数，且单调增加，F() 0 (2t)f(t)dt，则 F()是（分数：2.00）A.单调增加的奇函数B.单调增加的偶函数C.单调减小的奇函数D.单调减小的偶函数3.下列可表示由双纽线( 2 y 2 ) 2 2 y 2 围成平面区域的面积的是（分数：2.00）A.2B.4C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)4.若 f()的导
2、函数是 sinx，则 f()的原函数是 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设 f()在0，1连续， （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f()是连续函数，并满足f()sindcos 2 C，又 F()是 f()的原函数，且满足 F(0)0，则 F() 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 f()为连续函数，且满足 f() 0 1 f()d，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_8.由曲线 a(tsint)，ya(1cost)(0t2)(摆线)及 轴围成平面图形的面积 5 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)9.解答题解答应写出文字说
3、明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设 f()与 g()在 0 的某邻域内连续，f(0)g(0)0，求 （分数：2.00）_11.求 I （分数：2.00）_12.设 f()在a，b可积，求证：() （分数：2.00）_13.设 F() （分数：2.00）_14.求曲线 rasin 3 （分数：2.00）_15.求曲线 ra(1cos)的曲率（分数：2.00）_16.已知一条抛物线通过 轴上两点 A(1，0)，B(3，0)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 轴与该抛物线所围成的面积（分数：2.00）_17.求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 2 y 2 2 与)y 确定
4、的平面图形绕直线 2 旋转而成的旋转体； ()由曲线 y3 2 1与戈轴围成封闭图形绕直线 y3 旋转而成的旋转体（分数：2.00）_18.求由曲线 a(tsint)，ya(1cost)(0t2)，y0 所围图形()绕 O 轴：()绕 y2a旋转所成立体的体积（分数：2.00）_19.求以半径为 R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h 的正劈锥体的体积（分数：2.00）_20.求曲线 acos 3 t，yasin 3 t 绕直线 y 旋转一周所得曲面的面积（分数：2.00）_21.边长为 a 和 b 的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深 h 处，设 ab，液体
5、的比重为 y，求薄板受的液体压力（分数：2.00）_22.设有一半径为 R 长度为 l 的圆柱体，平放在深度为 2R 的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)设圆柱体的比重为 (1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?（分数：2.00）_23.求星形线 (0t （分数：2.00）_24.求由曲线 2 ay 与 y 2 a(a0)所围平面图形的质心(形心)(如图 335) （分数：2.00）_25.有两根长各为 l，质量各为 M 的均匀细杆，位于同一条直线上，相距为 a，求两杆间的引力（分数：2.00）_26.设有以 O 为心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环， 垂直圆面， b，质点 P 的质
6、量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式 F （分数：2.00）_27.设有半径为 a，面密度为 的均匀圆板，质量为 m 的质点位于通过圆板中心 O 且垂直于圆板的直线上，（分数：2.00）_28.设函数 f()在0，上连续，且 0 f()sind0 0 f()cosd,0证明：在(0，)内 f()至少有两个零点（分数：2.00）_29.设 f()在(，)连续，以 T 为周期，令 F() 0 (t)dt，求证： ()F()一定能表示成：F()k()，其中 k 为某常数，()是以 T 为周期的周期函数 () （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 1 答案解析(总分
7、：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()为(，)上的连续奇函数，且单调增加，F() 0 (2t)f(t)dt，则 F()是（分数：2.00）A.单调增加的奇函数B.单调增加的偶函数C.单调减小的奇函数 D.单调减小的偶函数解析：解析：对被积函数作变量替换 ut，就有 F() 0 (2t)f(t)dt 0 (2u)f(u)du 0 f(u)du 由于 f()为奇函数，故 0 f(u)du 为偶函数，于是 0 f(u)du 为奇函数，又因 uf(u)为偶函数，从
8、而 0 ufdu 为奇函数，所以 F()为奇函数又 F() 0 f(u)duf()2f() 0 f(u)duf()， 由积分中值定理知在 0 与 之间存在 使得 0 f(u)duf()从而 F()f()f()，无论 0，还是 0，由f()单调增加，都有 F()0，从而应选 C3.下列可表示由双纽线( 2 y 2 ) 2 2 y 2 围成平面区域的面积的是（分数：2.00）A.2 B.4C.D.解析：解析：双纽线的极坐标方程是：r 4 r 2 (cos 2 sin 2 )及 r 2 cos2当，时，仅当 ， 时才有 r0(图 325) 由于曲线关于极轴与 y 轴均对称，如图 325，只需考虑 0
9、， 由对称性及广义扇形面积计算公式得 S4. 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)4.若 f()的导函数是 sinx，则 f()的原函数是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：原函数是：sinC 1 C 2 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：f()的导函数是 sin，那么 f()应具有形式cosC 1 ，所以 f()的原函数应为sinC 1 C 2 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数5.设 f()在0，1连续， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4A）解析：解析：由于 f(cos)在(，)连续，以 为周期，且为偶函数，则根据周
10、期函数与偶函数的积分性质得 I6.设 f()是连续函数，并满足f()sindcos 2 C，又 F()是 f()的原函数，且满足 F(0)0，则 F() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2sn）解析：解析：由题设及原函数存在定理可知，F() 0 f(t)dt 为求 f()，将题设等式求导得 f()sinf()sind (cos 2 C)2sincos， 从而 f()2cos，于是 F() 0 f(t)dt 0 2costdt2sn7.设 f()为连续函数，且满足 f() 0 1 f()d，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
11、解析：定积分是积分和的极限，当被积函数和积分区间确定后，它就是一个确定的数从而由题设知可令 0 1 f()dA，只要求得常数 A 就可得到函数 f()的表达式为此将题设等式两边同乘 并从 0 到 1 求定积分，就有 故 f() 8.由曲线 a(tsint)，ya(1cost)(0t2)(摆线)及 轴围成平面图形的面积 5 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3a 2）解析：解析：当 t0，时，曲线与 轴的交点是 0，2a(相应于 t0，2，)，曲线在 轴上方，见图 326于是图形的面积 S 0 2a y()d 0 2 a(1cost)a(tsint)dt 0 2 a 2
12、(1cos)dta 2 0 2 (12costcos 2 t)dt3a 2 三、解答题(总题数：21，分数：42.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设 f()与 g()在 0 的某邻域内连续，f(0)g(0)0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是求 型未定式的极限，需用洛必达法则，但分子分母都需先作变量替换，使被积函数中的 f( )与 g(t)不含 才可以求导令 由积分中值定理，在 0 与 之间存在 ，使 0 g(u)dug()，于是有 )解析：11.求 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是求 型的极限用洛必
13、达法则时就要求变限积分的导数这里被积函数f() 还是变限积分注意到这一点就容易求得 )解析：12.设 f()在a，b可积，求证：() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，a，b，考察 ()() ， 由 f()在a，b可积 f()在a，b有界即f()M(a，b)，则 ()() f(u)duM 因此， ，a，b，有 )解析：13.设 F() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 F() ，即知 F()在 0 处取极小值 0，且无其他极值 ()F()2(14 4 ) ，注意到仅当 时 F()0，且在 两侧F()变号即知 为曲线 yF()的拐点的横坐标 ()注意到 F 2 ()为
14、奇函数，因此 )解析：14.求曲线 rasin 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：rasin 3 以 6 为周期，00，3 0，r0；(3，6) (，2)，r0只需考虑 00，3 )解析：15.求曲线 ra(1cos)的曲率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线的参数方程为 rcosa(1cos)cos，yrsina(1cos)sin， asin(12cos)(sinsin2)，ya(coscos2)， 2 y 2 a 2 2(1cos)2ar，a(cos2cos2)，ya(sin2sin2)， yya(sinsin2)(sin2sin2)coscos2)(cos2cos2
15、) 3a 2 (1cos)3ar 因此，曲率 K )解析：16.已知一条抛物线通过 轴上两点 A(1，0)，B(3，0)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 轴与该抛物线所围成的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)写出抛物线方程 ya(1)(3)(a0 或 a0 为常数)，如图 327 所示 2)求两坐标轴与抛物线所围面积 S 1 ，即 3)求 轴与该抛物线所围面积 S 2 ，即 )解析：17.求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 2 y 2 2 与)y 确定的平面图形绕直线 2 旋转而成的旋转体； ()由曲线 y3 2 1与戈轴围成封闭图形绕直线 y3 旋转而成的旋转体（
16、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对该平面图形，我们可以作垂直分割也可作水平分割 作水平分割该平面图形如图 328上半圆方程写成 1 (0y1)任取 y 轴上0，1区间内的小区间y，yd)，相应的微元绕 2 旋转而成的立体体积为 dV2(1 ) 2 (2y) 2 dy， 于是 ()曲线 y3 2 1与 轴的交点是(2，0)，(2，0)曲线 yf()3 2 与 轴围成的平面图形，如图 329 所示 显然作垂直分割方便任取，d 2，2，相应的小竖条绕 y3 旋转而成的立体体积为 dVdV3 2 (3f() 2 d(9 2 1 2 )d， 于是 V -2 2 9( 2 1) 2 d2 0
17、2 9( 4 2 2 1)d )解析：18.求由曲线 a(tsint)，ya(1cost)(0t2)，y0 所围图形()绕 O 轴：()绕 y2a旋转所成立体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由已知的体积公式，得 )解析：19.求以半径为 R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h 的正劈锥体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取底圆所在平面为 Oy 平面，圆心 O 为原点，并使 轴与劈锥的顶平行，底圆方程为 2 y 2 R 2 过 轴上的点 (RR)作垂直于 轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形，底边长即 2 ，高为 h，该截面的面积为 )解析：20.求曲
18、线 acos 3 t，yasin 3 t 绕直线 y 旋转一周所得曲面的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 332，曲线关于 y 对称，只需考察 t 一段曲线现在没有现成的公式可用用微元法导出旋转面的面积公式任取曲线的小微元，端点坐标为(t)，y(t)(acos 3 t,asin 3 t)，它到直线 y 的距离为 l(t) 曲线微元的弧长 ds 3asintcostdt，它绕 y 旋转所得曲面微元的面积为 dS2l(t)ds2 3asintcostdt，因此整个旋转面的面积为 )解析：21.边长为 a 和 b 的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深 h 处，设
19、 ab，液体的比重为 y，求薄板受的液体压力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：建立坐标系如图 333 所示， 轴铅直向下一长边的深度为 h，另一长边的深度为 hbsina，在h，hbsina中任取，d，相应的薄板上一小横条，长 a，宽 ，于是所受的压力为 dPa 整块板受的压力为 )解析：22.设有一半径为 R 长度为 l 的圆柱体，平放在深度为 2R 的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)设圆柱体的比重为 (1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：任取小区间，d R，R相应的柱体薄片，其体积为 2yld2l d 移至水面时薄片移动的距离为
20、R，所受的力(重力与浮力之差)为(1)2ld，因而移至水面时做的功为 (1)2l(R) d 整个移出水面时，此薄片离水面距离为 R，将薄片从水面移到此距离时所做的功为 (R)2l. d，于是对薄片做的功为 dW2l(1)(R)(R) d 2l(21)R d 因此，所求的功 )解析：23.求星形线 (0t （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 dsds 3asintcostdt 再求总长度 积分 于是故星形线的质心为 )解析：24.求由曲线 2 ay 与 y 2 a(a0)所围平面图形的质心(形心)(如图 335) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两曲线的交点是(0，0)，(
21、a，a)设该平面图形的质心(形心)为( )，则由质心(形心)公式有 同样计算或由对称性可知 )解析：25.有两根长各为 l，质量各为 M 的均匀细杆，位于同一条直线上，相距为 a，求两杆间的引力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：沿杆建立坐标系如图 336 在右杆上任取微元，d，它与左杆间的引力为 dF 于是两杆间的引力为 )解析：26.设有以 O 为心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环， 垂直圆面， b，质点 P 的质量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式 F （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 337，由对称性，引力沿 方向取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为 s
22、到 sds 的一段微元 ，它的质量为 ，到 P 点的距离为 与 的夹角为，cos ，则微元 对 P 点的引力沿 方向的分力为 dF ， 于是整个圆环对 P点的引力为 )解析：27.设有半径为 a，面密度为 的均匀圆板，质量为 m 的质点位于通过圆板中心 O 且垂直于圆板的直线上，（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 338，任取r，rdr对应的圆环，它的面积 dS2rdr，质量dMdS2rdr，对质点 P 的引力 dF ，因此，整个圆板对 P 的引力为 )解析：28.设函数 f()在0，上连续，且 0 f()sind0 0 f()cosd,0证明：在(0，)内 f()至少有两个零点（
23、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法如果 f()在(0，)内无零点(或有一个零点，但 f()不变号，证法相同)，即 f()0(或0)，由于在(0，)内，亦有 sin0，因此，必有 0 f()sind0(或0)这与假设相矛盾 如果 f()在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为a(0，)，于是在(0，a)与(a，)内 f()sin(a)同号，因此 0 f()sin(a)d0但是，另一方面 0 f()sin(a)d 0 f()(sincosacossina)d cosa 0 f()sindsina 0 f()cosd0 这个矛盾说明 f()也不能在(0，)内只有一个零点，因此
24、它至少有两个零点)解析：29.设 f()在(，)连续，以 T 为周期，令 F() 0 (t)dt，求证： ()F()一定能表示成：F()k()，其中 k 为某常数，()是以 T 为周期的周期函数 () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()即确定常数 k，使得 ()F()k 以 T 为周期由于 (T)F(T)k(T) 0 f(t)dtk 0 +T f()dtkT () 0 T f(t)dtkT 因此，取 k 0 T f(t)dt，()F()k，则 ()是以 T 为周期的周期函数此时 F() 0 T f(t)dt() ()不能用洛必达法则因为 不存在，也不为但 0 (t)dt 可表示成 0 f(t)dt 0 T f(t)dt() ()在(，)连续且以 T为周期，于是，()在0，T有界，在(，)也有界因此 )解析：
