1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 48 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为( )（分数：2.00）A.1+sinx。B.1 一 sinx。C.1+cosx。D.1 一 cosx。3.定积分 I= =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)= （分数：2.00）A.F(x)在 x=0 处不连续。B.F(x)在(一，+)内连续，但在 x=0 处不可导。C.F(x)在(一，+
2、)内可导，且满足 F (x)=f(x)。D.F(x)在(一，+)内可导，但不一定满足 F (x)=f(x)。5.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关。B.仅与 n 的取值有关。C.与 m，n 的取值都有关。D.与 m，n 的取值都无关。6.由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.已知f (x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数)，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_8.= 1。 （分数：2.00）填空
3、项 1:_9.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 e kx =1，则 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 =1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.求不定积分 （分数：2.00）_设 f(x)= （分数：4.00）(1
4、).证明 f(x)是以 为周期的周期函数；（分数：2.00）_(2).求 f(x)的值域。（分数：2.00）_19.设 f(x)在一 ，上连续，且有 f(x)= （分数：2.00）_20.已知 f(2)= （分数：2.00）_21.(I)设 f(x)在(一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a(一，+)恒有 a al f(x)dx= 0 l f(x)dx。 ()计算 0 2 （分数：2.00）_22.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 f(b)cosb= （分数：2.00）_23.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0，f (x
5、)0，g (x)0。 证明对任何 a0，1，有 0 a g(x)f (x)dx+ 0 1 f(x)g (x)dxf(a)g(1)。（分数：2.00）_24.设 f(x)= 1 x ttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积。（分数：2.00）_25.设曲线 y=ax 2 +bx+c 过原点，且当 0x1 时，y0，并与 x 轴所围成的图形的面积为 （分数：2.00）_函数 y= （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).计算极限 （分数：2.00）_一容器的内侧是由图中(如图 136)曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x 2 +y 2 =2
6、y(y )与 x 2 +y 2 =1(y （分数：4.00）(1).求容器的容积；（分数：2.00）_(2).若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为 m，重力加速度为 gms 2 ，水的密度为 10 3 kgm 3 。) （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 48 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为( )（分数：2.00）A.1+sinx
7、。B.1 一 sinx。 C.1+cosx。D.1 一 cosx。解析：解析：由 F (x)=sinx，得 F(x)=f (x)dx=sinxdx=一 cosx+C 1 ， 所以 f(x)的原函数是 F(x)=f(x)dx=(一 cosx+C 1 )dx=一 sinx+C 1 x+C 2 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。 令 C 1 =0，C 2 =1 得 F(x)=1 一 sinx。故选 B。3.定积分 I= =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：这是无界函数的反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，则 I=4.设 f(x)= （分数：2
8、.00）A.F(x)在 x=0 处不连续。B.F(x)在(一，+)内连续，但在 x=0 处不可导。 C.F(x)在(一，+)内可导，且满足 F (x)=f(x)。D.F(x)在(一，+)内可导，但不一定满足 F (x)=f(x)。解析：解析：关于具有跳跃间断点的函数的变限积分，有下述定理： 设 f(x)在a，b上除点 c(a，b)外的其他点都连续，且 x=c 为 f(x)的跳跃间断点。又设 F(x)= c x f(t)dt，则： F(x)在a，b上必连续； 当 xa，b且 xc 时，F (x)=f(x)； F (c)必不存在，且 F (c)=f(c )，F (c)=f(c )。 直接利用上述结
9、论(本题中的 c=0)，可知选项 B 正确。5.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有关。B.仅与 n 的取值有关。C.与 m，n 的取值都有关。D.与 m，n 的取值都无关。 解析：解析：显然 x=0，x=1 是该积分可能的两个瑕点，因此有6.由曲线 y= (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得 V x = 0 f 2 (x)dx= 0 ( ) 2 = 0 sin 3 xdx=一 0 (1 一 cos 2
10、 x)dcosx =(cosx 一 cos 3 x) 0 = 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)7.已知f (x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数)，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*+C）解析：解析：对等式f (x 3 )dx=x 3 +C 两边求导得 f (x 3 )=3x 2 。令 t=x 3 ，等式两边积分，故 f(x)= 8.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：secxtanx+x+C）解析：解析： 10.=
11、 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x=tant，则 dx=sec 2 tdt，于是 11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令 I n =e x sinnxdx=一 e x sinnx+ne x cosnxdx =一 e x sinnxne x cosnxn 2 I n 。 所以 I n = +C。 则 12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x= ，则有14.已
12、知 e kx =1，则 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：1= e kx dx=2 0 e kx dx=2 e kx 0 b ，已知要求极限存在，所以 k0。那么 1=0 一 15.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直接利用旋转体的体积公式可得，如图 1-3-10 所示，x 的积分从 1 到 2。 V= 1 2 (x 2 一 1)dx= 1 2 一 x 1 2 =)= 16.曲线 =1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知可得 。则三、解答题(
13、总题数：12，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)= （分数：4.00）(1).证明 f(x)是以 为周期的周期函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件可得 f(x+)= ，设 t=+，则有 f(x+)= )解析：(2).求 f(x)的值域。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为sinx周期为 ，故只需在0，上讨论值域。因为 f (x)=sin(x+ )sinx=cosxsinx， )解析：19.设 f(x)在一 ，上连续，且有 f(x)= （分
14、数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)sinxdx 存在，且记为 A，于是可得， f(x)= +A， 对等式右边积分作积分变量变换：x=t，当 x=0 时，t=；当 x= 时，t=0。于是 )解析：20.已知 f(2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.(I)设 f(x)在(一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意a(一，+)恒有 a al f(x)dx= 0 l f(x)dx。 ()计算 0 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)证明： 必要性： 设 (a)= a al f(x)dx 一 0 l f(
15、x)dx，由题设 (a)=f(a+l)一 f(a)=0， 则 (a)=c(常数)。 设 a=0，则 c=(0)=0，那么 a al f(x)dx= 0 l f(x)dx。 充分性： 在 a al f(x)dx= 0 l f(x)dx 两边对 a 求导，得 f(a+l)一 f(a)=0，故 f(x)以 l 为周期。 ()利用上述性质，将原区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是 在上式第2 项中作变量替换 x= 一 t，即可化为第 1 项，故 )解析：22.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 f(b)cosb= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在区间a，b上可
16、导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而 F(x)=f(x)cosx 在a， 上连续，由积分中值定理，知存在一点 ca， 使得 F(b)=f(b)cosb= f(x)cosxdx = =F(c)。 在c，b上，由罗尔定理得至少存在一点 (c，b) )解析：23.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0，f (x)0，g (x)0。 证明对任何 a0，1，有 0 a g(x)f (x)dx+ 0 1 f(x)g (x)dxf(a)g(1)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)= 0 x g(t)f (t)dt+ 0 1 f(t)g (t)dt 一 f(x)g
17、(1)， 则 F(x)在0，1上的导数连续，并且 F (x)=g(x)f (x)f (x)g(1)=f (x)g(x)一 g(1)，由于 x0，1时，f (x)0，g (x)0，因此 F (x)0，即 F(x)在0，1上单调递减。 注意到 F(1)= 0 1 g(t)f (t)dt+ 0 1 f(t)g (t)dt 一 f(1)g(1)， 而又因为 0 1 g(t)f (t)dt= 0 1 g(t)df(t)=g(t)f(t) 0 1 0 1 f(t)g (t)dt =f(1)g(1)一 0 1 f(t)g (t)dt， 故 F(1)=0。 因此x0，1时，F(x)F(1)=0，由此可得对任何
18、 a0，1，有 0 a g(x)f (x)dx+ 0 1 f(x)g (x)dxf(a)g(1)。)解析：24.设 f(x)= 1 x ttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与 x 轴所围封闭图形的面积。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 tt为奇函数，可知其原函数 f(x)= 1 x ttdt= 1 0 ttdt+ 0 x ttdt 为偶函数，由 f(一 1)=0，得 f(1)=0，即 y=f(x)与 x 轴有交点(一 1，0)，(1，0)。 又由 f (x)=xx，可知 x0 时，f (x)0，故 f(x)单调减少，因此 f(x)f(一 1)=0(一 1x0)。 当 x0
19、时，f (x)=xx0，故 f(x)单调增加，所以当 x0 时，y=f(x)与 x 轴有一交点(1，0)。综上，y=f(x)与 x 轴交点仅有两个。 所以封闭曲线所围面积 A= 1 1 f(x)dx=2 1 0 f(x)dx。 当 x0 时，f(x)= 1 x ttdt= 1 x 一 t 2 dt=一 (1+x 3 )，因此 A=2 1 0 (1+x 3 )dx= )解析：25.设曲线 y=ax 2 +bx+c 过原点，且当 0x1 时，y0，并与 x 轴所围成的图形的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知该曲线过原点，因而 c=0，又当 0x1 时，y0，可知 a0，a+b0
20、，于是该曲线在 0x1 上与 x 轴所围成的面积为 0 1 (ax 2 +bx)dx= ， 即 a=1 一 b。 该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积为 V= 0 1 y 2 dx= 0 1 (ax 2 +bx) 2 dx = ， 可知，要使该图形绕 x 轴旋转一周所得立体的体积最小，a，b 的值应分别是 )解析：函数 y= （分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).计算极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：一容器的内侧是由图中(如图 136)曲线绕 y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x 2 +y 2 =2y(y )与 x 2 +y 2 =1(y （分数：4.00）(1).求容器的容积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线可表示为 x=f(y)= 则其容积为 )解析：(2).若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位为 m，重力加速度为 gms 2 ，水的密度为 10 3 kgm 3 。) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用微元法，所做功的计算分为两部分： )解析：
