1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 42 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 a ， （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小3.设 g() 0 f(u)du，其中 f() （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点4.设 f()在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a f(t)dtB. a f(t)dtC. 0 f(t)dt
2、0 f(t)dtD. tf(t)dt二、填空题(总题数：13，分数：26.00)5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.max2， 2 d 1（分数：2.00）填空项 1:_10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_12. 1 （分数：2.00）填空项 1:_13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_14. 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f()满足等式 f()f() （分数：2.00）填空项 1:_1
3、6.设函数 yy()满足y （分数：2.00）填空项 1:_17.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 f()在(a，a)(a0)内连续，且 f(0)2 (1)证明：对 0a，存在 001，使得 0 f(t)dt 0 f(t)dtf()f()， (2)求 （分数：2.00）_20.设 a n tan n d(n2)，证明： （分数：2.00）_21.设 f()有界，且 f()连续，对任意的 (，)有f()f()1证明：f()1（分数：2.00）_22.设 f()在(，)上
4、有定义，且对任意的 ，y(，)有f()f(y)y证明： a b f()d(ba)f(a) （分数：2.00）_23.设 f()在0，1上连续，且 0mf()M，对任意的 0，1，证明： （分数：2.00）_24.设 f()在a，b上连续且单调增加，证明： a b f()d （分数：2.00）_25.设 f()在(0，)内连续且单调减少证明： 1 n+1 f()d （分数：2.00）_26.设 f()在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f()dk 0 1 f()d（分数：2.00）_27.设 f()在0，1上连续且f()M证明： （分数：2.00）_28.设 f()在0，a上
5、一阶连续可导，f(0)0，令 f()M 证明： 0 a f()d （分数：2.00）_29.设 f()在0，1上连续，且 f(1)f(0)1证明： 0 1 f 2 ()d1（分数：2.00）_30.设 f()在a，b上连续可导，且 f(a)0证明： a b f 2 ()d （分数：2.00）_31.设 f()在a，a上连续可导，且 f(a)f(b)0证明：f() （分数：2.00）_32.设 f()在a，b上连续可导，证明： f() （分数：2.00）_33.设 f()在0，1上二阶可导，且 f()0证明： 0 1 f( 2 )df( （分数：2.00）_34.设 f()在区间a，b上二阶可导
6、且 f()0证明：(ba)f( ) a b f()d （分数：2.00）_35.设 f()C0，1，f()0证明积分不等式：ln 0 1 f()d 0 1 lnf()d（分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 42 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 a ， （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：因为3.设 g() 0 f(u)du，其中 f() （分数：2.00）A.单调减
7、少B.无界C.连续 D.有第一类间断点解析：解析：因为 f()在(0，2)内只有第一类间断点，所以 g()在(0，2)内连续，选 C4.设 f()在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（分数：2.00）A. a f(t)dtB. a f(t)dtC. 0 f(t)dt 0 f(t)dtD. tf(t)dt 解析：二、填空题(总题数：13，分数：26.00)5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_
8、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.max2， 2 d 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：max2， 2 ，当 1 时，max2， 2 d C 1 ； 当12 时，max2， 2 d 2C 2 ； 当 2 时，max2， 2 d C 3 取 C 2 C 10. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （
9、正确答案：正确答案：ln3）解析：解析：13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：15.设 f()满足等式 f()f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2*）解析：解析：16.设函数 yy()满足y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：因为三、解答题(总题数：18，分数：36.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或
10、演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设 f()在(a，a)(a0)内连续，且 f(0)2 (1)证明：对 0a，存在 001，使得 0 f(t)dt 0 f(t)dtf()f()， (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F() 0 f(t)dt 0 f(t)dt，显然 F()在0，上可导，且 F(0)0，由微分中值定理，存在 001，使得 F()F()F(0)F()，即 0 f(t)dt 0 f(t)dtf()f() (2)令 A，由 )解析：20.设 a n tan n d(n2)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a n a n+2 同理 a
11、n a n-2 因为 tan n ，tan n+2 在0， 上连续，tan n tan n+2 ，且 tan n ，tan n+2 不恒等， 所以 ，即 a n a n+2 ， 于是 a n a n+2 2a n ，即 a n ， 同理可证 a n )解析：21.设 f()有界，且 f()连续，对任意的 (，)有f()f()1证明：f()1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ()e f()，则 ()e f()f()， 由f()f()1 得()e ，又由 f()有界得 ()0，则 ()()() ()d，两边取绝对值得 e f() ()d e de ，所以f()1)解析：22.设 f()
12、在(，)上有定义，且对任意的 ，y(，)有f()f(y)y证明： a b f()d(ba)f(a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(ba)f(a) a b f(a)d，所以 )解析：23.设 f()在0，1上连续，且 0mf()M，对任意的 0，1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 0 于是 f() Mm，两边积分得 )解析：24.设 f()在a，b上连续且单调增加，证明： a b f()d （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 () 因为 f()在a，b上单调增加，所以 a b ()d0， )解析：25.设 f()在(0，)内连续且单调减少证
13、明： 1 n+1 f()d （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 n+1 f()d 1 2 f()d 2 3 f()d n n+1 f()d， 当 1，2时，f()f(1)，两边积分得 1 2 f()df(1)， 同理f()df(2)，f()df(n)，相加得 ； 当 1，2时，f(2)f()，两边积分得 f(2) 1 2 f()d， 同理 f(3) 2 3 f()d，f(n) n-1 n f()d， 相加得 f(2)f(n) 1 n f()d，于是 )解析：26.设 f()在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f()dk 0 1 f()d（分数：2.00）_正确答
14、案：(正确答案： 0 k f()dk 0 1 f()d 0 k f()dk 0 k f()d k 1 f()d (1k) 0 k f()dk k 1 f()dk(1k)f( 1 )f( 2 ) 其中 1 0，k， 2 k，1因为 0k1 且 f()单调减少， 所以 0 k f()dk 0 1 f()dk(1k)f( 1 )f( 2 )0，故 0 k f()dk 0 1 f()d)解析：27.设 f()在0，1上连续且f()M证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 f()在0，a上一阶连续可导，f(0)0，令 f()M 证明： 0 a f()d （分数：2.00）_
15、正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f()f(0)f()，其中 介于 0 与 之间， 因为f(0)0，所以f()f()M，0，a， 从而 0 a f()d 0 a f()d 0 a Md )解析：29.设 f()在0，1上连续，且 f(1)f(0)1证明： 0 1 f 2 ()d1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1f(1)f(0) 0 1 f()d， 得 1 2 1( 0 1 f()d) 2 0 1 1 2 d 0 1 f 2 ()d 0 1 f 2 ()d，即 0 1 f 2 ()d1)解析：30.设 f()在a，b上连续可导，且 f(a)0证明： a b f 2 ()d
16、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(a)0，得 f()f(a)f() a f(t)dt，由柯西不等式得 )解析：31.设 f()在a，a上连续可导，且 f(a)f(b)0证明：f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 且 f(a)f(b)0，所以 两式相加得f() )解析：32.设 f()在a，b上连续可导，证明： f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()在a，b上连续，所以f()在a，b上连续，令f(c) f() 根据积分中值定理， f()df()，其中 a，b 由积分基本定理，f(c)f() c f()d，取绝对值得 f(c)f() c f
17、()df() a b f()d，即 )解析：33.设 f()在0，1上二阶可导，且 f()0证明： 0 1 f( 2 )df( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 f(t) ，其中 介于 与 t 之间，从而 )解析：34.设 f()在区间a，b上二阶可导且 f()0证明：(ba)f( ) a b f()d （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f() 其中 介于 与 之间， 因为 f()0，所以有 两边积分得 a b f()d(ba) 令 () f()f(a) a f(t)dt，且 (a)0， 其中 a， 因为 f()0，所以 f()单调不减，于是()0(ab)， )解析：35.设 f()C0，1，f()0证明积分不等式：ln 0 1 f()d 0 1 lnf()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(t)lnt(t0)，g(t) 0，再令 0 0 1 f()d，则有 g(t)g( 0 )g( 0 )(t 0 ) )解析：
