1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 41 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f()连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 1 tf(t)f(t)dtB. 0 tf(t)f(t)dtC. 0 f(t 2 )dtD. 0 f 2 (t)dt3. （分数：2.00）A.等于 0B.大于 0C.小于 0D.不能确定4.若由曲线 y2 （分数：2.00）A.yB.yC.y1D.y二、填空题(总题数：13，分数：26.00
2、)5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.求 （分数：2.00）填空项 1:_7.计算 （分数：2.00）填空项 1:_8.计算 （分数：2.00）填空项 1:_9.计算 （分数：2.00）填空项 1:_10.计算 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f() 0 e cost dt，求 0 f()cosd（分数：2.00）填空项 1:_12.设 f()连续，且 0 tf(2t)dt （分数：2.00）填空项 1:_13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.设连续非负函数 f()满足 f()f()1，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.I() （分数：2.00）填空项
3、1:_16.设 f()的一个原函数为 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.y 在 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设直线 ya 与抛物线 y 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 1 所围成的图形面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_20.求曲线 y3 2 1与 轴围成的封闭区域绕直线 y3 旋转所得的旋转体的（分数：2.00
4、）_21.求椭圆 1 与椭圆 （分数：2.00）_22.计算 I （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.计算定积分 （分数：2.00）_25.证明： （分数：2.00）_26.证明：当 0 时，f() 0 (tt 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_27.设 f()在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 1 ， 2 a，b满足： f(t 1 (1t) 2 )tf( 1 )(1t)f( 2 ) 证明： （分数：2.00）_28.设 f()Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f()0，()是区间a，b上的非负连续函数，且 a b ()d1证明
5、： a b f()()df a b ()d（分数：2.00）_29.令 f()，求极限 （分数：2.00）_30.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?（分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 41 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_
6、解析：2.设函数 f()连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 1 tf(t)f(t)dtB. 0 tf(t)f(t)dt C. 0 f(t 2 )dtD. 0 f 2 (t)dt解析：解析：因为 tf(t)f(t)为偶函数，所以 0 tf(t)f(t)dt 为奇函数，A 不对； 因为 f(t 2 )为偶函数，所以 0 f(t 2 )dt 为奇函数，C 不对； 因为不确定 f 2 (t)的奇偶性，所以 D不对； 令 F() 0 tf(t)f(t)dt， F() 0 tf(t)f(t)dt 0 (u)f(u)f(u)(du)F()，选 B3. （分数：2.00）A
7、.等于 0B.大于 0 C.小于 0D.不能确定解析：解析：4.若由曲线 y2 （分数：2.00）A.y B.yC.y1D.y解析：二、填空题(总题数：13，分数：26.00)5. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：7.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.计算 （分
8、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 f() 0 e cost dt，求 0 f()cosd（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1 e）解析：解析： 0 f()cosd 0 f()d(sin)f()sin 0 0 f()sind 0 e cos sinde cos 0 e -1 e12.设 f()连续，且 0 tf(2t)dt （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 等式两边对 求导得 2 2 f(u)du22f(2)f()4f(2)f() ， 整理得 2 2 f(u)duf() 取 1 得 2
9、f(u)duf(1) ，故f()d 13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设连续非负函数 f()满足 f()f()1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：15.I() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3）解析：16.设 f()的一个原函数为 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*1）解析：解析：17.y 在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：13，分数：26.00)18.解答题解答应写出文字说
10、明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设直线 ya 与抛物线 y 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 1 所围成的图形面积为 S 2 ，且 a1 (1)确定 a，使 S 1 S 2 达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)直线 ya 与抛物线 y 2 的交点为(0，0)，(a，a 2 ) 当a1 时， SS 1 S 2 0 a (a 2 )d a 1 ( 2 a)d ， 令 Sa 2 0 得 a ，因为 0，所以 a 时，S 1 S 2 取到最小值，此时最小值为 当 a0
11、 时， 因为 S (a 2 1)0，所以 S(a)单调减少，故 a0 时 S 1 S 2 取最小值，而 S(0) 因为 S(0)，所以当 a 时，S 1 S 2 最小? (2)旋转体的体积为 V )解析：20.求曲线 y3 2 1与 轴围成的封闭区域绕直线 y3 旋转所得的旋转体的（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y3 旋转所成的体积 当0 时，y 对，d 0，1， dV 1 3 2 3( 2 2) 2 d(2 2 4 8)d， )解析：21.求椭圆 1 与椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成
12、面积的 4 倍，先求第一象限的面积 令 则 L 1 ： 1 的极坐标形式为 L 1 ：r 2 r 1 2 () L 2 ： 1 的极坐标形式为 L 2 ：r 2 r 2 2 () 令 则第一象限围成的面积为 )解析：22.计算 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.证明：当 0 时，f() 0 (tt 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_正确答案
13、：(正确答案：当 0 时，令 f()( 2 )sin 2n 0 得1，k(k1，2，)， 当 01 时，f()0；当 1 时，f()0(除k(k1，2，)外 f()0)， 于是 1 为 f()的最大值点，f()的最大值为 f(1)因为当 0 时，sin， 所以当 0，1时，( 2 )sin 2n ( 2 ) 2n 2n+1 2n+2 于是 f()f(1) 0 1 ( 2 )sin 2n d )解析：27.设 f()在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 1 ， 2 a，b满足： f(t 1 (1t) 2 )tf( 1 )(1t)f( 2 ) 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答
14、案： )解析：28.设 f()Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f()0，()是区间a，b上的非负连续函数，且 a b ()d1证明： a b f()()df a b ()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()0，所以有 f()f( 0 )f( 0 )( 0 ) 取 0 a b ()d，因为 ()0，所以 a()()b()，又 a b ()d1，于是有 a a b ()d 0 b把 0 a b ()d 代入 f()f( 0 )f( 0 )( 0 )中，再由 ()0，得 f()()f( 0 )()f( 0 )() 0 ()， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 a b
15、f()()df a b ()d)解析：29.令 f()，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为mm(其中 m 为整数)，所以 f()是以 1 为周期的函数，又，故 f()0，且 f()在0，1上的表达式为 对充分大的 ，存在自然数竹，使得 nn1，则 0 n f()d 0 f()d 0 n+1 f()d， 而 0 n f()dn 0 1 f()dn 0 1 d ， 显然当 时，n，由迫敛定理得 )解析：30.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设拉力对空斗所做的功为 W 1 ，则 W 1 4003012000J 设拉力对绳所做的功为 W 2 ，任取，d 0，30，dW 2 50(30)d， 则 W 2 0 30 dW 2 22500J 设拉力对污泥做功为 W 3 ，任取t，tdt 0，10， dW 3 (200020t)3dt 则 W 3 0 10 dW 3 57000J，拉力克服重力所做的功为 WW 1 W 2 W 3 91500J )解析：
