1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 40 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f()，g()是连续函数，当 0 时，f()与 g()是等价无穷小，令 F() 0 f(t)dt，G() g g(t)dt，则当 0 时，F()是 G()的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小3.设 F() +2 e sint sintdt，则 F()( )（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.为零D.取值与 有
2、关二、填空题(总题数：13，分数：26.00)4.设 f(sin 2 ) ，则 （分数：2.00）填空项 1:_5.f(ln) （分数：2.00）填空项 1:_6.设f()darcsinC，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 F()为连续函数，且满足 0 1 f(t)dtf()sin，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_8.求 （分数：2.00）填空项 1:_9.求 （分数：2.00）填空项 1:_10.求 （分数：2.00）填空项 1:_11.求 （分数：2.00）填空项 1:_12.求 （分数：2.00）填空项 1:_13.求：arctan （分数：2.00）填空项 1:
3、_14.求 （分数：2.00）填空项 1:_15.求 （分数：2.00）填空项 1:_16. 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 f() （分数：2.00）_19.设 f()连续，且 f()2 0 f(t)dte ，求 f()（分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27.设 F()为 f()的原函
4、数，且当 0 时，f()F() （分数：2.00）_28.设 f(ln) （分数：2.00）_29. -2 2 (34) （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31. （分数：2.00）_32.设 f()连续， 0 tf(t)dt1cos，求 （分数：2.00）_33.设 S() 0 costdt (1)证明：当 n(n1) 时，2nS()2(n1)； (2)求 （分数：2.00）_34.设 f()在0，)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_35.设 f()在0，1上连续，f(0)0， 0 1 f()d0证明：存在 (0，1)，使得 0 f()df()（分数：
5、2.00）_考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 40 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f()，g()是连续函数，当 0 时，f()与 g()是等价无穷小，令 F() 0 f(t)dt，G() g g(t)dt，则当 0 时，F()是 G()的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小 解析：解析：F() 0 f(t)dt 0 f(t)d(t) 0 f(u)du， G() 0 1 g(t)dt 0
6、 g(u)du， 则 3.设 F() +2 e sint sintdt，则 F()( )（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.为零D.取值与 有关解析：二、填空题(总题数：13，分数：26.00)4.设 f(sin 2 ) ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arcsin 2 ）解析：解析：5.f(ln) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：6.设f()darcsinC，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 F()为连续函数，且满足 0 1 f(t)dtf()sin，则 f()
7、 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cossinC）解析：解析：由 0 1 f(t)dtf()sin，得 0 1 (t)d(t)f() 2 sin 即 0 f(t)dtf() 2 sin，两边求导得 f()2sincos，积分得 f()cossinC8.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*arctan(s
8、in)C）解析：解析：12.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.求：arctan （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 f() （分数：2.
9、00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f()连续，且 f()2 0 f(t)dte ，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 f(t)dt )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为( 2 e )( 2 2)e ， )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26. （分数：2.00）
10、_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 F()为 f()的原函数，且当 0 时，f()F() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边积分得 F 2 () ，解得 F 2 () C， 由 F(0)1，F()0， 得 F() ，于是 f() )解析：28.设 f(ln) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 lnt，则 f(t) ， 当 t0 时，f(t)tC 1 ； 当 t0 时，f(t)e t C 2 显然 f(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1 1C 2 ， 故 f() )解析：29. -2 2 (34) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解
11、析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 tant，则 )解析：31. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() ， 当 01 时， 当 12 时， )解析：32.设 f()连续， 0 tf(t)dt1cos，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 tf(t)dt 0 (u)f(u)(du) 0 (u)f(u)du 0 fj(u)du 0 uf(u)du 得 0 f(u)du 0 uf(u)du1cos， 两边求导得f(u)dusin，令 得 )解析：33.设 S() 0 costdt (1)证明：当 n(n1) 时，2nS()2(n1)； (2)求
12、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 n(n1) 时， (2)由 n(n1)，得 根据迫敛定理得 )解析：34.设 f()在0，)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对充分大的 ，存在自然数 n，使得 nT 注意到当 时，n，且)解析：35.设 f()在0，1上连续，f(0)0， 0 1 f()d0证明：存在 (0，1)，使得 0 f()df()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 () 因为 f()在0，1上连续，所以 ()在0，1上连续，在(0，1)内可导，又 (0)0，(1) 0 1 f()d0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得()0， 而 () )解析：
