1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 9及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2006年)设 f()是奇函数，除 0 外处处连续，0 是其第一类间断点，则 0 f(t)dt是 【 】（分数：2.00）A.连续的奇函数B.连续的偶函数C.在 0 间断的奇函数D.在 0 间断的偶函数3.(2007年)如图，连续函数 yf()在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2上的图形分别是直径为 2的下、上半圆周设 F(
2、) 0 f(t)dt，则下列结论正确 【 】 （分数：2.00）A.F(3)B.F(3)C.F(3)D.F(3)4.(2008年)如图，曲线段的方程为 yf()，函数 f()在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0 a f()d 等于 【 】 （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD的面积B.梯形 ABOD的面积C.曲边三角形 ACD的面积D.三角形 ACD面积5.(2009年)设函数 yf()在区间1，3上的图形为 则函数 F() 0 f(t)dt的图形为 （分数：2.00）A.B.C.D.6.(2010年)设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m的取值有关B.仅与
3、 n的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.(2005年) （分数：2.00）填空项 1:_8.(2006年)设函数 f() （分数：2.00）填空项 1:_9.(2006年)广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_10.(2009年) （分数：2.00）填空项 1:_11.(2009年)已知 e k d1，则 k 1（分数：2.00）填空项 1:_12.(2010年)当 0 时，对数螺线 re 的弧长为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.(2011年)曲线 y 0 tantdt(0 （分数：2.00）填空项 1:
4、_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.(2001年)求 （分数：2.00）_16.(2001年)设 ()是抛物线 y 上任一点 M(，y)(1)处的曲率半径，ss()是该抛物线上介于点 A(1，1)与 M之间的弧长，计算 3 的值(在直角坐标系下曲率公式为K （分数：2.00）_17.(2001年)设函数 f()在0，)上可导，f(0)0，且其反函数为 g()若 0 f() g(t)dt 2 e 求 f()（分数：2.00）_18.(2001年)设 f()在区间a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)0，
5、(1)写出 f()的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在a，a上至少存在一点 ，使 a 3 f() -a a f()d（分数：2.00）_19.(2002年)设 f() （分数：2.00）_20.(2002年)某闸门的形状与大小如图 211 所示，其中直线 l为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高 h应为多少 m(米)? （分数：2.00）_21.(2003年)设函数 yy()由参数方程 所确定，求 （分数：2.00）_22.(2003年)计
6、算不定积分 （分数：2.00）_23.(2003年)设函数 f()在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 f()0若极限 存在证明： (1)在(a，b)内 f()0； (2)在(a，b)内存在点 ，使 (3)在(a，b)内存在与(2)中 相异的点 ，使 f()(b 2 a 2 ) （分数：2.00）_24.(2004年)设 f() （分数：2.00）_25.(2004年)曲线 y 与直线 0，t(t0)及 y0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 t 处的底面积为 F(t) ()求 的值； ()计算极限 （分数：2.00）_
7、26.(2005年)设函数 f()连续，且 f(0)0，求极限 （分数：2.00）_27.(2005年)如图，C 1 和 C 2 分别是 y (1e )和 ye 的图像，过点(0，1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图像，过 C 2 上任一点 M(，y)分别作垂直于 轴和 y轴的直线 l 和 l y 记 C 1 ，C 2 与 l 所围图形的面积为 S 1 ()；C 2 ，C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 (y)如果总有 S 1 ()S 2 (y)，求曲线 C 3 的方程 (y) （分数：2.00）_28.(2005年)如图，曲线 C的方程为 yf()，点(3，2)是它的一个拐点，直
8、线 l 1 与 l 2 分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f()具有三阶连续导数，计算定积分 0 3 ( 2 2)f()d （分数：2.00）_29.(2006年)求 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 9答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2006年)设 f()是奇函数，除 0 外处处连续，0 是其第一类间断点，则 0 f(t)dt是 【 】（分数：2.00）A.连续的奇函数
9、B.连续的偶函数 C.在 0 间断的奇函数D.在 0 间断的偶函数解析：解析：由于 f()是奇函数，则 0 f(t)dt是偶函数，又由于 f()除 0 外处处连续，且0 是其第一类间断点，则 f()在任何一个有限区间上可积，从而 0 f(t)dt为连续函数故应选 B3.(2007年)如图，连续函数 yf()在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2上的图形分别是直径为 2的下、上半圆周设 F() 0 f(t)dt，则下列结论正确 【 】 （分数：2.00）A.F(3)B.F(3)C.F(3) D.F(3)解析：解析：根据定积分的几何意义知，4.(2008年
10、)如图，曲线段的方程为 yf()，函数 f()在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0 a f()d 等于 【 】 （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD的面积B.梯形 ABOD的面积C.曲边三角形 ACD的面积 D.三角形 ACD面积解析：解析： 5.(2009年)设函数 yf()在区间1，3上的图形为 则函数 F() 0 f(t)dt的图形为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题设知，当 (1，0)时 F()f()，而当 (1，0)时 f()10，即F()0，从而 F()单调增显然 A选项是错误的，因为 A选项中 F()在(1，0)中单调减 由于F() 0 f(t)dt，
11、则 F(0)0，显然 C选项错误 由于当 (2，3时 f()0，则当(2，3时 6.(2010年)设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m的取值有关B.仅与 n的取值有关C.与 m，n 的取值都有关D.与 m，n 的取值都无关 解析：解析：反常积分 两个元界点，0 和 1 先考察 0，当 0 时 则反常积分同敛散， 再讨论 1， 由于 令 0P1二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.(2005年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.(2006年)设函数 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
12、）解析：解析：由于 f()在 0 处连续，则 ()a，而 则 a9.(2006年)广义积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.(2009年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：11.(2009年)已知 e k d1，则 k 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：112.(2010年)当 0 时，对数螺线 re 的弧长为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：所求弧长为13.(2011年)曲线 y 0 tantdt(0 （分数：2.00）填空项
13、 1:_ （正确答案：正确答案：ln(1*)）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.(2001年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 tant，则 dsec 2 tdt )解析：16.(2001年)设 ()是抛物线 y 上任一点 M(，y)(1)处的曲率半径，ss()是该抛物线上介于点 A(1，1)与 M之间的弧长，计算 3 的值(在直角坐标系下曲率公式为K （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.(2001年)设函数 f()在0，)上可导，f(0)0，且其反函
14、数为 g()若 0 f() g(t)dt 2 e 求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式两边对 求导得 gf()f()2e 2 e 而 gf()，故 f()2e 2 e 当 0 时，f()2e e 积分得 f()(1)e C f(0) )解析：18.(2001年)设 f()在区间a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)0， (1)写出 f()的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在a，a上至少存在一点 ，使 a 3 f() -a a f()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意的 a，a f()f(0)f(0) 其中 在 0与 之间 (2) 因为
15、 f()在a，a上连续，故对任意的 a，a，有 mf()M，其中M，m 分别为 f()在a，a上的最大，最小值，所以 因而由 f()的连续性知，至少存在一点 a，a，使 )解析：19.(2002年)设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当10 时， )解析：20.(2002年)某闸门的形状与大小如图 211 所示，其中直线 l为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高 h应为多少 m(米)? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 2
16、19 建立坐标系，则抛物线的方程为 y 2 闸门矩形部分承受的水压力 其中 为水的密度，g 为重力加速度 闸门下部承受的水压力 解之得 h2，h )解析：21.(2003年)设函数 yy()由参数方程 所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 4t 当 9 时，由 12t 2 及 t1 得 t2，故 )解析：22.(2003年)计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 tant，则 )解析：23.(2003年)设函数 f()在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 f()0若极限 存在证明： (1)在(a，b)内 f()0； (2)在(a，b)内存在点
17、 ，使 (3)在(a，b)内存在与(2)中 相异的点 ，使 f()(b 2 a 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 存在知， (2a)0，由 f()在a，b上的连续知，f(a)0 又 f()0，则 f()在(a，b)内单调增加，故 f()f()0， (a，b) (2)设 F() 2 ，g() a f(t)dt (ab) 则 g()f()0，故 F()，g()满足柯希中值定理的条件，于是在(a，b)内存在点 ，使 (3)在a，上对 f()用拉格朗日中值定理得，存在(a，)，使 f()f(a)f()(a) 即 f()f()(a) 代入(2)中的结论得 )解析：24.(200
18、4年)设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()f() sintdt 令 tu，则有 f() sinuduf() 故 f()是以 为周期的周期函数 ()由于sin在(，)上连续，则 f()为(，)上的连续函数，注意到 f()以 为周期，故只须在0，上讨论其值域，因为 f()sin( )sincossin 令 f()0，得 ，且 因而 f()在0，上的最小值为 2 ，最大值是 ，故 f()的值域为 )解析：25.(2004年)曲线 y 与直线 0，t(t0)及 y0 围成一曲边梯形该曲边梯形绕 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 t 处的底面积为 F
19、(t) ()求 的值； ()计算极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.(2005年)设函数 f()连续，且 f(0)0，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.(2005年)如图，C 1 和 C 2 分别是 y (1e )和 ye 的图像，过点(0，1)的曲线 C 3 是一单调增函数的图像，过 C 2 上任一点 M(，y)分别作垂直于 轴和 y轴的直线 l 和 l y 记 C 1 ，C 2 与 l 所围图形的面积为 S 1 ()；C 2 ，C 3 与 l y 所围图形的面积为 S 2 (y)如果总有 S 1 ()S 2 (y)，求曲线 C 3
20、 的方程 (y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 S 1 ()S 2 (y)，知 故曲线 C 3 的方程为 lny )解析：28.(2005年)如图，曲线 C的方程为 yf()，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f()具有三阶连续导数，计算定积分 0 3 ( 2 2)f()d （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(3，2)是曲线 yf()的拐点知，f(3)0；由直线 l 1 与 l 2 分别是曲线yf()在点(0，0)与(3，2)处的切线知，f(0)2，f(3)2，f(0)0，f(3)2利用分部积分法可得 )解析：29.(2006年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 arcsin e t，则 lnsint，d dt )解析：
