1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 8及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(1997年)设在闭区间a，b上 f()0，f()0，f()0记 S 1 a b f()d，S 2 f(b)(ba)，S 3 （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 3 S 1C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 1 S 33.(1997年)设 F() 2 e sint sintdt，则 F() 【 】（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C
2、.恒为零D.不为常数4.(1999年)设 a() （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小5.(1999年)设 f()是连续函数，F()是，()的原函数，则 【 】（分数：2.00）A.当 f()是奇函数时，F()必是偶函数B.当 f()是偶函数时，F()必是奇函数C.当 f()是周期函数时，F()必是周期函数D.当 f()是单调增函数时，F()必是单调增函数6.(2002年)设函数 f()连续，则下列函数中，必为偶函数的是 【 】（分数：2.00）A. 0 f(t 2 )dtB. 0 f 2 (t)dtC. 0 tf(t)f(t)dtD. 0 tf(
3、t)f(t)dt二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.(1994年) 3 （分数：2.00）填空项 1:_8.(1996年) -1 1 ( （分数：2.00）填空项 1:_9.(1996年)由曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_10.(1997年) （分数：2.00）填空项 1:_11.(1998年) （分数：2.00）填空项 1:_12.(1998年)设 f()连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.(1999年) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.(
4、1994年)计算 （分数：2.00）_16.(1994年)如图 29 所示，设曲线方程为 y 2 ，梯形 OABC的面积为 D，曲边梯形 OABC的面积为 D 1 ，点 A的坐标为(a，0)，a0，证明： （分数：2.00）_17.(1994年)设 f()在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， 0 f()d 0 1 f()d（分数：2.00）_18.(1994年)求曲线 y3 2 1与 轴围成封闭图形绕 y3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_19.(1995年)设 f( 2 1)ln （分数：2.00）_20.(1995年)求摆线 （分数：2.00）_21.(1995年)求函数
5、f() （分数：2.00）_22.(1995年)设 f() （分数：2.00）_23.(1996年)计算 （分数：2.00）_24.(1996年)求 （分数：2.00）_25.(1996年)设有正椭圆柱体，其底面的长短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴与底面成口角(0a )的平面截此柱体，得一楔形体(如图 210)求此楔形体的体积 （分数：2.00）_26.(1996年)计算不定积分 （分数：2.00）_27.(1997年)求 （分数：2.00）_28.(1997年)计算e 2 (tan1) 2 d（分数：2.00）_29.(1997年)设函数 f()在闭区间0，1上连续，在开区间(0
6、，1)上大于零，并满足 f()f() （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 8答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(1997年)设在闭区间a，b上 f()0，f()0，f()0记 S 1 a b f()d，S 2 f(b)(ba)，S 3 （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 3 S 1C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 1 S 3 解析：解析：在0，ln2上考虑 f()e ，显然 f()满足
7、原题设条件，而 3.(1997年)设 F() 2 e sint sintdt，则 F() 【 】（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：4.(1999年)设 a() （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小 D.等价无穷小解析：解析：5.(1999年)设 f()是连续函数，F()是，()的原函数，则 【 】（分数：2.00）A.当 f()是奇函数时，F()必是偶函数 B.当 f()是偶函数时，F()必是奇函数C.当 f()是周期函数时，F()必是周期函数D.当 f()是单调增函数时，F()必是单调增函数解析：解析：排除法B、C、
8、D 选项分别举反例如下： B 项的反例：f()cos，F()sin1 不是奇函数； C 项的反例：f()cos1，F()sin 不是周期函数； D 项的反例：f()，F() 6.(2002年)设函数 f()连续，则下列函数中，必为偶函数的是 【 】（分数：2.00）A. 0 f(t 2 )dtB. 0 f 2 (t)dtC. 0 tf(t)f(t)dtD. 0 tf(t)f(t)dt 解析：解析：令 F() 0 tf(t)f(t)dt 则 F() 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.(1994年) 3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.(19
9、96年) -1 1 ( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 其中 d0，由于 9.(1996年)由曲线 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2*）解析：解析：由图 215 可知所求面积为10.(1997年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arcsin*C 或 2arcsin*C）解析：解析：将根式里面配方得11.(1998年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cot.lnsincotC）解析：解析： 12.(1998年)设 f()连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
10、答案：正确答案：f( 2 )）解析：解析：令 2 t 2 u，则 原式 13.(1999年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ( 2 613)4arctan ）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.(1994年)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.(1994年)如图 29 所示，设曲线方程为 y 2 ，梯形 OABC的面积为 D，曲边梯形 OABC的面积为 D 1 ，点 A的坐标为(a，0)，a0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正
11、确答案： )解析：17.(1994年)设 f()在0，1上连续且递减，证明：当 01 时， 0 f()d 0 1 f()d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 f()d 0 1 f()d 0 f()d 0 f()d 0 f()d (1) 0 f()d 1 f()d (1)f( 1 )(1)f( 2 ) (0 1 ， 2 1) (1)f( 1 )f( 2 ) 由于 f()递减，则 f( 1 )f( 2 )0 故 0 f()d 0 1 f()d)解析：18.(1994年)求曲线 y3 2 1与 轴围成封闭图形绕 y3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 方程
12、为 y 2 2 (01) y4 2 (12) 设对应区间0，1的这部分旋转体体积为 V 1 ，对应区间1，2上的体积为 V 2 ， 则 dV 1 3 2 3( 2 2) 2 d dV 2 3 2 3(4 2 ) 2 d 则 V2(V 1 V 2 ) 2 0 1 3 2 3( 2 2) 2 )d2 1 2 3 3 3(4 2 ) 2 d )解析：19.(1995年)设 f( 2 1)ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.(1995年)求摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.(1995年)求函数 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
13、因为 f()是偶函数，故只需求 f()在0，)内的最大值与最小值 令f()2(2 2 ) 0 故在区间(0，)内有唯一驻点 当 0 时，f()0；当 时，f()0 所以 是极大值点，即最大值点 最大值 f( )(2t)e -t dt1e -2 f() 0 (2t)e -t dt(2t)e -t )解析：22.(1995年)设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由分部积分法知 )解析：23.(1996年)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.(1996年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.(1996年)设有正椭圆柱体，其底面的
14、长短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴与底面成口角(0a )的平面截此柱体，得一楔形体(如图 210)求此楔形体的体积 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：底面椭圆的方程为 1，以垂直于 y轴的平面截此楔形体，所得截面为直角三角形，其一直角边长为 a ，另一直角边长为 a ，故截面面积 )解析：26.(1996年)计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.(1997年)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.(1997年)计算e 2 (tan1) 2 d（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.(1997年)设函数 f()在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)上大于零，并满足 f()f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，当 0 时 ，即 据此并由 f()在点 0 处的连续性，得 f() a 2 c 0，1 又由已知条件得 即 c4a 因此 f() a 2 (4a) 所求旋转体体积为 由 V(a)( )0，得 a5 又 V(a) )解析：
