1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 7及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2011年)设 I lnsind，J lncotd，K （分数：2.00）A.IJKB.IKJC.JIKD.KJI3.(2012年)设 I k 0 k （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 2 I 3 I 1D.I 2 I 1 I 34.(2013年)设函数 （分数：2.00）A. 是函数 F()的跳跃间断点B. 是函数 F()
2、的可去间断点C.F()在 处连续但不可导D.F()在 处可导5.(2013年)设函数 f() （分数：2.00）A.a2B.a2C.2a0D.0a26.(2015年)下列反常积分中收敛的是 【 】（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.(2011年)设函数 f() （分数：2.00）填空项 1:_8.(2012年) （分数：2.00）填空项 1:_9.(2013年)设函数 f() -1 ，则 yf()的反函数 f -1 (y)在 y0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_10.(2013年)设封闭曲线 L的极坐标方程为 rcos3 （分数：2.00
3、）填空项 1:_11.(2014年) （分数：2.00）填空项 1:_12.(2014年)一根长为 1的细棒位于 轴的区间0，1上，若其线密度 () 2 21，则该细棒的质心坐标 （分数：2.00）填空项 1:_13.(2015年)设函数 f()连续，() （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.(2006年)已知曲线 L的方程为 （分数：2.00）_16.(2007年)设 f()是区间0， 上的单调、可导函数，且满足 （分数：2.00）_17.(2007年)设 D是位于曲线 y
4、（分数：2.00）_18.(2008年)计算 （分数：2.00）_19.(2008年)()证明积分中值定理：若函数 f()在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得 a b f()df()(ba)； ()若函数 ()具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2)()d，则至少存在一点 (1，3)，使得 ()0（分数：2.00）_20.(2009年)计算不定积分ln(1 （分数：2.00）_21.(2010年)()比较 0 1 lntln(1t) n dt与 0 1 t n lntdt(n1，2，)的大小，说明理由； ()记 u n 0 1 lntln(1t) n dt(n1，2，)，求极限
5、 （分数：2.00）_22.(2010年)一个高为 l的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a短轴为 2b的椭圆现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 6时(如图)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数kgm 3 ) （分数：2.00）_23.(2011年)一容器的内侧是由图中曲线绕 y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 2 y 2 2y(y )与 y1(y )连接而成 （分数：2.00）_24.(2012年)过点(0，1)作曲线 L：yln 的切线，切点为 A，又 L与 轴交于 B点，区域 D由 L与直线 AB围成求区域 D的面积及 D绕 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.0
6、0）_25.(2013年)设 D是由曲线 y （分数：2.00）_26.(2013年)设曲线 L的方程为 y （分数：2.00）_27.(2014年)设函数 f()，g()在区间a，b上连续，且 f()单调增加，0g()1证明： ()0 a g(t)dt(a)，a，b () （分数：2.00）_28.(2014年)已知函数 f(，y)满足 （分数：2.00）_29.(2015年)设 A0，D 是由曲线段 yAsin(0 )及直线 y0， （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 7答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00
7、)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2011年)设 I lnsind，J lncotd，K （分数：2.00）A.IJKB.IKJ C.JIKD.KJI解析：解析：当 (0， )时，sincos1cot，而 ln 为单调增的函数，则 lnsinlncoslncot (0， )3.(2012年)设 I k 0 k （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 2 I 3 I 1D.I 2 I 1 I 3 解析：解析：本题主要考查定积分几何意义，曲线 ysin 如上图，而 在(0，)单调增且大于 1，则曲线
8、 y sin 如下图 该曲线与 轴围成三块域面积分别为 S 1 ，S 2 ，S 3 ，由定积分几何意义知 I 1 0 sindS 1 0 I 2 0 2 sindS 1 S 2 0 I 3 0 3 4.(2013年)设函数 （分数：2.00）A. 是函数 F()的跳跃间断点B. 是函数 F()的可去间断点C.F()在 处连续但不可导 D.F()在 处可导解析：解析： 则 F()在 处连续5.(2013年)设函数 f() （分数：2.00）A.a2B.a2C.2a0D.0a2 解析：解析： 由题设知 收敛，则 11，即 a2 又6.(2015年)下列反常积分中收敛的是 【 】（分数：2.00）A
9、.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.(2011年)设函数 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.(2012年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：这是一个 n项和的极限，提出一个 的因子知，原式为一个积分和式9.(2013年)设函数 f() -1 ，则 yf()的反函数 f -1 (y)在 y0 处的导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f() 知，当 f()0 时，1， 又10.(2013年)设封闭曲线 L的极坐标方程为 rco
10、s3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由线 L：cos3( )所围图形面积为11.(2014年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.(2014年)一根长为 1的细棒位于 轴的区间0，1上，若其线密度 () 2 21，则该细棒的质心坐标 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：质心的横坐标为13.(2015年)设函数 f()连续，() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：() f(t)dt，由 (1)1 知 0 1 f(t)dt1，又 () 三、
11、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.(2006年)已知曲线 L的方程为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 当 t0 时， 0，故 L上凸 ()因为当 t0 时，L 在对应点处的切线方程为 1，不合题意，故设切点( 0 ，y 0 )对应的参数为 t 0 0，则 L在( 0 ，y 0 )处的切线方程为 y(4t 0 t 0 2 )( 1)(t 0 2 1) 令 1，y0，得 t 0 2 t 0 20 解得 t 0 1，或 t 0 2(舍去) 由 t 0 1 知，切点为(2，3)，且切线方程为y
12、1 ()由 t0，t4 知 L与 轴交点分别为(1，0)和(17，0) 所求平面图形的面积为 )解析：16.(2007年)设 f()是区间0， 上的单调、可导函数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.(2007年)设 D是位于曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.(2008年)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 是反常积分 令 arcsint，有 sint，t0， )， )解析：19.(2008年)()证明积分中值定理：若函数 f()在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得 a b f()df()(ba)；
13、 ()若函数 ()具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2)()d，则至少存在一点 (1，3)，使得 ()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 M与 m是连续函数 f()在a，b上的最大值与最小值，即 mf()M，a，b 由定积分性质，有 m(ba) a b f()dM(ba) 即 m f()dM 由连续函数介值定理，至少存在一点 a,b，使得 f() f()d， 即 a b f()df()(ba) ()由()的结论，可知至少存在一点 2，3，使 2 3 ()d()(32)(n) 又由 (2) 2 3 ()d()知，23 对 ()在1，2和2，上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到
14、 (1)(2)，()(2)，得 在 1 ， 2 上对导函数 ()应用拉格朗日中值定理，有 )解析：20.(2009年)计算不定积分ln(1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.(2010年)()比较 0 1 lntln(1t) n dt与 0 1 t n lntdt(n1，2，)的大小，说明理由； ()记 u n 0 1 lntln(1t) n dt(n1，2，)，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 0t1 时，因为 ln(1t)t，所以 lntln(1t) n t n lnt， 因此 0 1 lntln(1t) n dt 0 1 t n lntdt
15、 ()由()知 0u n 0 1 lntln(1t) n dt 0 1 t n nlntdt )解析：22.(2010年)一个高为 l的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2a短轴为 2b的椭圆现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 6时(如图)，计算油的质量(长度单位为 m，质量单位为 kg，油的密度为常数kgm 3 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图建立坐标系，则油罐底面椭圆方程为 1图中阴影部分为油面与椭圆所围成的图形记 S 1 为下半椭圆面积，则 S 1 ab；记 是位于 轴上方阴影部分的面积，则 设 ybsint，则 dybcostdt )解析：23.(2011年)一容器的内侧是
16、由图中曲线绕 y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 2 y 2 2y(y )与 y1(y )连接而成 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性，所求的容积为 V 即该容器的容积为 立方米 ()所求的功为 即所求的功为 )解析：24.(2012年)过点(0，1)作曲线 L：yln 的切线，切点为 A，又 L与 轴交于 B点，区域 D由 L与直线 AB围成求区域 D的面积及 D绕 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点 A的坐标为( 1 ，y 1 )，则切线方程为 yy 1 ( 1 ) 将点(0，1)代入，得 1 e 2 ，y 1 2 所求面积为 所求体积
17、为 )解析：25.(2013年)设 D是由曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 V10V 即 ，解得 a7 )解析：26.(2013年)设曲线 L的方程为 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.(2014年)设函数 f()，g()在区间a，b上连续，且 f()单调增加，0g()1证明： ()0 a g(t)dt(a)，a，b () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 0g()1 得 0 0 g(t)dt 0 1dt(a) a，b ()令 F(u) a u f()g() f()d 只要证明 F(b)0，显然 F(a)0，只要证明 F(u)
18、单调增，又 F(u)f(u)g(u)f(a a u g(t)dt)g(u) g(u)f(u)f(a a u g(t)dt) 由()的结论 0 a g(t)dt(a)知，aa a g(t)dt，即 aa a u g(t)dtu 又 f()单调增加，则 f(u)f(a a u g(t)dt)，因此，F(u)0，F(b)0 故 )解析：28.(2014年)已知函数 f(，y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 2(y1)可知，f(，y)2(y1)dy(y1) 2 () 又 f(y，y)(y1) 2 (2y)lny，则 (y1) 2 (2y)lny(y1) 2 (y) 则 (y)(2y)lny，曲线f(，y)0 的方程为 (y1) 2 (2)ln (12) 其所围图形绕直线 y1 旋转所成旋转体的体积 V 1 2 (y1) 2 d 1 2 (2)lnd(2ln2 )解析：29.(2015年)设 A0，D 是由曲线段 yAsin(0 )及直线 y0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 VV 知，A )解析：
