1、2014 年浙江省绍兴市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分 ) 1.(4 分 )比较 -3， 1， -2 的大小，下列判断正确的是 ( ) A. -3 -2 1 B. -2 -3 1 C. 1 -2 -3 D. 1 -3 -2 解析 ：有理数 -3， 1， -2 的中，根据有理数的性质， -3 -2 0 1. 答案： A. 2.(4 分 )计算 (ab)2的结果是 ( ) A. 2ab B. a2b C. a2b2 D. ab2 解析 ： 原式 =a2b2. 答案： C. 3.(4 分 )太阳的温度很高，其表面温度大概有 6 000 ，而太阳中心的温度
2、达到了 19 200 000 ，用科学记数法可将 19 200 000 表示为 ( ) A. 1.9210 6 B. 1.9210 7 C. 1.9210 8 D. 1.9210 9 解析 ： 将 19200000 用科学记数法表示为： 1.9210 7. 答案： B. 4.(4 分 )由 5 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看第一层是三个正方形，第二层是左边一个正方形， 答案： B. 5.(4 分 )一个不透明的袋子中有 2 个白球， 3 个黄球和 1 个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是白球的
3、概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 一个不透明的袋子中有 2 个白球， 3 个黄球和 1 个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同， 从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为： = . 答案： C. 6.(4 分 )不等式 3x+2 -1 的解集是 ( ) A. x - B. x - C. x -1 D. x -1 解析 ： 移项得， 3x -1-2，合并同类项得， 3x -3，把 x 的系数化为 1 得， x -1. 答案： C. 7.(4 分 )如图，圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 90 的扇形，则该圆锥的底面周长为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设底面圆的半径
4、为 r，则： 2r= = .r= ， 圆锥的底面周长为 ， 答案： B. 8.(4 分 )如图 1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有 2 个各 20 克的砝码 .现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1 个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图 2，则被移动的玻璃球的质量为 ( ) A. 10 克 B. 15 克 C. 20 克 D. 25 克 解析 ： 设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为 m 克、 n 克，根据题意得： m=n+40； 设被移动的玻璃球的质量为 x 克， 根据题意得： m-x=n+x+20， x= (m-n-20)= (n+
5、40-n-20)=10. 答案： A. 9.(4 分 )将一张正方形纸片，按如图步骤 ， ，沿虚线对折两次，然后沿 中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由题意要求知，展开铺平后的图形是 B. 答案： B. 10.(4 分 )如图，汽车在东西向的公路 l 上行驶，途中 A， B， C， D 四个十字路口都有红绿灯 .AB之间的距离为 800 米， BC 为 1000 米， CD 为 1400米，且 l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红 (绿 )灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同 .若绿灯刚亮时，甲汽车从 A 路口以每
6、小时 30 千米的速度沿 l 向东行驶，同时乙汽车从 D路口以相同的速度沿 l 向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为 ( ) A. 50 秒 B. 45 秒 C. 40 秒 D. 35 秒 解析 ： 甲汽车从 A 路口以每小时 30 千米的速度沿 l 向东行驶，同时乙汽车从 D路口以相同的速度沿 l 向西行驶， 两车的速度为： = (m/s)， AB 之间的距离为 800 米， BC 为 1000 米， CD 为 1400 米， 分别通过 AB， BC， CD 所用的时间为： =96(s)， =120(s)， =168(s)， 这两辆汽车通过四个路口时
7、都没有遇到红灯， 当每次绿灯亮的时间为 50s 时， =1 ， 甲车到达 B 路口时遇到红灯，故 A 选项错误； 当每次绿灯亮的时间为 45s 时， =3 ， 乙车到达 C 路口时遇到红灯，故 B 选项错误； 当每次绿灯亮的时间为 40s 时， =5 ， 甲车到达 C 路口时遇到红灯，故 C 选项错误； 当每次绿灯亮的时间为 35s 时， =2 ， =6 ， =10 ，=4 ， =8 ， 这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故 D 选项正确；则每次绿灯亮的时间可能设置为： 35 秒 . 答案： D. 二、填空题 (本大题共 6 个小题，每小题 5分，共 30 分 ) 11.(5 分 )分解
8、因式： a2-a= . 解析 ： a2-a=a(a-1). 12.(5 分 )把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图 .O 与矩形 ABCD的边 BC， AD 分别相切和相交 (E， F 是交点 )，已知 EF=CD=8，则 O 的半径为 . 解析 ： 由题意， O 与 BC 相切，记切点为 G，作直线 OG，分别交 AD、劣弧 于点 H、 I，再连接 OF， 在矩形 ABCD 中， ADBC ，而 IGBC ， IGAD ， 在 O 中， FH= EF=4， 设求半径为 r，则 OH=8-r，在 RtOFH 中， r2-(8-r)2=42，解得 r=5， 答案： 5. 13.
9、(5 分 )如图的一座拱桥，当水面宽 AB为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是 y=- (x-6)2+4，则选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 . 解析 ： 由题意可得出： y=a(x+6)2+4， 将 (-12， 0)代入得出， 0=a(-12+6)2+4，解得： a=- ， 选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是： y=- (x+6)2+4. 答案： y=- (x+6)2+4. 14.(5 分 )用直尺和圆规作 ABC ，使 BC=a， AC=b， B=35 ，若这样的三角
10、形只能作一个，则 a， b 间满足的关系式是 . 解析 ： 如图所示： 若这样的三角形只能作一个，则 a， b 间满足的关系式是： 当 ACBC 时，即 sin35= 当 ba 时 . 答案： sin35= 或 ba . 15.(5 分 )如图，边长为 n 的正方形 OABC 的边 OA， OC 在坐标轴上，点 A1， A2， ， An-1为 OA的 n 等分点，点 B1， B2， ， Bn-1为 CB的 n 等分点，连结 A1B1， A2B2， ， An-1Bn-1，分别交曲线 y= (x 0)于点 C1， C2， ， Cn-1.若 C15B15=16C15A15，则 n的值为 .(n 为正
11、整数 ) 解析 ： 正方形 OABC 的边长为 n，点 A1， A2A n-1为 OA的 n 等分点，点 B1， B2B n-1为 CB 的n 等分点 OA 15=15， A15B15=15， C 15B15=16C15A15， C 15(15， )， 点 C15在曲线 y= (x 0)上， 15 =n-2，解得 n=17. 答案： 17. 16.(5 分 )把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的 “ 开纸 ” .现在我们在长为 2 、宽为 1 的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则
12、所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 . 解析 ： 在长为 2 、宽为 1 的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似， 要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大 . 矩形的长与宽之比为 2 ： 1， 剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为 1，宽为 = ， 另外一个矩形的长为 2 - = ，宽为 = ， 所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 2(1+ + + )=4 + . 答案： 4 + . 三、解答题 (本大题共 8 小题，第 17-20 小题每小题 8 分，第 21
13、 小题 10 分，第 22,23 小题每小题 8 分， 24 小题 14分，共 80 分 ) 17.(8 分 )(1)计算： -4sin45 - + . (2)先化简，再求值： a(a-3b)+(a+b)2-a(a-b)，其中 a=1， b=- . 解析 ： (1)本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； (2)根据去括号的法则，可去掉括号，根据合并同类项，可化简代数式，根据代数式求值，可得答案 . 答案： (1)原式 =2-2 -1+2 =1； (2)原式 =a2-3ab+a2+2ab+b2-a2+ab
14、=a2+b2=1+ = . 18.(8 分 )已知甲、乙两地相距 90km， A， B 两人沿同一公路从甲地出发到乙地， A 骑摩托车，B 骑电动车，图中 DE， OC 分别表示 A， B 离开甲地的路程 s(km)与时间 t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题 . (1)A 比 B 后出发几个小时？ B 的速度是多少？ (2)在 B 出发后几小时，两人相遇？ 解析 ： (1)根据横轴 CO 与 DE 可得出 A 比 B 后出发 1 小时；由点 C 的坐标为 (3， 60)可求出 B的速度； (2)利用待定系数法求出 OC、 DE 的解析式，联立两函数解析式建立方程求解即可 . 答案：
15、 (1)由图可知， A 比 B 后出发 1 小时； B 的速度： 603=20 (km/h)； (2)由图可知点 D(1， 0)， C(3， 60)， E(3， 90)， 设 OC 的解析式为 y=kx，则 3k=60，解得 k=20，所以， y=20x， 设 DE 的解析式为 y=mx+n，则 ，解得 ，所以， y=45x-45， 由题意得 ，解得 ， 所以 B 出发 小时后两人相遇 . 19.(8 分 )为了解某校七，八年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校七，八年级部分学生进行调查，已知抽取七年级与八年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下统计图表 . 根据图表提供的信息，回答下列问题
16、： (1)求统计图中的 a； (2)抽取的样本中，八年级学生睡眠时间在 C 组的有多少人？ (3)已知该校七年级学生有 755 人，八年级学生有 785 人，如果睡眠时间 x(时 )满足：7.5x9.5 ，称睡眠时间合格，试估计该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有多少人？ 解析 ： (1)根据扇形统计图，确定出 a 的值即可； (2)根据图 1 求出抽取的人数，乘以 C 占的百分比即可得到结果； (3)分别找出七八年级睡眠合格的人数，求出之和即可 . 答案： (1)根据题意得： a=1-(35%+25%+25%+10%)=5%； (2)根据题意得： (6+19+17+10+8)35%=21
17、(人 )， 则抽取的样本中，八年级学生睡眠时间在 C 组的有 21 人； (3)根据题意得： 755 +785 (25%+35%)=453+471=924(人 )， 则该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有 924 人 . 20.(8 分 )课本中有一道作业题： 有一块三角形余料 ABC，它的边 BC=120mm，高 AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB， AC上 .问加工成的正方形零件的边长是多少 mm？ 小颖解得此题的答案为 48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题 . (1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放
18、置的正方形所组成，如图 1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少 mm？请你计算 . (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长 . 解析 ： (1)设 PN=2ymm，则 PQ=ymm，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可； (2)设 PN=x，用 PQ 表示出 AE 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用 x 表示出 PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答 . 答案： (1)设矩形的边长 PN=2ymm，则
19、PQ=ymm，由条件可得 APNABC ， = ，即 = ，解得 y= ， PN= 2= (mm)， 答：这个矩形零件的两条边长分别为 mm， mm； (2)设 PN=xmm，由条件可得 APNABC ， = ，即 = ，解得 PQ=80- x. S=PN PQ=x(80- x)=- x2+80x=- (x-60)2+2400， S 的最大值为 2400mm2，此时 PN=60mm， PQ=80- 60=40 (mm). 21.(10 分 )九 (1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量 . (1)如图 1，第一小组用一根木条 CD 斜靠在护墙上，使得 DB与
20、CB 的长度相等，如果测量得到 CDB=38 ，求护墙与地面的倾斜角 的度数 . (2)如图 2，第二小组用皮尺量的 EF 为 16 米 (E 为护墙上的端点 )， EF 的中点离地面 FB 的高度为 1.9 米，请你求出 E 点离地面 FB 的高度 . (3)如图 3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点 P 测得旗杆顶端 A 的仰角为 45 ，向前走 4 米到达 Q 点，测得 A 的仰角为 60 ，求旗杆 AE 的高度(精确到 0.1 米 ). 备用数据： tan60=1.732 ， tan30=0.577 ， =1.732， =1.414. 解析 ： (1)根据
21、 =2CDB 即可得出答案； (2)设 EF 的中点为 M，过 M作 MNBF ，垂足为点 N，过点 E 作 EHBF ，垂足为点 H，根据 EH=2MN即可求出 E 点离地面 FB 的高度； (3)延长 AE，交 PB于点 C，设 AE=x，则 AC=x+3.8， CQ=x-0.2，根据 = ，得出 x+3.8x-0.2=3，求出 x 即可 . 答案： (1)BD=BC ， CDB=DCB ， =2CDB=238=76 . (2)设 EF 的中点为 M，过 M 作 MNBF ，垂足为点 N，过点 E 作 EHBF ，垂足为点 H， MNAH ， MN=1.9， EH=2MN=3.8 (米 )
22、， E 点离地面 FB 的高度是 3.8 米 . (3)延长 AE，交 PB 于点 C， 设 AE=x，则 AC=x+3.8， APB=45 ， PC=AC=x+3.8 ， PQ=4 ， CQ=x+3.8 -4=x-0.2， tanAQC= =tan60= ， = ， x= 5.7 ， AE5.7 (米 ). 答；旗杆 AE 的高度是 5.7 米 . 22.(12 分 )如果二次函数的二次项系数为 l，则此二次函数可表示为 y=x2+px+q，我们称 p，q为此函数的特征数，如函数 y=x2+2x+3 的特征数是 2， 3. (1)若一个函数的特征数为 -2， 1，求此函数图象的顶点坐标 .
23、(2)探究下列问题： 若一个函数的特征数为 4， -1，将此函数的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，求得到的图象对应的函数的特征数 . 若一个函数的特征数为 2， 3，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为 3， 4？ 解析 ： (1)根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可； (2) 首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案； 分别求出两函数解析式，进而得出平移规律 . 答案： (1)由题意可得出： y=x2-2x+1=(x-1)2， 此函数图象的顶点坐标为： (1， 0)； (2) 由题意可得出： y=x2+4x-1=(x+2)2-
24、5， 将此函数的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位后得到： y=(x+1)2-4=x2+2x-3， 图象对应的函数的特征数为： 2， -3； 一个函数的特征数为 2， 3， 函数解析式为： y=x2+2x+3=(x+1)2+2， 一个函数的特征数为 3， 4， 函数解析式为： y=x2+3x+4=(x+ )2+ ， 原函数的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到 . 23.(6 分 )(1)如图 1，正方形 ABCD 中，点 E， F 分别在边 BC， CD上， EAF=45 ，延长 CD到点 G，使 DG=BE，连结 EF， AG.求证： EF=FG. (2)如图，等腰
25、直角三角形 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC，点 M， N 在边 BC 上，且 MAN=45 ，若 BM=1， CN=3，求 MN 的长 . 解析 ： (1)证 ADGABE ， FAEGAF ，根据全等三角形的性质求出即可； (2)过点 C作 CEBC ，垂足为点 C，截取 CE，使 CE=BM.连接 AE、 EN.通过证明 ABMACE (SAS)推知全等三角形的对应边 AM=AE、对应角 BAM=CAE ；然后由等腰直角三角形的性质和MAN=45 得到 MAN=EAN=45 ，所以 MANEAN (SAS)，故全等三角形的对应边 MN=EN；最后由勾股定理得到 EN2=EC2+
26、NC2即 MN2=BM2+NC2. 答案： (1)证明：在正方形 ABCD 中， ABE=ADG ， AD=AB， 在 ABE 和 ADG 中， ABEADG (SAS)， BAE=DAG ， AE=AG，EAG=90 ， 在 FAE 和 GAF 中， ， FAEGAF (SAS)， EF=FG (2)如图 2，过点 C 作 CEBC ，垂足为点 C，截取 CE，使 CE=BM.连接 AE、 EN. AB=AC ， BAC=90 ， B=C=45 . CEBC ， ACE=B=45 . 在 ABM 和 ACE 中， ABMACE (SAS).AM=AE ， BAM=CAE . BAC=90 ，
27、 MAN=45 ， BAM+CAN=45 . 于是，由 BAM=CAE ，得 MAN=EAN=45 . 在 MAN 和 EAN 中， MANEAN (SAS).MN=EN . 在 RtENC 中，由勾股定理，得 EN2=EC2+NC2.MN 2=BM2+NC2. BM=1 ， CN=3， MN 2=12+32， MN= 25.(14 分 )如图，在平面直角坐标系中，直线 l 平行 x 轴，交 y 轴于点 A，第一象限内的点B 在 l 上，连结 OB，动点 P 满足 APQ=90 ， PQ 交 x 轴于点 C. (1)当动点 P 与点 B 重合时，若点 B 的坐标是 (2， 1)，求 PA的长
28、. (2)当动点 P 在线段 OB 的延长线上时，若点 A 的纵坐标与点 B的横坐标相等，求 PA： PC 的值 . (3)当动点 P 在直线 OB 上时，点 D 是直线 OB与直线 CA的交点，点 E是直线 CP与 y轴的交点，若 ACE=AEC ， PD=2OD，求 PA： PC 的值 . 解析 ： (1)易得点 P 的坐标是 (2， 1)，即可得到 PA 的长 . (2)易证 AOB=45 ，由角平分线的性质可得 PA=PC，然后通过证明 ANPCMP 即可求出PA： PC 的值 . (3)可分点 P 在线段 OB 的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论 .易证 PA： PC=PN：
29、PM，设 OA=x，只需用含 x 的代数式表示出 PN、 PM 的长，即可求出 PA： PC 的值 . 答案： (1) 点 P 与点 B 重合，点 B 的坐标是 (2， 1)， 点 P的坐标是 (2， 1).PA 的长为2. (2)过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过点 P 作 PNy 轴，垂足为 N，如图 1所示 . 点 A 的纵坐标与点 B 的横坐标相等， OA=AB . OAB=90 ， AOB=ABO=45 . AOC=90 ， POC=45 . PMx 轴， PNy 轴， PM=PN ， ANP=CMP=90 .NPM=90 . APC=90 .APN=90 -APM=CPM .
30、 在 ANP 和 CMP 中， APN=CPM ， PN=PM， ANP=CMP ， ANPCMP .PA=PC .PA ： PC 的值为 1： 1. (3) 若点 P 在线段 OB 的延长线上，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过点 P作 PNy 轴，垂足为 N， PM 与直线 AC 的交点为 F，如图 2 所示 . APN=CPM ， ANP=CMP ， ANPCMP . . ACE=AEC ， AC=AE . APPC ， EP=CP . PMy 轴， AF=CF ， OM=CM.FM= OA. 设 OA=x， PFOA ， PDFODA . PD=2OD ， PF=2OA=2x ， FM= x.PM= x. APC=90 ， AF=CF， AC=2PF=4x . AOC=90 ， OC= x. PNO=NOM=OMP=90 ， 四边形 PMON 是矩形 . PN=OM= x.PA ： PC=PN： PM= x： x= . 若点 P 在线段 OB 的反向延长线上，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过点 P 作 PNy 轴，垂足为 N， PM 与直线 AC 的交点为 F，如图 3 所示 . 同理可得： PM= x， CA=2PF=4x， OC= x. PN=OM= OC= x.PA ： PC=PN： PM= x： x= . 综上所述： PA： PC 的值为 或 .
