1、2014 年浙江省绍兴市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 4分,共 40 分 ) 1.(4 分 )比较 -3, 1, -2 的大小,下列判断正确的是 ( ) A. -3 -2 1 B. -2 -3 1 C. 1 -2 -3 D. 1 -3 -2 解析 :有理数 -3, 1, -2 的中,根据有理数的性质, -3 -2 0 1. 答案: A. 2.(4 分 )计算 (ab)2的结果是 ( ) A. 2ab B. a2b C. a2b2 D. ab2 解析 : 原式 =a2b2. 答案: C. 3.(4 分 )太阳的温度很高,其表面温度大概有 6 000 ,而太阳中心的温度
2、达到了 19 200 000 ,用科学记数法可将 19 200 000 表示为 ( ) A. 1.9210 6 B. 1.9210 7 C. 1.9210 8 D. 1.9210 9 解析 : 将 19200000 用科学记数法表示为: 1.9210 7. 答案: B. 4.(4 分 )由 5 个相同的立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 : 从正面看第一层是三个正方形,第二层是左边一个正方形, 答案: B. 5.(4 分 )一个不透明的袋子中有 2 个白球, 3 个黄球和 1 个红球,这些球除颜色不同外其他完全相同,则从袋子中随机摸出一个球是白球的
3、概率为 ( ) A. B. C. D. 解析 : 一个不透明的袋子中有 2 个白球, 3 个黄球和 1 个红球,这些球除颜色不同外其他完全相同, 从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为: = . 答案: C. 6.(4 分 )不等式 3x+2 -1 的解集是 ( ) A. x - B. x - C. x -1 D. x -1 解析 : 移项得, 3x -1-2,合并同类项得, 3x -3,把 x 的系数化为 1 得, x -1. 答案: C. 7.(4 分 )如图,圆锥的侧面展开图是半径为 3,圆心角为 90 的扇形,则该圆锥的底面周长为 ( ) A. B. C. D. 解析 : 设底面圆的半径
4、为 r,则: 2r= = .r= , 圆锥的底面周长为 , 答案: B. 8.(4 分 )如图 1,天平呈平衡状态,其中左侧秤盘中有一袋玻璃球,右侧秤盘中也有一袋玻璃球,还有 2 个各 20 克的砝码 .现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘,并拿走右侧秤盘的1 个砝码后,天平仍呈平衡状态,如图 2,则被移动的玻璃球的质量为 ( ) A. 10 克 B. 15 克 C. 20 克 D. 25 克 解析 : 设左、右侧秤盘中一袋玻璃球的质量分别为 m 克、 n 克,根据题意得: m=n+40; 设被移动的玻璃球的质量为 x 克, 根据题意得: m-x=n+x+20, x= (m-n-20)= (n+
5、40-n-20)=10. 答案: A. 9.(4 分 )将一张正方形纸片,按如图步骤 , ,沿虚线对折两次,然后沿 中的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是 ( ) A. B. C. D. 解析 : 由题意要求知,展开铺平后的图形是 B. 答案: B. 10.(4 分 )如图,汽车在东西向的公路 l 上行驶,途中 A, B, C, D 四个十字路口都有红绿灯 .AB之间的距离为 800 米, BC 为 1000 米, CD 为 1400米,且 l上各路口的红绿灯设置为:同时亮红灯或同时亮绿灯,每次红 (绿 )灯亮的时间相同,红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同 .若绿灯刚亮时,甲汽车从 A 路口以每
6、小时 30 千米的速度沿 l 向东行驶,同时乙汽车从 D路口以相同的速度沿 l 向西行驶,这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯,则每次绿灯亮的时间可能设置为 ( ) A. 50 秒 B. 45 秒 C. 40 秒 D. 35 秒 解析 : 甲汽车从 A 路口以每小时 30 千米的速度沿 l 向东行驶,同时乙汽车从 D路口以相同的速度沿 l 向西行驶, 两车的速度为: = (m/s), AB 之间的距离为 800 米, BC 为 1000 米, CD 为 1400 米, 分别通过 AB, BC, CD 所用的时间为: =96(s), =120(s), =168(s), 这两辆汽车通过四个路口时
7、都没有遇到红灯, 当每次绿灯亮的时间为 50s 时, =1 , 甲车到达 B 路口时遇到红灯,故 A 选项错误; 当每次绿灯亮的时间为 45s 时, =3 , 乙车到达 C 路口时遇到红灯,故 B 选项错误; 当每次绿灯亮的时间为 40s 时, =5 , 甲车到达 C 路口时遇到红灯,故 C 选项错误; 当每次绿灯亮的时间为 35s 时, =2 , =6 , =10 ,=4 , =8 , 这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯,故 D 选项正确;则每次绿灯亮的时间可能设置为: 35 秒 . 答案: D. 二、填空题 (本大题共 6 个小题,每小题 5分,共 30 分 ) 11.(5 分 )分解
8、因式: a2-a= . 解析 : a2-a=a(a-1). 12.(5 分 )把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其主视图如图 .O 与矩形 ABCD的边 BC, AD 分别相切和相交 (E, F 是交点 ),已知 EF=CD=8,则 O 的半径为 . 解析 : 由题意, O 与 BC 相切,记切点为 G,作直线 OG,分别交 AD、劣弧 于点 H、 I,再连接 OF, 在矩形 ABCD 中, ADBC ,而 IGBC , IGAD , 在 O 中, FH= EF=4, 设求半径为 r,则 OH=8-r,在 RtOFH 中, r2-(8-r)2=42,解得 r=5, 答案: 5. 13.
9、(5 分 )如图的一座拱桥,当水面宽 AB为 12m 时,桥洞顶部离水面 4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为 x 轴,建立平面直角坐标系,若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是 y=- (x-6)2+4,则选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 . 解析 : 由题意可得出: y=a(x+6)2+4, 将 (-12, 0)代入得出, 0=a(-12+6)2+4,解得: a=- , 选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是: y=- (x+6)2+4. 答案: y=- (x+6)2+4. 14.(5 分 )用直尺和圆规作 ABC ,使 BC=a, AC=b, B=35 ,若这样的三角
10、形只能作一个,则 a, b 间满足的关系式是 . 解析 : 如图所示: 若这样的三角形只能作一个,则 a, b 间满足的关系式是: 当 ACBC 时,即 sin35= 当 ba 时 . 答案: sin35= 或 ba . 15.(5 分 )如图,边长为 n 的正方形 OABC 的边 OA, OC 在坐标轴上,点 A1, A2, , An-1为 OA的 n 等分点,点 B1, B2, , Bn-1为 CB的 n 等分点,连结 A1B1, A2B2, , An-1Bn-1,分别交曲线 y= (x 0)于点 C1, C2, , Cn-1.若 C15B15=16C15A15,则 n的值为 .(n 为正
11、整数 ) 解析 : 正方形 OABC 的边长为 n,点 A1, A2A n-1为 OA的 n 等分点,点 B1, B2B n-1为 CB 的n 等分点 OA 15=15, A15B15=15, C 15B15=16C15A15, C 15(15, ), 点 C15在曲线 y= (x 0)上, 15 =n-2,解得 n=17. 答案: 17. 16.(5 分 )把标准纸一次又一次对开,可以得到均相似的 “ 开纸 ” .现在我们在长为 2 、宽为 1 的矩形纸片中,画两个小矩形,使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行,或小矩形的边在原矩形的边上,且每个小矩形均与原矩形纸相似,然后将它们剪下,则
12、所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 . 解析 : 在长为 2 、宽为 1 的矩形纸片中,画两个小矩形,使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行,或小矩形的边在原矩形的边上,且每个小矩形均与原矩形纸相似, 要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大,则这两个小矩形纸片长与宽的和最大 . 矩形的长与宽之比为 2 : 1, 剪得的两个小矩形中,一个矩形的长为 1,宽为 = , 另外一个矩形的长为 2 - = ,宽为 = , 所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 2(1+ + + )=4 + . 答案: 4 + . 三、解答题 (本大题共 8 小题,第 17-20 小题每小题 8 分,第 21
13、 小题 10 分,第 22,23 小题每小题 8 分, 24 小题 14分,共 80 分 ) 17.(8 分 )(1)计算: -4sin45 - + . (2)先化简,再求值: a(a-3b)+(a+b)2-a(a-b),其中 a=1, b=- . 解析 : (1)本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果; (2)根据去括号的法则,可去掉括号,根据合并同类项,可化简代数式,根据代数式求值,可得答案 . 答案: (1)原式 =2-2 -1+2 =1; (2)原式 =a2-3ab+a2+2ab+b2-a2+ab
14、=a2+b2=1+ = . 18.(8 分 )已知甲、乙两地相距 90km, A, B 两人沿同一公路从甲地出发到乙地, A 骑摩托车,B 骑电动车,图中 DE, OC 分别表示 A, B 离开甲地的路程 s(km)与时间 t(h)的函数关系的图象,根据图象解答下列问题 . (1)A 比 B 后出发几个小时? B 的速度是多少? (2)在 B 出发后几小时,两人相遇? 解析 : (1)根据横轴 CO 与 DE 可得出 A 比 B 后出发 1 小时;由点 C 的坐标为 (3, 60)可求出 B的速度; (2)利用待定系数法求出 OC、 DE 的解析式,联立两函数解析式建立方程求解即可 . 答案:
15、 (1)由图可知, A 比 B 后出发 1 小时; B 的速度: 603=20 (km/h); (2)由图可知点 D(1, 0), C(3, 60), E(3, 90), 设 OC 的解析式为 y=kx,则 3k=60,解得 k=20,所以, y=20x, 设 DE 的解析式为 y=mx+n,则 ,解得 ,所以, y=45x-45, 由题意得 ,解得 , 所以 B 出发 小时后两人相遇 . 19.(8 分 )为了解某校七,八年级学生的睡眠情况,随机抽取了该校七,八年级部分学生进行调查,已知抽取七年级与八年级的学生人数相同,利用抽样所得的数据绘制如下统计图表 . 根据图表提供的信息,回答下列问题
16、: (1)求统计图中的 a; (2)抽取的样本中,八年级学生睡眠时间在 C 组的有多少人? (3)已知该校七年级学生有 755 人,八年级学生有 785 人,如果睡眠时间 x(时 )满足:7.5x9.5 ,称睡眠时间合格,试估计该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有多少人? 解析 : (1)根据扇形统计图,确定出 a 的值即可; (2)根据图 1 求出抽取的人数,乘以 C 占的百分比即可得到结果; (3)分别找出七八年级睡眠合格的人数,求出之和即可 . 答案: (1)根据题意得: a=1-(35%+25%+25%+10%)=5%; (2)根据题意得: (6+19+17+10+8)35%=21
17、(人 ), 则抽取的样本中,八年级学生睡眠时间在 C 组的有 21 人; (3)根据题意得: 755 +785 (25%+35%)=453+471=924(人 ), 则该校七、八年级学生中睡眠时间合格的共有 924 人 . 20.(8 分 )课本中有一道作业题: 有一块三角形余料 ABC,它的边 BC=120mm,高 AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在 BC上,其余两个顶点分别在 AB, AC上 .问加工成的正方形零件的边长是多少 mm? 小颖解得此题的答案为 48mm,小颖善于反思,她又提出了如下的问题 . (1)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放
18、置的正方形所组成,如图 1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少 mm?请你计算 . (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图 2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长 . 解析 : (1)设 PN=2ymm,则 PQ=ymm,然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可; (2)设 PN=x,用 PQ 表示出 AE 的长度,然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用 x 表示出 PN,然后根据矩形的面积公式列式计算,再根据二次函数的最值问题解答 . 答案: (1)设矩形的边长 PN=2ymm,则
19、PQ=ymm,由条件可得 APNABC , = ,即 = ,解得 y= , PN= 2= (mm), 答:这个矩形零件的两条边长分别为 mm, mm; (2)设 PN=xmm,由条件可得 APNABC , = ,即 = ,解得 PQ=80- x. S=PN PQ=x(80- x)=- x2+80x=- (x-60)2+2400, S 的最大值为 2400mm2,此时 PN=60mm, PQ=80- 60=40 (mm). 21.(10 分 )九 (1)班同学在上学期的社会实践活动中,对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量 . (1)如图 1,第一小组用一根木条 CD 斜靠在护墙上,使得 DB与
20、CB 的长度相等,如果测量得到 CDB=38 ,求护墙与地面的倾斜角 的度数 . (2)如图 2,第二小组用皮尺量的 EF 为 16 米 (E 为护墙上的端点 ), EF 的中点离地面 FB 的高度为 1.9 米,请你求出 E 点离地面 FB 的高度 . (3)如图 3,第三小组利用第一、第二小组的结果,来测量护墙上旗杆的高度,在点 P 测得旗杆顶端 A 的仰角为 45 ,向前走 4 米到达 Q 点,测得 A 的仰角为 60 ,求旗杆 AE 的高度(精确到 0.1 米 ). 备用数据: tan60=1.732 , tan30=0.577 , =1.732, =1.414. 解析 : (1)根据
21、 =2CDB 即可得出答案; (2)设 EF 的中点为 M,过 M作 MNBF ,垂足为点 N,过点 E 作 EHBF ,垂足为点 H,根据 EH=2MN即可求出 E 点离地面 FB 的高度; (3)延长 AE,交 PB于点 C,设 AE=x,则 AC=x+3.8, CQ=x-0.2,根据 = ,得出 x+3.8x-0.2=3,求出 x 即可 . 答案: (1)BD=BC , CDB=DCB , =2CDB=238=76 . (2)设 EF 的中点为 M,过 M 作 MNBF ,垂足为点 N,过点 E 作 EHBF ,垂足为点 H, MNAH , MN=1.9, EH=2MN=3.8 (米 )
22、, E 点离地面 FB 的高度是 3.8 米 . (3)延长 AE,交 PB 于点 C, 设 AE=x,则 AC=x+3.8, APB=45 , PC=AC=x+3.8 , PQ=4 , CQ=x+3.8 -4=x-0.2, tanAQC= =tan60= , = , x= 5.7 , AE5.7 (米 ). 答;旗杆 AE 的高度是 5.7 米 . 22.(12 分 )如果二次函数的二次项系数为 l,则此二次函数可表示为 y=x2+px+q,我们称 p,q为此函数的特征数,如函数 y=x2+2x+3 的特征数是 2, 3. (1)若一个函数的特征数为 -2, 1,求此函数图象的顶点坐标 .
23、(2)探究下列问题: 若一个函数的特征数为 4, -1,将此函数的图象先向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,求得到的图象对应的函数的特征数 . 若一个函数的特征数为 2, 3,问此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为 3, 4? 解析 : (1)根据题意得出函数解析式,进而得出顶点坐标即可; (2) 首先得出函数解析式,进而利用函数平移规律得出答案; 分别求出两函数解析式,进而得出平移规律 . 答案: (1)由题意可得出: y=x2-2x+1=(x-1)2, 此函数图象的顶点坐标为: (1, 0); (2) 由题意可得出: y=x2+4x-1=(x+2)2-
24、5, 将此函数的图象先向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位后得到: y=(x+1)2-4=x2+2x-3, 图象对应的函数的特征数为: 2, -3; 一个函数的特征数为 2, 3, 函数解析式为: y=x2+2x+3=(x+1)2+2, 一个函数的特征数为 3, 4, 函数解析式为: y=x2+3x+4=(x+ )2+ , 原函数的图象向左平移 个单位,再向下平移 个单位得到 . 23.(6 分 )(1)如图 1,正方形 ABCD 中,点 E, F 分别在边 BC, CD上, EAF=45 ,延长 CD到点 G,使 DG=BE,连结 EF, AG.求证: EF=FG. (2)如图,等腰
25、直角三角形 ABC 中, BAC=90 , AB=AC,点 M, N 在边 BC 上,且 MAN=45 ,若 BM=1, CN=3,求 MN 的长 . 解析 : (1)证 ADGABE , FAEGAF ,根据全等三角形的性质求出即可; (2)过点 C作 CEBC ,垂足为点 C,截取 CE,使 CE=BM.连接 AE、 EN.通过证明 ABMACE (SAS)推知全等三角形的对应边 AM=AE、对应角 BAM=CAE ;然后由等腰直角三角形的性质和MAN=45 得到 MAN=EAN=45 ,所以 MANEAN (SAS),故全等三角形的对应边 MN=EN;最后由勾股定理得到 EN2=EC2+
26、NC2即 MN2=BM2+NC2. 答案: (1)证明:在正方形 ABCD 中, ABE=ADG , AD=AB, 在 ABE 和 ADG 中, ABEADG (SAS), BAE=DAG , AE=AG,EAG=90 , 在 FAE 和 GAF 中, , FAEGAF (SAS), EF=FG (2)如图 2,过点 C 作 CEBC ,垂足为点 C,截取 CE,使 CE=BM.连接 AE、 EN. AB=AC , BAC=90 , B=C=45 . CEBC , ACE=B=45 . 在 ABM 和 ACE 中, ABMACE (SAS).AM=AE , BAM=CAE . BAC=90 ,
27、 MAN=45 , BAM+CAN=45 . 于是,由 BAM=CAE ,得 MAN=EAN=45 . 在 MAN 和 EAN 中, MANEAN (SAS).MN=EN . 在 RtENC 中,由勾股定理,得 EN2=EC2+NC2.MN 2=BM2+NC2. BM=1 , CN=3, MN 2=12+32, MN= 25.(14 分 )如图,在平面直角坐标系中,直线 l 平行 x 轴,交 y 轴于点 A,第一象限内的点B 在 l 上,连结 OB,动点 P 满足 APQ=90 , PQ 交 x 轴于点 C. (1)当动点 P 与点 B 重合时,若点 B 的坐标是 (2, 1),求 PA的长
28、. (2)当动点 P 在线段 OB 的延长线上时,若点 A 的纵坐标与点 B的横坐标相等,求 PA: PC 的值 . (3)当动点 P 在直线 OB 上时,点 D 是直线 OB与直线 CA的交点,点 E是直线 CP与 y轴的交点,若 ACE=AEC , PD=2OD,求 PA: PC 的值 . 解析 : (1)易得点 P 的坐标是 (2, 1),即可得到 PA 的长 . (2)易证 AOB=45 ,由角平分线的性质可得 PA=PC,然后通过证明 ANPCMP 即可求出PA: PC 的值 . (3)可分点 P 在线段 OB 的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论 .易证 PA: PC=PN:
29、PM,设 OA=x,只需用含 x 的代数式表示出 PN、 PM 的长,即可求出 PA: PC 的值 . 答案: (1) 点 P 与点 B 重合,点 B 的坐标是 (2, 1), 点 P的坐标是 (2, 1).PA 的长为2. (2)过点 P 作 PMx 轴,垂足为 M,过点 P 作 PNy 轴,垂足为 N,如图 1所示 . 点 A 的纵坐标与点 B 的横坐标相等, OA=AB . OAB=90 , AOB=ABO=45 . AOC=90 , POC=45 . PMx 轴, PNy 轴, PM=PN , ANP=CMP=90 .NPM=90 . APC=90 .APN=90 -APM=CPM .
30、 在 ANP 和 CMP 中, APN=CPM , PN=PM, ANP=CMP , ANPCMP .PA=PC .PA : PC 的值为 1: 1. (3) 若点 P 在线段 OB 的延长线上,过点 P 作 PMx 轴,垂足为 M,过点 P作 PNy 轴,垂足为 N, PM 与直线 AC 的交点为 F,如图 2 所示 . APN=CPM , ANP=CMP , ANPCMP . . ACE=AEC , AC=AE . APPC , EP=CP . PMy 轴, AF=CF , OM=CM.FM= OA. 设 OA=x, PFOA , PDFODA . PD=2OD , PF=2OA=2x , FM= x.PM= x. APC=90 , AF=CF, AC=2PF=4x . AOC=90 , OC= x. PNO=NOM=OMP=90 , 四边形 PMON 是矩形 . PN=OM= x.PA : PC=PN: PM= x: x= . 若点 P 在线段 OB 的反向延长线上,过点 P 作 PMx 轴,垂足为 M,过点 P 作 PNy 轴,垂足为 N, PM 与直线 AC 的交点为 F,如图 3 所示 . 同理可得: PM= x, CA=2PF=4x, OC= x. PN=OM= OC= x.PA : PC=PN: PM= x: x= . 综上所述: PA: PC 的值为 或 .