1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 6及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2003年)设 a n ，则极限 （分数：2.00）A.1B.1C.1D.13.(2003年)设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 1 4.(2004年)把 0 + 时的无穷小量 0 cost 2 dt， ， （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，5.(2004年) （分数：2.00）A. 0 1
2、 ln 2 dB.2 1 2 lndC.2 1 2 ln(1)dD. 1 2 ln 2 (1)d6.(2005年)设 F()是连续函数 f()的一个原函数，“M （分数：2.00）A.F()是偶函数B.F()是奇函数C.F()是周期函数D.F()是单调函数二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.(1999年)函数 y 在区间 （分数：2.00）填空项 1:_8.(2000年) （分数：2.00）填空项 1:_9.(2001年) （分数：2.00）填空项 1:_10.(2002年)位于曲线 ye (0)下方， 轴上方的无界图形的面积是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.(2002年)
3、 （分数：2.00）填空项 1:_12.(2003年)设曲线的极坐标方程为 e (a0)，则该曲线上相应于 从 0变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.(2004年) （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.(1997年)已知函数 f()连续，且 （分数：2.00）_16.(1998年)确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_17.(1998年)计算积分 （分数：2.00）_18.(1998年)设 yf()是区间0，1上任一
4、非负连续函数 (1)试证存在 0 (0，1)，使得在区间在区间0， 0 上以 f( 0 )为高的矩形的面积等于在区间 0 ，1上以 yf()为曲面的曲边梯形的面积 (2)又设 f()在(0，1)上可导，且 f() （分数：2.00）_19.(1998年)设有曲线 y （分数：2.00）_20.(1999年)计算 （分数：2.00）_21.(1999年)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms在提升过程中，污泥以 20Ns的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井
5、口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：1 N1m1J；m，N，s，J 分别表示米、牛顿、秒、焦耳抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)（分数：2.00）_22.(1999年)设函数 y()(0)二阶可导，且 y()0，y(0)1过曲线 yy()上任意一点P(，y)作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，上以 yf()为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 yy()的方程（分数：2.00）_23.(1999年)设 f()是区间0，)上单调减少且非负的连续函数，a 1 （分数：2.00）_24.(200
6、0年)设 f(ln) （分数：2.00）_25.(2000年)设 Oy 平面上有正方形 D(，y)01，0y1及直线 l：yt(t0)若S(t)表示正方形 D位于直线 l左下部分的面积，试求 0 S(t)dt(0)（分数：2.00）_26.(2000年)设函数 S() 0 costdt (1)当 n为正整数，且 n(n1) 时，证明2nS()2(n1) (2)求 （分数：2.00）_27.(2000年)设函数 f()在0，上连续，且 0 f()d0， 0 f()cosd0试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )f( 2 )0（分数：2.00）_28.(2000年
7、)设曲线 ya 2 (a0，0)与 y1 2 交于点 A，过坐标原点 O和点 A的直线与曲线 ya 2 围成一平面图形问 a为何值时，该图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?（分数：2.00）_29.(2000年)函数 f()在0，上可导，f(0)1，且满足等式 f()f() （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 6答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2003年)设 a n ，则极限 （分数：2.00
8、）A.1B.1 C.1D.1解析：解析：3.(2003年)设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 1 解析：解析：由于当 0 时，tan，则 由 ，知 I 2 I 1 ，所以 C、D 都不正确由 1 知 I 2 4.(2004年)把 0 + 时的无穷小量 0 cost 2 dt， ， （分数：2.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析：由于 则当 0 + 时， 是 的高阶无穷小，又 5.(2004年) （分数：2.00）A. 0 1 ln 2 dB.2 1 2 lnd C.2 1 2 ln(1)dD. 1 2 ln 2 (1
9、)d解析：解析：6.(2005年)设 F()是连续函数 f()的一个原函数，“M （分数：2.00）A.F()是偶函数 B.F()是奇函数C.F()是周期函数D.F()是单调函数解析：解析：若 F()是连续函数 f()的原函数，且 F()是偶函数，则 F()F()，式两端对 )求导得 F()F() 即f()f() 故 f()为奇函数 反之，若 f()为奇函数，则 G() 0 f(t)dt是 f()的一个原函数，又 G() 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.(1999年)函数 y 在区间 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.(2000年) （分
10、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 t，则 原式：9.(2001年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 3 cos 2 为奇函数，sin 2 cos 2 为偶函数，则 10.(2002年)位于曲线 ye (0)下方， 轴上方的无界图形的面积是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：所求面积为11.(2002年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由定积分定义可知12.(2003年)设曲线的极坐标方程为 e (a0)，则该曲线上相应于 从 0变
11、到 2 的一段弧与极轴所围成的图形面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：所求面积为13.(2004年) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 sect，则三、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.(1997年)已知函数 f()连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 f(0)0，(0)0，令 tu，得 )解析：16.(1998年)确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于
12、0 时，asin0 且 故 b0再用洛必达法则 若 a1，则上式为，与原题设不符故 a1 又 则 c 故 a1，b0，c )解析：17.(1998年)计算积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.(1998年)设 yf()是区间0，1上任一非负连续函数 (1)试证存在 0 (0，1)，使得在区间在区间0， 0 上以 f( 0 )为高的矩形的面积等于在区间 0 ，1上以 yf()为曲面的曲边梯形的面积 (2)又设 f()在(0，1)上可导，且 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 () 1 f(t)dt，则 ()在0，1上满足罗尔定理的条件，则存在 0 (0
13、，1)，使 ( 0 )0，即 0 f( 0 ) )解析：19.(1998年)设有曲线 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点的横坐标为 0 ，则曲线 y 在点( 0 ， )处的切线方程为 将 0，y0 代入上式得2( 0 1) 0 ，解得 0 2 于是切线方程为 y1 (2)，即 y 由曲线段 y (12)绕 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为- S 1 由直线段 y (02)绕 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 S 2 因此，所求旋转体的表面积为 SS 1 S 2 )解析：20.(1999年)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.(1999年)为清除井底
14、的污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥后提出井口，已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms在提升过程中，污泥以 20Ns的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：1 N1m1J；m，N，s，J 分别表示米、牛顿、秒、焦耳抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作 轴如图 218，将抓起污泥的抓斗提升到井口需作功 1 2 3 其中 1 是克服抓斗自重作的功； 2 是克服缆绳所作的功； 3 是提升污泥所作的功由题设可知 1 40030120
15、00 d 2 50(30)d 从而 2 0 30 50(30)d22500 在时间间隔t，tdt内提升污泥所作的功为 d 3 3(200020t)dt 将污泥从井底提升到井口共需时间 )解析：22.(1999年)设函数 y()(0)二阶可导，且 y()0，y(0)1过曲线 yy()上任意一点P(，y)作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，上以 yf()为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 yy()的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 yy()上点 P(，y)处切线方程为 yyy()(X)
16、 它与 轴的交点为( ，0)，由于 y()0，y(0)1，从而 y()0，于是 又 S 0 y(t)dt 由条件 2S 1 S 2 1 知 两边对 求导并化简得 yy(y) 2 令 yP，则上述方程化为 解得 PC 1 y )解析：23.(1999年)设 f()是区间0，)上单调减少且非负的连续函数，a 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设可知 )解析：24.(2000年)设 f(ln) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 lnt，则 e，f(t) )解析：25.(2000年)设 Oy 平面上有正方形 D(，y)01，0y1及直线 l：yt(t0)若S(t)表示正方形
17、 D位于直线 l左下部分的面积，试求 0 S(t)dt(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.(2000年)设函数 S() 0 costdt (1)当 n为正整数，且 n(n1) 时，证明2nS()2(n1) (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)由于cos0，且 n(n1)，所以 0 n cosdS() 0 (n+1) cosd 又因为cos是以 为周期的周期函数，在每个周期上积分值相等，所以 0 n cosdn 0 cosd2n 0 (n+1) cosd2(n1) 因此，当 n(n1) 时，有 2nS()2(n1) 2)由 1)知，当n(n1) 时
18、，有 令 ，由夹逼原理知 )解析：27.(2000年)设函数 f()在0，上连续，且 0 f()d0， 0 f()cosd0试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )f( 2 )0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F() 0 f(t)dt 0 则 F(0)0，F()0，又因为 )解析：28.(2000年)设曲线 ya 2 (a0，0)与 y1 2 交于点 A，过坐标原点 O和点 A的直线与曲线 ya 2 围成一平面图形问 a为何值时，该图形绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0 时，由 解得 ，故直线 OA的方程为 令 0，并由a0 得唯一驻点 a4 由题意知 a4 时，旋转体体积最大，最大体积为 V )解析：29.(2000年)函数 f()在0，上可导，f(0)1，且满足等式 f()f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题设知 (1)f()(1)f() 0 f(t)dt0 上式两边对 求导，得(1)f()(2)f() 设 uf()则有 解得 f()u 由f(0)1，及 f(0)f(0)0，知 f(0)1，从而 C1 因此 f() )解析：
