1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 5及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 m，n 是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m值有关B.仅与 n值有关C.与 m，n 值都有关D.与 m，n 值都无关3.设函数 （分数：2.00）A.2B.2C.20D.024.如图 1312，连续函数 y(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2上的图形分别是直径为 2的下、上半圆周设 F(x) 0 x
2、f(t)dt出，则下列结论正确的是 （分数：2.00）A.F(3)B.F(3)C.F(3)D.F(3)5.如图 1313，曲线段的方程为 yf(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0 a xf“(x)dx等于 （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD的面积B.梯形 ABOD的面积C.曲边三角形 ACD的面积D.三角形 ACD的面积6.设函数 yf(x)在区间1，3上的图形如图 1314所示： 则函数 F(x) 0 x f(t)dt的图形为 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_8. 1。 （
3、分数：2.00）填空项 1:_9. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_10.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_12.当 0 时，对数螺线 re 的弧长为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设封闭曲线 L的极坐标方程为 rCOS3 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.计算 （分数：2.00）_16.计算 （分数：2.00）_17.已知 （分数：2.00）_18.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)
4、内大于零，并满足 （分数：2.00）_19.曲线 yx 3 x 2 2x 与 x轴所围成的图形的面积 A_（分数：2.00）_20.设有曲线 （分数：2.00）_21.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图 134)已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2 000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需做多少焦耳的功?(说明：lN1m1J；m，N，s，J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) （分数：2.00）_22.设
5、曲线 yax 2 (a0，x0)与 y1x 2 交于点 A，过坐标原点 O和点 A的直线与曲线 yax 2 围成一平面图形，问 a为何值时，该图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?（分数：2.00）_23.位于曲线 yxe x (0x)下方、x 轴上方的无界图形的面积是_（分数：2.00）_24.某闸门的形状与大小如图 137所示，其中直线 l为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高应为多少米? （分数：2.00）_25.设曲线的极坐标
6、方程为 e a (a0)，则该曲线上相应于 从 0变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_（分数：2.00）_26.曲线 与直线 x0，xt(t0)及 y0 围成一曲边梯形，该曲边梯形绕 x轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 xt 处的底面积为 F(t)(1)求 的值；(2)计算极限 （分数：2.00）_27.如图 1310，C 1 和 C 2 分别是 （分数：2.00）_28.在 xOy坐标平面上，连续曲线，过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP的斜牢之差等于 ax，(常数 a0)(1)求 l的方程；(2)当 l与直线
7、 yax 所围成平面图形的而积为（分数：2.00）_29.设 D是位于曲线 （分数：2.00）_30.设 f(x)是区间0，)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)1对任意的 t0，)，直线 x0，xt，曲线 yf(x)以及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数 f(x)的表达式（分数：2.00）_31.设非负函数 yy(x)(x0)满足微分方程 xy“y“20当曲线 yy(x)过原点时，其与直线 x1及 y0 围成的平面区域 D的面积为 2，求 D绕 y轴旋转所得旋转体的体积（分数：2.00）_32.一个高为 l的柱体形贮
8、油罐，底面是长轴为 2n，短轴为 2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 （分数：2.00）_33.如图 1317，一容器的内侧是由图中曲线绕 y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x 2 y 2 2y 与 x 2 y 2 1 连接而成的 (1)求容器的体积； (2)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为 gms 2 ，水的密度为 10 3 kgm 3 ) （分数：2.00）_34.过点(0，1)作曲线 L：ylnx 的切线，切点为 A，又 L与 x轴交于 B点，区域 D由 L与直线 AB围成，求区域 D的面积及 D绕 x轴旋转一周所得旋转体的
9、体积（分数：2.00）_35.设 D是由曲线 （分数：2.00）_36.设曲线 L的方程为 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 5答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 m，n 是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m值有关B.仅与 n值有关C.与 m，n 值都有关D.与 m，n 值都无关 解析：解析：分析x0、1 为瑕点，插入分点 ，利用比较判别法判断两个无界函数反常积分的敛散性 详解 。 对 I 1 ，
10、因为 ，且对任意正整数 m，n，有 ，由比较判别法的极限形式知，无论正整数 m，n 取何值，反常积分 I 1 是收敛的 对 I 2 ， 3.设函数 （分数：2.00）A.2B.2C.20D.02 解析：解析：分析 此题考查定积分的基本性质和换元积分 详解 4.如图 1312，连续函数 y(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周，在区间2，0，0，2上的图形分别是直径为 2的下、上半圆周设 F(x) 0 x f(t)dt出，则下列结论正确的是 （分数：2.00）A.F(3)B.F(3)C.F(3) D.F(3)解析：解析：分析 本题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在
11、不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系 详解 根据定积分的几何意义，F(2)和 F(2)相等： ，F(2) 0 2 f(x)dx 0 2 f(x)dx；F(3)F(3)，F(3)是两个半圆面积之差，F(3) ，同样，F(3) 0 3 f(x)dx 3 0 f(x)dx 5.如图 1313，曲线段的方程为 yf(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0 a xf“(x)dx等于 （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD的面积B.梯形 ABOD的面积C.曲边三角形 ACD的面积 D.三角形 ACD的面积解析：解析：因为 0 a xf“(X)dx 0 a xdf(x)
12、xf(x) 0 a 0 a f(x)dxaf(a) 0 a f(x)dx，其中 af(a)是矩形 ABOC的面积， 0 a f(x)dx为曲边梯形 ABOD的面积，所以 0 a xf“(x)dx为曲边三角形 ACD的面积6.设函数 yf(x)在区间1，3上的图形如图 1314所示： 则函数 F(x) 0 x f(t)dt的图形为 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：分析 此题考查定积分的应用知识 详解 由 yf(x)的图形可见，其图象与 x轴及 y轴、xx 0 所围成的图形的代数面积为 F(x 0 )，从而有 x1，0时，F(x)0 为线性函数且单调递增 x0，1时，F(x)0 且
13、单调递减 x1，2时，F(x)单调递曾 x2，3时，F(x)为常函数 F(x)是连续函数 可见正确选项为(D) 评注 此题较新颖，给出函数 f(x)的图形，讨论变限积分函数 F(x)的图形二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 本题既是无界函数的反常积分，又是无穷限的反常积分考虑到被积函数含有一次根式，可直接作变量代换 ，即可转化为只是无穷限的反常积分了 详解 令 ，则 xt 2 2，dx2tdt，当 x2 时，t0，当 x时，t，于是 8. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
14、答案：应填*）解析：解析：分析 利用变量代换法和牛顿一莱布尼兹公式可得所求的反常积分值 详解 1 令xsect，则 dxsecttantdt，且当 x1 时，t0，当 x时， ， 所以 。 详解 2 令，且当 x1 时，tl，当 t时，t0，所以9. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 作三角代换求积分即可 详解 1 令 xsint，则 dxcostdt，当 x0 时，t0，当 x1 时， ，因此 详解 2 令 ，当 x0 时，u1，当 x1 时，u0，因此10.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*。）解析
15、：解析：分析 利用凑微分法和牛顿一莱布尼兹公式即可得所求的反常积分值 详解11.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析利用分部积分法计算无穷积分的值 详解 。 故应填12.当 0 时，对数螺线 re 的弧长为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 直接用极坐标下的弧长计算公式 详解 由弧长公式 故应填13.设封闭曲线 L的极坐标方程为 rCOS3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 由极坐标下平面图形的面积公式直接计算即得 详解所求面积三、解答题(总题数
16、：23，分数：46.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 详解 2 作变换 arctanxt，则 )解析：解析：分析 本题为反常积分问题，被积函数是两个不同类型的函数的乘积，应考虑用分部积分法：其一是16.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 是反常积分作三角代换 xsint，则 )解析：17.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应填2)解析：解析： ， 因为反常积分收敛，所以 k0， 故18.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零
17、，并满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，当 x0 时， ，求积分得 ，又 f(x)在点 x0 连续，所以。 于是， ， 得 C4a 因此旋转体的体积 令 ，得 a5 又 )解析：解析：分析 先由微分方程19.曲线 yx 3 x 2 2x 与 x轴所围成的图形的面积 A_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应填 )解析：解析：分析 先求出曲线与 x轴的交点，将面积分为两块来求 详解 yx 3 x 2 2x与 x轴的交点为 x 1 1，x 2 0，x 3 2 20.设有曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 133，设切点的横坐标为 x 0 ，则切点为 ，曲
18、线 在此点处的切线斜率为 ，于是，切线方程为 。 又因它经过原点，以点(0，0)代入切线方程得 ，解得 x 0 2 因此切线方程为 切点为(2，1)，由曲线段 绕 x轴旋转一周所得的旋转面的 面积为 由直线段 (0x2)绕 x轴旋转一周所得的旋转面的面积为 因此所求旋转体的表面积为 )解析：解析：分析 首先求出曲线21.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(见图 134)已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2 000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需
19、做多少焦耳的功?(说明：lN1m1J；m，N，s，J 分别表示米，牛顿，秒，焦耳抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 建立坐标轴如图 135所示，将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功 WW 1 W 2 W 3 ， 其中 W 1 是克服抓斗自重所做的功；W 2 是克服缆绳重力所做的功；W 3 是为提出污泥所做的功由题意知 W 1 4003012 000 将抓斗由 x处提升到 xdx 处，克服缆绳重力所做的功为 dW 2 50(30x)dx， 从而 W 2 0 30 50(30x)dx22 500 在时间间隔t，tdt内提升污泥需做功为 dW
20、 3 3(2 00020t)dt， 将污泥从井底提升至井口共需时间 ，所以 W 3 0 10 3(2 00020t)df57 000 因此，共需做功 W12 00022 50057 00091 500(J) 详解 2 如图所示，在时间段t，tt内所做功为 WdW400(2 00020t)50(303f).3dt 30(39017f)df， 已知井深 30m，抓斗的提升速度为 3ms，抓起污泥的抓斗提升至井口所需的时间为10s，因此克服重力需做功 W 0 10 30(39017t)dt 30390101517t 2 0 10 91 500(J) )解析：解析：分析 抓斗将污泥从井底提升至井口克服
21、重力做功，包括克服抓斗自身、缆绳和抓斗中的污泥这三方面重力所做的功而在缆绳上升的过程中，其自身的重量及抓斗中污泥的重量随绳长的变化而变化，因此，需要用微元法，通过定积分计算其功 评注 如果将 dW 1 ，dW 2 ，dW 3 写在一个式子里，则在做积分时，应统一到一个变量 x或 t，并注意变量转换关系式 x33t22.设曲线 yax 2 (a0，x0)与 y1x 2 交于点 A，过坐标原点 O和点 A的直线与曲线 yax 2 围成一平面图形，问 a为何值时，该图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，由 ，故直线 OA的方
22、程为 ，于是旋转体的体积为 从而有 令 ，并由 a0 得唯一驻点 a4 由题意知，此旋转体体积在 a4 时取最大值，其最大体积为 )解析：解析：本题是高等数学在几何上的综合应用问题(如图 136)应先求出交点 A的坐标，再导出旋转体的体积，它是参数 a的函数，求此函数的最值即可23.位于曲线 yxe x (0x)下方、x 轴上方的无界图形的面积是_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应填 1)解析：解析：分析 由定积分的几何意义知，可用广义积分 0 y(z)dx计算 详解 所求无界图形的面积为 24.某闸门的形状与大小如图 137所示，其中直线 l为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下
23、部由二次抛物线与线段 AB所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5：4，闸门矩形部分的高应为多少米? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 设 为水的密度，g 为重力加速度如图 138建立坐标系，则抛物线的方程为 yx 2 闸门的矩形部分承受的水压力 闸门的下部承受的水压力 由题设知 ， 解得 h2， (舍去) 故闸门的矩形部分高 h应为 2米 详解 2 如图 139建立坐标系，则抛物线的方程为 xh1y 2 闸门的矩形部分承受的水压力 。 闸门的下部承受的水压力 ， 令 ，得 由 ， 解得 h2， (舍去)。 故闸门的矩形部分
24、高 h应为 2米 )解析：解析：分析 先利用定积分求出两部分所受的水压力的表达式，再根据二者的关系确定 h 评注 本题是定积分的应用题型之一，关键是建立适当的坐标系，用微元法找出水压力的表达式25.设曲线的极坐标方程为 e a (a0)，则该曲线上相应于 从 0变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应填 )解析：解析：分析 利用极坐标下的面积计算公式 即可也可化为参数方程求解 详解 1 所求面积为 详解 2 曲线的参数方程为 02 于是所求面积为 评注 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，极坐标下的面积微元为 dS26.曲线 与直线 x0，xt
25、(t0)及 y0 围成一曲边梯形，该曲边梯形绕 x轴旋转一周得一旋转体，其体积为 V(t)，侧面积为 S(t)，在 xt 处的底面积为 F(t)(1)求 的值；(2)计算极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题意得 于是 。 (2)因 F(t)y 2 (f) ，所以， )解析：解析：分析 用定积分表示旋转体的体积和侧面积，二者都是 t的函数，然后进行相应计算 评注 在 t固定时，此题属于利用定积分表示旋转体的体积祠 1侧面积的题型，考点是定积分几何应用的公式和洛必塔法则求与变限积分有关的极限问题。27.如图 1310，C 1 和 C 2 分别是 （分数：2.00）_正确答案：
26、(正确答案：有 由题设，得 ， 而 ye x ，于是 ， 两边对 y求导得 故所求的函数关系为 。 )解析：解析：分析 利用定积分的几何意义可确定面积 S 1 (x)，S 2 (y)，再根据 S 1 (x)S 2 (y)建立积分等式，然后求导引出微分方程，最终可得所需函数关系 评注 本题应注意点 M(x，y)在曲线 C 2 上，因此满足 ye x 28.在 xOy坐标平面上，连续曲线，过点 M(1，0)，其上任意点 P(x，y)(x0)处的切线斜率与直线 OP的斜牢之差等于 ax，(常数 a0)(1)求 l的方程；(2)当 l与直线 yax 所围成平面图形的而积为（分数：2.00）_正确答案：
27、(正确答案：(1)设曲线，的方程为 yf(x)，则由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中 ，Q(x)ax， 代入通解公式得 又 f(1)0aC，所以 Ca 故曲线 l的方程为yax 2 ax (2)曲线 l与直线 yax(a0)所同成的平面图形如图 1311所示 所以 )解析：解析：分析(1)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(2)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数 评注 本题涉及了导数和定积分的几何意义以及一阶线性微分方程的求解，属基本题型29.设 D是位于曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2) )解析：解析：分析V(a)可通过广义积分进行计算，再按通常方
28、法求 V(a)的最值即可30.设 f(x)是区间0，)上具有连续导数的单调增加函数，且 f(0)1对任意的 t0，)，直线 x0，xt，曲线 yf(x)以及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周生成一旋转体若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2倍，求函数 f(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：旋转体的体积 V 0 t f 2 (x)dx，侧面积 ，由题设条件知 。 上式两端对 t求导得 ， 即 。 由分离变量法解得 ， 即 ， 将 y(0)1 代入知C1故 。 于是所求函数为 )解析：31.设非负函数 yy(x)(x0)满足微分方程 xy“y“20当曲线 yy(x)过
29、原点时，其与直线 x1及 y0 围成的平面区域 D的面积为 2，求 D绕 y轴旋转所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：解微分方程 xy“y“20， 得其通解 yC 1 2xC 2 x 2 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数， 因为 yy(x)通过原点时与直线 x1 及 y0 围成平面的面积为 2，于是，可得 C 1 0 及 从而 C 2 3 所求非负函数为 y2x3x(T0)， 在第一象限曲线 yf(x)表示为 D绕y 轴旋转所得旋转体的体积为 V5V 1 ，其中 所以， )解析：解析：解微分方程 xy“y“20 并利用面积为 2，求出曲线 yy(x)的方程，进而求得旋
30、转体的体积32.一个高为 l的柱体形贮油罐，底面是长轴为 2n，短轴为 2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：建立如图 1316所示的直角坐标系则油罐底面椭圆方程为 油的质量 MV，其中油的体积 VS 底 .l 又 故 )解析：解析：分析 先求油的体积，实际只需求椭圆的部分面积 评注 此题若不能记住公式33.如图 1317，一容器的内侧是由图中曲线绕 y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由 x 2 y 2 2y 与 x 2 y 2 1 连接而成的 (1)求容器的体积； (2)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重
31、力加速度为 gms 2 ，水的密度为 10 3 kgm 3 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)旋转体分为体积相等的两部分，于是 容器的体积为 或者 (2)利用微元法所做功的计算也分为两部分： )解析：解析：利用旋转体的体积公式计算容器的体积，利用微元法求所做的功34.过点(0，1)作曲线 L：ylnx 的切线，切点为 A，又 L与 x轴交于 B点，区域 D由 L与直线 AB围成，求区域 D的面积及 D绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)如 1318，设切点 A的坐标为 (x 0 ，y 0 )，则曲线 ylnx 在 A点处的切线方程为
32、： 由该切线过点(0，1)知 lnx 0 11，从而 x 0 e 2 ，y 0 2故平面图形 D的面积为： (2)直线 AB： (x1)与 x轴及直线 xe 2 所围成的三角形绕 x轴旋转一周所得圆锥体的体积为 因此，D 绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积为： )解析：35.设 D是由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件有 ， 因 V y 10V x ，即 )解析：解析：分析本题考查定积分的应用，直接利用旋转体的体积公式计算 评注V y 也可如下汁算： 36.设曲线 L的方程为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 ，故 L的弧长 。 (2)D 的形心的横坐标 ，而且 故)解析：解析：分析本题考查定积分的几何应用，均可直接利用公式计算
