1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设在闭区间a，b上 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0记 S 1 a b (x)dx，S 2 f(b)(ba)，S 3 （分数：2.00）A.S 1 S 2 S3B.S 2 S 3 S 1 C.S 3 S 1 S 2 D.S 2 S 1 S 3 3.设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 IB.II 1 I 2 C.I 2 I 1 ID.II 2 I 1 4.设
2、 （分数：2.00）A.IJKB.IKJC.JIKD.KJI5.设 I k 0 k e x2 sinxdx(k1，2，3)，则有（分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 3 I 2 I 1 C.I 2 I 3 I 1 D.I 2 I 1 I 3 6.设 ，则极限 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 F(x) x 2x e sint sintdt，则 F(x)（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数8.设 （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价的无穷小D.等价无穷小9.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是（分数：2.
3、00）A. 0 x f(t 2 )dtB. 0 x f 2 (t)dtC. 0 x tf(t)f(t)dtD. 0 x tf(t)f(t)dt10.设函数 （分数：2.00）A.x 是函数 F(x)的跳跃间断点B.x 是函数 F(x)的可去间断点C.F(x)在 x 处连续但不可导D.F(x)在 x 处可导二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_14. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_15.函数 （分数：2.00）填空项 1:_16.904*(x 3
4、sin 2 x)cos 2 xdx 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_18. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.计算e 2x (tanx1) 2 dx（分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.计算不定积分 （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.计算不定积分 （分数：2.00）_26.如图 132，曲线 C的方程为 yf(x)，点(3，2)是它的一个拐
5、点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 0 3 (x 2 x)f“(x)dx （分数：2.00）_27.设函数 f(x)连续，(x) 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_28.设 xOy平面上有正方形 D(x，y)0x1，0y1)及直线 l： xyt(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l左下方部分的面积，试求 0 x S(t)dt(x0)。（分数：2.00）_29.设函数 f(x)在0，)上可导，f(0)0，且其反函数为 g(x)若 0 f(x) g(t)dtx 2 e
6、x ，求f(x)（分数：2.00）_30.设 （分数：2.00）_31.设函数 yy(x)由参数方程 (t1)所确定，求 （分数：2.00）_32.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：2.00）_33.设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足 （分数：2.00）_34.设函数 S(x) 0 x costdt， (1)当 n为正整数，且 nx(n1) 时，证明：2nS(x)2(n1)； (2)求 （分数：2.00）_35.设函数 f(x)在0，上连续，且f(x)dx0，f(x)cosxdx0，试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )f( 0
7、 )0（分数：2.00）_36.函数 f(x)在0，)上可导，f(0)1，且满足等式 （分数：2.00）_37.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 f“(x)0若极限 存在，证明： (1)在(a，b)内 f(x)0； (2)在(a，b)内存在点 ，使 ； (3)在(a，b)内存在与(2)中 相异的点 ，使 f“()(b 2 a 2 ) （分数：2.00）_38.(1)比较 0 1 ln tln(1t) n dt与 0 1 t 2 ln tdt(n1，2，)的大小，说明理由；(2)记 u n 0 1 ln tln(1t) n dt(n1，2，)，求极限 （分数：2
8、.00）_39.计算积分 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 1答案解析(总分：78.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设在闭区间a，b上 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0记 S 1 a b (x)dx，S 2 f(b)(ba)，S 3 （分数：2.00）A.S 1 S 2 S3B.S 2 S 3 S 1 C.S 3 S 1 S 2 D.S 2 S 1 S 3 解析：解析：分析 根据 f(x)及其导函数的符号，可知曲线的单凋性与凹
9、凸性，再利用其几何意义即可推导出相关的不等式 详解 由 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0 知，曲线 yf(x)在a，6上单调减少且是凹曲线弧，于是有 f(x)f(b)， f(x)f(a) ，axb。 从而 S 1 a f(x)dxf(b)(ba)S 2 ， s 1 a f(x)dx 。 即 S 2 S 1 S 3 ，故应选(D) 评注 本题也可直接根据几何直观引出结论：S 1 ，S 2 ，S 3 分别为如图 131所示的面积，显然有 S 2 S 1 S 3 。 3.设 （分数：2.00）A.I 1 I 2 IB.II 1 I 2 C.I 2 I 1 ID.II 2 I 1 解析：解析：分
10、析 直接计算 I 1 ，I 2 是困难的，可应用不等式 tanx，x0 详解 因为当x0 时，有 tanxx 于是 ，从而有 ， 可见有 I 1 I 2 且 4.设 （分数：2.00）A.IJKB.IKJ C.JIKD.KJI解析：解析：分析用定积分比较大小的性质 详解在 上，sinxcosxcotx且 lnx是增函数，则在 上，lnsinxlncosxlncotx，且它们不恒等由定积分的保号性5.设 I k 0 k e x2 sinxdx(k1，2，3)，则有（分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 B.I 3 I 2 I 1 C.I 2 I 3 I 1 D.I 2 I 1 I 3 解析
11、：解析：分析 此题考查定积分的基本性质和换元积分 详解 由 I k 0 k e x2 sinxdx有：I 2 I 1 2 e x2 sinxdx0， 即 I 2 I 1 ； I 3 I 2 3 e x2 sinxdx0， 即 I 3 I 2 ； I 3 I 1 3 e x2 sinxdx 2 e x2 sinxdx 2 3 e x2 sinxdx 2 e x2 sinxdx 2 e x2 sin(y)d(y) 2 e x2 sinxdx 2 e x2 sinydy 2 (e 2x2 )e x2 sinxdx0， 即 I 1 I 3 由上知，I 2 I 1 I 3 故应选(D)6.设 ，则极限
12、（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：分析 先用换元法计算积分，再求极限 详解 因为 ， 可见7.设 F(x) x 2x e sint sintdt，则 F(x)（分数：2.00）A.为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：分析 被积函数以 2 为周期，利用周期函数的积分性质进行计算 详解 由于 e sint sint是以 2 为周期的，因此 F(x) x 2x e sint sintdt 0 2x e sint sintdt 0 2 e sint dcost0 0 2 e sint cos 2 te sint dt0。 故应选(A) 评注 四个选项均与 F(x)是否
13、为常数有关，可考虑对 F(x)求导，看其导数是否为零： F(x) ( x 2x e sint sintdt)e sin(x2) sin(x2)e sinx sinx0， 于是 F(x)C，从而有 F(x)F(0) 0 2 e sint sintdt 0 e sint sintdt 0 2 e sint sintdt， 而 8.设 （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价的无穷小 D.等价无穷小解析：解析：分析 本题相当于求极限 ，再根据此极限值进行判断即可 详解 因为9.设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是（分数：2.00）A. 0 x f(t 2 )dtB
14、. 0 x f 2 (t)dtC. 0 x tf(t)f(t)dtD. 0 x tf(t)f(t)dt 解析：解析：分析 利用奇偶函数的定义和定积分的性质即得 详解 设 F(x) 0 x tf(f)f(t)dt，则 F(x) 0 x tf(t)f(t)dt， 令 ut，则当 t0 时，u0，当 tx 时，ux，于是 F(x) 0 x (u)f(u)f(u)d(u) 0 x uf(u)f(u)du 0 x tf(t)f(t)dtF(x) 即 F(x)为偶函数，故应选(D) 评注 1类似可得 0 x tf(f)f(t)df 和 0 x f 2 (t)df为奇函数，而 0 x f(t 2 )df的奇
15、偶性不定 评注 2 对于选择题，也可取 f(x)1，f(x)x，用排除法找到答案 评注 3 f(t)dt 的奇偶性与 f(x)的奇偶性的关系是： 若 f(x)为奇函数，则 0 x f(t)dt为偶函数；若 f(x)为偶函数，则 0 x f(t)dt为奇函数10.设函数 （分数：2.00）A.x 是函数 F(x)的跳跃间断点B.x 是函数 F(x)的可去间断点C.F(x)在 x 处连续但不可导 D.F(x)在 x 处可导解析：解析：详解 当 0x 时，F(x) 0 x f(t)dt 0 x sintdt1cosx， 当 x2时，F(x) 0 x f(t)dt 0 sintdt x 2dt2(1x
16、)， ， 于是 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 利用定积分定义求极限 详解 故应填12. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*。）解析：解析：分析 被积函数中含有根式，利用变量代换去掉根式，再积分即可 详解 1 。 详解 2 。 详解 3 。 评注 被积函数中含有13. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填cotxlnsinxcotxxC）解析：解析：分析 利用分部积分法即可 详解 14. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_
17、 （正确答案：正确答案：应填*。）解析：解析：分析 此类有理函数的不定积分直接用凑微分法即可注意分母不能分解因式，因此这个有理函数不能再分解为更简单的形式 详解 。 评注 一般情形有公式：15.函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 本题考查函数平均值的概念，要求知道函数平均值的定义公式： ，因此，本质上是一个定积分的计算问题 详解 因为函数 yf(x)在区间a，b上的平均值为 ，故所求平均值为16.904*(x 3 sin 2 x)cos 2 xdx 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*）解析：解析：分析 积分区间为
18、对称区间，首先想到被积函数的奇偶性，尽量用奇偶函数在对称区间上的性质简化计算过程 详解 评注 若 f(x)为连续函数，则 2a a f(x)dx 0 a f(x)f(x)dx 17.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填 xf(x 2 )）解析：解析：分析 本题是变上限的积分求导问题，关键是将被积函数中的 x换到积分号外或积分上、下限中去，这可通过变量代换 ux 2 t 2 实现 详解 作变量代换 ux 2 t 2 ，则 。 评注 一般地，对变限积分 a(x) b(x) f(x，t)dt，应先作变量代换 u(x,t)，将 x换到积分号外或积分上、下限
19、中去，再用求导公式 18. 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：应填*。）解析：解析：分析 将分母配方后利用凑微分法积分 详解 评注 对函数三、解答题(总题数：21，分数：42.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 lnxt，则 xe t ，于是 )解析：解析：分析 由于 f(x)的表达式未知，因此应先求出 f(x)的表达式，再根据被积函数的形式，通过分部积分求解即可 评注 本题主要考查函数的概念及不定积分的凑微分法和分部积分法21.计算e 2x (tanx1) 2
20、dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1e 2x (tanx1) 2 dxe 2x (tanx2tanx1)dxe 2x (secZx2tanx)dx e 2x d(tanx)2e 2x taMnxdx e 2x tanxe 2x .2.tanxdxe 2x tanxdx e 2x tanxC 详解 2e 2x (tanx1) 2 dx )解析：解析：分析 被积函数为幂函数与三角函数的乘积，采用分部积分法，将三角函数看作出 评注 在求积分时，往往会出现某些复杂的积分重复出现的情况，要么可以消去，要么为所求积分，所以不要苛求每一部分都积出22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正
21、确答案：设 xtant，则 dxsec 2 tdt。 )解析：解析：本题为常规不定积分问题，含有形如23.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 设 xtant，则 ， 又 e t sintdte t dcost(e t coste t costdt) e t coste t sinte t sintdt， 故 。 因此 。 详解 2 直接用分部积分法： ， 移项整理得 )解析：解析：分析 被积函数含有根号24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 令 ，因此 因此 详解 2 令 arcsine x t，则 xln sint， )解析：解析：分析 被
22、积函数为反三角函数与幂函数的乘积，常采用分部积分法，将反三角函数看作u，再考虑用换元法另外，也可直接用换元法 评注 1 被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换 评注2用分部积分公式25.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 原式 )解析：解析：分析作替换26.如图 132，曲线 C的方程为 yf(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 0 3 (x 2 x)
23、f“(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设图形知，f(0)0，f“(0)2，f(3)2，f“(3)2，f“(3)0 由分部积分公式，知 0 3 (x 2 x)f“(x) 0 3 (x 2 x)df“(x) (xx)f“(x) 0 3 0 3 (x)(2x1)dx 0 3 (2x1)df“(x) (2x1)f(x) 0 3 2 0 3 f“(x)dx 162f(3)f(0)20)解析：解析：分析 题设图形相当于已知 f(x)在 x0 的函数值与导数值，在 x3 处的函数值及一阶、二阶导数值 评注 本题 f(x)在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖，综合考
24、查了导数的儿何意义和定积分的汁算另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函数的导数时，一般优先考虑用分部积分法27.设函数 f(x)连续，(x) 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 x0 时， 即 又 )解析：解析：分析 通过变换将 (x)变为变上限积分，求出 “(x)后再讨论 “(x)在 x0 处的连续性28.设 xOy平面上有正方形 D(x，y)0x1，0y1)及直线 l： xyt(t0)若 S(t)表示正方形 D位于直线 l左下方部分的面积，试求 0 x S(t)dt(x0)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题设，有 可见，当 0x1
25、时， 当 1x2 时， 当 x2 时，故有 )解析：解析：分析 首先根据，的不同取值，求出 S(t)的表达式，然后再根据 x的取值情况计算定积分 0 x S(t)dt(x0) 评注 分段函数的积分问题，应根据不同区间段上的函数表达式，利用积分的可加性分段进行积分。29.设函数 f(x)在0，)上可导，f(0)0，且其反函数为 g(x)若 0 f(x) g(t)dtx 2 e x ，求f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 0 f(x) g(t)dte 2 e x 两边对 x求导得 gf(x)f“(x)2xe x x 0 e x 因 gf(x)x，故 xf“(x)2xe x x
26、2 e x 当 x0 时， f“(x)2e x xe x ， 积分得 f(x)(x1)e x C 由于 f(x)在 x0 处连续，故由 )解析：解析：含有变限的定积分当然想到先对其求导，注意 f(x)的反函数为 g(x)，因此有 gf(x)x求导后转化为微分方程，解此方程即可30.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当1x0 时，有 ； 当 0x1 时，有 所以 )解析：解析：分析 由 f(x)的定义，分段积分即可 评注 分段函数求积分一般应根据积分可加性分段分别求积分31.设函数 yy(x)由参数方程 (t1)所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ， 得 ， 所
27、以 当 x9 时，由 x12t 2 及 t1 得t2，故 )解析：解析：分析 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可注意当 x9 时，可相应地确定参数的取值32.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：分析 此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形 评注1 本题综合考查了变限积分求导、洛必塔法则，被积函数中包含变量 T，应设法将 x提到积分号外或积分上、下限中去，其关键是先作变量代换 uxt 评注 2 一般来说，被积函数的中间变量是非积分变量时均应先考虑换元即对变限积分 a(x) b(x
28、) f(x，t)dt，一般应先作变量代换 u(x，t)，然后再进行相关的讨论 评注 3 本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则 33.设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式两端先对 x求导，得 ， 即 。 于是 )解析：解析：分析 等式两端先对 x求导，再积分即可34.设函数 S(x) 0 x costdt， (1)当 n为正整数，且 nx(n1) 时，证明：2nS(x)2(n1)； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)nx(n1) 时，注意到被积函数是非负的，于是有 0 n cosxdxS(
29、x) 0 (n1) cosxdx 又因为cosx是以 为周期的甬数，存每个周期上积分值相等，所以 0 n cosxdxn 0 cosxdx2n， 0 (n1) cosxdx(n1) 0 cosxdx2(n1) 因此当 nx(n1) 时，有 2nS(x)2(n1) (2)由(1)知，当nx(n1) 时，有 ， 当 x时，有 n，根据夹逼定理得 )解析：解析：分析 求解本题的关键是注意到被积函数cost是以 为周期的周期函数，从而在每个以 为长度的区间上的积分相等，这样利用积分的可加性可将积分区间分解为以 为长度的区间，进而得到所需的不等式利用(1)中得到的不等式和夹逼定理即可求(2)中的极限 评
30、注 若 f(x)是周期为T的周期函数，即 f(xT)f(x)，则 a aT f(x)dx 0 T f(x)dx。35.设函数 f(x)在0，上连续，且f(x)dx0，f(x)cosxdx0，试证明：在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )f( 0 )0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：详解 1 令 F(x) 0 x f(t)dt，则有 F(0)F()0又因为 0 0 f(x)cosxdx 0 F(x) F(x)cosx 0 0 F(x)sinsxdx 0 F(x)sinxdx 令 G(x) 0 x F(t)sintdt，则 G(0)G()0，于是，对 G(x)在
31、0，上使用拉格朗日中值定理知，存在(0，)，使 F()sin0 因为当E(0，)，sin0，所以有 F()0这样就证明了 F(0)F()F()0 再对 F(x)在区间0，上分别用罗尔中值定理，知至少存在 1 (0，)， 2 (，)，使 F“( 1 )F“( 2 )0， 即 f( 1 )f( 2 )0 详解 2 反证法：令 F(x) 0 x f(t)dt则有 F(0)F()0由罗尔定理知，存在 1 (0，)，使F“( 1 )f()0 假设在(0，)内 f(x)0 仅有一个实根 x 1 ，则由 0 f(x)dx0 可知，f(x)在(0， 1 )内与( 1 ，)内异号，不妨设在(0， 1 )内 f(
32、x0，在( 1 ，)内 f(x)0于是再由 0 f(x)dx0 与 0 f(x)cosxdx及 cosx盯在0，上的单调性知： 与 0 f(x)cosxdx及 cosx盯在0，上的单调性知： 0 0 f(x)(cosxcos 1 )dx 0 1 f(x)(cosxcos 1 )dx 1 f(x)(cosxcos 1 )dx0， 矛盾从而推知，在(0，)内除 1 外，f(x)0 至少还有另一个实根 2 ，故知存在实根 1 ， 2 (0，)， 1 2 ，使 f( 1 )f( 2 )0)解析：解析：分析 本题直接用连续函数的介值定理是困难的，可考虑作辅助函数 F(x) 0 x f(t)dt，显然有 F(0)F()0，但要最终证明结论，还需另找 F(x)的一个零点，这当然要由第二个条件 0 f(x)cosxdx0 来实现为了使其与 F(x)联系起来，可将其变换为 0 0 f(x)cosxdx 0 F(x)，再通过分部积分和微分中值定理或积分巾值定理就可达到目的 评注 1 证明 f(x)有是个零点的一个有效的方法是证明它的原函数有 k1 个零点F(x) 0 x f(t)dt是多次考到的一个特殊的原函数，应当引起注意 评注 2 详解 1中的 和详解 2中的
