1、考研数学二（一元函数积分学）-试卷 4 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kl a+(k+1)l f(x)dx 之值 ( )（分数：2.00）A.仅与 a 有关B.仅与 a 无关C.与 a 及 k 都无关D.与 a 及 k 都有关3.设 M= （分数：2.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN4.设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（分数：2.00）
2、A. 0 x f(t)dtB. 0 x f(t 2 )dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t)f“(t)dt5.下列反常积分收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.以下 4 个命题 设 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，则 一 + f(x)dx 必收敛，且 一 + f(x)dx=0； 设 f(x)在(一，+)上连续，且 一 R R f(x)dx 存在，则 一 + f(x)dx 必收敛，且 一 + f(x)dx= （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.x 3 （分数：2.00）填空项 1:_8.
3、 0 tsin tdt= 1（分数：2.00）填空项 1:_9. 0 4 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f“(sin 2 x)=cos 2x+tan 2 x(0x1)，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)，如果ydx （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.设 n 是正整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
4、。（分数：2.00）_17.计算曲线 y=ln(1 一 x 2 )上相应于 0x （分数：2.00）_18.求心彤线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数（分数：2.00）_19.求极限 （分数：2.00）_20.设 f(x)在(一，+)内连续，以 T 为周期，则 (1) a a+T f(x)dx= 0 T f(x)dx(a 为任意实数)； (2) 0 x f(t)dt 以 T 为周期 0 T f(x)dx=0； (3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T 0 T f(x)dx=0（分数：2.00）_21.计算不定积分 （分数：2.00）_22.计算不定积分 （分数：2
5、.00）_23.求定积分的值 （分数：2.00）_24.设常数 0a1，求 （分数：2.00）_25.已知 （分数：2.00）_26.设 a，b 均为常数，a一 2，a0，求 a，b 为何值时，使 1 + （分数：2.00）_27.直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 =6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 （分数：2.00）_28.设 f(x)是(一，+)上的连续非负函数，且 f(x) 0 x f(x 一 t)dt=sin 4 x，求 f(x)在区间0，上的平均值（分数：2.00）_29.设 f(x)= （分数：2.00）_30.设 g(x)= （分数：2.00）_31.
6、设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 3 （分数：2.00）_32.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_33.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)=3 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）-试卷 4 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a
7、+kl a+(k+1)l f(x)dx 之值 ( )（分数：2.00）A.仅与 a 有关B.仅与 a 无关C.与 a 及 k 都无关 D.与 a 及 k 都有关解析：解析：因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以 a+kl a+(k+1)l f(x)dx= kl (k+1)l f(x)dx= 0 l f(x)dx， 故此积分与 a 及 k 都无关3.设 M= （分数：2.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN 解析：解析：4.设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（分数：2.00）A. 0 x f(t)dtB. 0 x f(t 2 )d
8、tC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t)f“(t)dt 解析：解析：当 g(x+T)=g(x)时，因为 0 x+T g(t)dt= 0 x g(t)dt+ 0 x+T =g(t)dt= 0 x g(t)dt+ 0 T g(t)dt， 若 0 x+T g(t)dt= 0 x g(t)dt=0反之，若 0 T g(t)dt=0，则 0 x+T g(t)dt= 0 x g(t)dt 因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以 4 个选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅有 0 T f(t)f“(t)dt= 5.下列反常积分收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.
9、 D.解析：解析：选项(A)中，6.以下 4 个命题 设 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，则 一 + f(x)dx 必收敛，且 一 + f(x)dx=0； 设 f(x)在(一，+)上连续，且 一 R R f(x)dx 存在，则 一 + f(x)dx 必收敛，且 一 + f(x)dx= （分数：2.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析： 一 + f(x)dx 收敛存在常数 a，使 一 a f(x)dx 和 a + f(x)dx 都收敛，此时 一 + f(x)dx= 一 a f(x)dx+ a + f(x)dx 设 f(x)=x，则 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，且
10、 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.x 3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8. 0 tsin tdt= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析： 0 tsin tdt=一 0 td(cos t)=一 tcos t 0 + 0 cos tdt=9. 0 4 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(e 2 +1)）解析：解析： 10.设 f“(sin 2 x)=cos 2x+tan 2 x(0x1)，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 ln(1 一 x
11、)一 x 2 +C，其中 C 为任意常数）解析：解析：11.设 y=y(x)，如果ydx （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 一 x）解析：解析： 12.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf(x 2 )）解析：解析：13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sinx 2）解析：解析：令 x 一 t=u，则原式= 14.设 n 是正整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、
12、解答题(总题数：18，分数：36.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.计算曲线 y=ln(1 一 x 2 )上相应于 0x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求心彤线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r“()=一 asin， )解析：19.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在(一，+)内连续，以 T 为周期，则 (1) a a+T f(x)dx= 0 T f(x)dx(a 为任意实数)； (2) 0 x f(t)dt
13、以 T 为周期 0 T f(x)dx=0； (3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T 0 T f(x)dx=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) a a+T f(x)dx=f(a+T)一 f(a)=0 a a+T f(x)dx= a a+T f(x)dx a=0 = a a+T f(x)dx (2) a x f(t)dt 以 T 为周期 0 x+T f(t)dt 一 0 x f(t)dt= x x+T f(t)dt )解析：21.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析
14、：23.求定积分的值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设常数 0a1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 a，b 均为常数，a一 2，a0，求 a，b 为何值时，使 1 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 若 b 一 a0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须 a=b，那么)解析：27.直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 =6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 f(x)是(一，
15、+)上的连续非负函数，且 f(x) 0 x f(x 一 t)dt=sin 4 x，求 f(x)在区间0，上的平均值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 一 t=u，则 0 x f(x 一 t)dt= 0 x f(u)du，记 F(x)= 0 x f(u)du，则F“(x)F(x)=sin 4 x，两端在(0，)上积分得 )解析：29.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 f(x)的表达式，注意到函数 e x 在 x+与 x一的极限，可知 )解析：30.设 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然，g(0)=1，而当 x0 时由“1 ”型极
16、限得 (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 )解析：31.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 从而有 f(c 1 )=f(0)，故 f(x)在区间0，c 1 上满足罗尔定理条件，因此在(0，c 1 )内存在一点 c，使 f“(C)=0，c(0，c 1 ) )解析：32.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 G(x)=f(x) x b g(t)dtg(x) a x f(t)dt
17、求得 G(x)的原函数为 F(x)= a x f(t)dt x b g(t)dt+C，其中 C 为任意常数，因为 f(x)，g(x)在a，b上连续，所以 F(x)：(1)在a，b上连续；(2)在(a，b)内可导；(3)F(a)=F(b)=C，即 F(z)在a，b上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，b)，使得 F“()=0，即 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx)解析：33.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)=3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由积分中值定理，得 f(1)= 令 F(x)= f(x)，则 F(x)在 1 ，1上连续，在( 1 ，1)内可导，且 F(1)=f(1)=f(1)= f( 1 )=F( 1 ) 由罗尔定理，在( 1 ，1)内至少有一点 ，使得 F“()= f“()一 2f()=0， 于是 f“()=2f()，( 1 ，1) )解析：
