1、考研数学二（一元函数积分学）-试卷 3 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.记 P= （分数：2.00）A.PQRB.QRPC.QPRD.RPQ二、填空题(总题数：2，分数：4.00)3.设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r=cos3 （分数：2.00）填空项 1:_4.区域 D：(x 2 +y 2 ) 2 x 2 -y 2 所围成的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：52.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程
2、或演算步骤。_6.证明： （分数：2.00）_7.设 f(x)= （分数：2.00）_8.设 f(x)= （分数：2.00）_9.设 f“(x)=arcsin(x-1) 2 且 f(0)=0，求 I= （分数：2.00）_10.设 f(u)是连续函数，证明： （分数：2.00）_11.设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，f(x)-f(y)arctanx-arctany，又 f(1)=0，证明： （分数：2.00）_12.证明： （分数：2.00）_13.证明： （分数：2.00）_14.设 f(x)，g(x)为a，b上连续的增函数(0ab)，证明： （分数：2.00）_15.设
3、f(x)在0，1上可导，且f“(x)M，证明： （分数：2.00）_16.设函数 f(x)在0，2上连续可微，f“(x)0，证明：对任意正整数 n，有 （分数：2.00）_17.设 f(x)在(-，+)上是导数连续的有界函数，f(x)-f“(x)1，证明：f(x)1（分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，证明： （分数：2.00）_19.已知 f(x)在0，2上二阶连续可微，f(1)=0，证明： （分数：2.00）_20.计算曲线 y= （分数：2.00）_21.设 D=(x，y)0x1，0y1)，直线 l：x+y=t(t0)，S(t)为正方形区域 D 位于
4、 l 左下方的面积，求 （分数：2.00）_22.求曲线 y=2e -x (x0)与 x 轴所围成的图形的面积（分数：2.00）_23.设 f(x)是(-，+)上的连续非负函数，且 f(x) （分数：2.00）_24.设抛物线 y=ax 2 +bx+c(a0)满足：(1)过点(0，O)及(1，2)；(2)抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y=-x 2 +2x 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值（分数：2.00）_设 L：y=sinx(0x )由 x=0，L 及 y=sint 围成面积 S 1 (t)；由 y=sint，L 及 x= 围成面积 S 2 (t)，其中 0t （分数：
5、4.00）(1).t 取何值时，S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)取最小值?（分数：2.00）_(2).t 取何值时，S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)取最大值?（分数：2.00）_25.设 f(x)= （分数：2.00）_26.求曲线 y=xe -x (x0)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积（分数：2.00）_27.设由 y 轴、y=x 2 (x0)及 y=a(0a1)所围成的平面图形及由 y=a，y=x 2 及 x=1 所围成的平面图形都绕 x 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a（分数：2.00）_设曲线 y= （分数：4.00）(1).常数 a 及切点坐标；
6、（分数：2.00）_(2).两曲线与 x 轴所围成的平面图形绕 X 轴旋转所得旋转体的体积（分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）-试卷 3 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.记 P= （分数：2.00）A.PQRB.QRPC.QPR D.RPQ解析：解析：因为二、填空题(总题数：2，分数：4.00)3.设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r=cos3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲线所围成的平面图形
7、的面积为4.区域 D：(x 2 +y 2 ) 2 x 2 -y 2 所围成的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：设区域 D 位于第一卦限的区域为 D 1 ， 三、解答题(总题数：25，分数：52.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：6.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设 f“(x)=arcsin(x-1) 2 且 f(0)=0，求 I= （分数：2
8、.00）_正确答案：(正确答案：由 f(0)=0 得 f(x)= ，则 )解析：10.设 f(u)是连续函数，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时，f(x)-f(y)arctanx-arctany，又 f(1)=0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由f(x)=f(x)-f(1)=arctanx-arctan1=arctanx- 得 )解析：12.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)，g(x)为
9、a，b上连续的增函数(0ab)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y)=f(x)-f(y)g(x)-g(y)，D=(x，y)ax6，ayb，因为 f(x)，g(x)在a，b上为增函数，所以 F(x，y)0，从而 )解析：15.设 f(x)在0，1上可导，且f“(x)M，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设函数 f(x)在0，2上连续可微，f“(x)0，证明：对任意正整数 n，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以 f(0)f(2)，从而 f(2)-f(0)0 )解析：17.设 f(x)在(-，+)上是导
10、数连续的有界函数，f(x)-f“(x)1，证明：f(x)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)有界，所以 )解析：18.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)+f(a)，(a)=0， 因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调递减，从而 “(x)0(axb) 由 得 (x)0(axb)， 于是 (b)0，故 )解析：19.已知 f(x)在0，2上二阶连续可微，f(1)=0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(x)=f“(1)(x-1)+ (x-1) 2 ，其中 位于 1
11、与 x 之间，积分得 )解析：20.计算曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 D=(x，y)0x1，0y1)，直线 l：x+y=t(t0)，S(t)为正方形区域 D 位于 l 左下方的面积，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求曲线 y=2e -x (x0)与 x 轴所围成的图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所围成的面积为 )解析：23.设 f(x)是(-，+)上的连续非负函数，且 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设抛物线 y=ax 2 +bx+c(a0)满足：(1)过点(0，O
12、)及(1，2)；(2)抛物线 y=ax 2 +bx+c 与抛物线 y=-x 2 +2x 所围图形的面积最小，求 a，b，c 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)及(1，2)得 则 y=ax 2 +(2-a)x 令 ax 2 +(2-a)x=-x 2 +2x 得 x=0 及 x= 所围成的图形面积为 S(a)= -x 2 +2x-ax 2 -(2-a)xdx )解析：设 L：y=sinx(0x )由 x=0，L 及 y=sint 围成面积 S 1 (t)；由 y=sint，L 及 x= 围成面积 S 2 (t)，其中 0t （分数：4.00）
13、(1).t 取何值时，S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)取最小值?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 1 (t)=tsint- sinxdx=tsint+cost-1， S 2 (t)= S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)=2(t- )sint+2cost-1 当 t= 时，S(t)最小，且最小面积为 )解析：(2).t 取何值时，S(t)=S 1 (t)+S 2 (t)取最大值?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t=0 时，S(t)最大，且最大面积为 S(0)=1)解析：25.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当-1x0 时，f(x)
14、= 当 x0 时，f(x)= 即 f(x)= 由 故所求的面积为 A= )解析：26.求曲线 y=xe -x (x0)绕 x 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设由 y 轴、y=x 2 (x0)及 y=a(0a1)所围成的平面图形及由 y=a，y=x 2 及 x=1 所围成的平面图形都绕 x 轴旋转，所得旋转体的体积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设曲线 y= （分数：4.00）(1).常数 a 及切点坐标；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：(2).两曲线与 x 轴所围成的平面图形绕 X 轴旋转所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求体积为 V=V 1 +V 2 ， )解析：
