1、考研数学二（一元函数积分学）-试卷 2 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.由曲线 y= x(0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x 一 4 所围成的图形的面积为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.曲线 y= （分数：2.00）A.B.C.9D.65.曲线 y=ln x 与 x 轴及直线 x= ，x=e 所围成的图形的面积是 ( ) （
2、分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.定积分中值定理的条件是 f(x)在a，b上连续，结论是 1。（分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 y=x 2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为 1。（分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_11.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 9y 2 =4x 3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.抛物线 y 2 =ax
3、(a0)与 x=1 所围面积为 （分数：2.00）填空项 1:_14.由曲线 y=x 3 ，y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.函数 y=ln x 在区间1，e上的平均值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设函数 f(x)有连续导数，F(x)= 0 x f(t)f“(2a 一 t)dt，证明： F(2a)一 2F(a)=f 2 (a)一 f(0)f(2a)（分数：2.00）_18.f(x)在0，1上
4、有连续导数，且 f(0)=0，证明：存在 0，1，使得 f“()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加，证明： (a+b) a b f(x)dx2 a b xf(x)dx（分数：2.00）_20.设函数 f“(x)在a，b上连续，且 f(a)=0，试证明： a b f 2 (x)dx （分数：2.00）_21.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0，f“(x)0，g“(x)0。 证明：对任何 a0，1，有 0 a g(x)f“(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dxf(a)g(1)（分数：2.00）_22.设 f(
5、x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f(x)cos xdx= 0 f(x)sin xdx=0。 求证：存在 (0，)，使得 f“()=0（分数：2.00）_23.设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0， 证明： (1)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()（分数：2.00）_24.设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明：存在一点 a，b，使 a b f(x)g(x)dx=f() a b g(x)dx（分数：2.00）_25.
6、设 f(x)在区间一 a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：在一 a，a上存在 ，使 a 3 f“()=3 一 a a f(x)dx（分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(0)f(1)0，f(1)+ 0 1 f(x)dx=0， 试证：至少存在一点 (0，1)，使 f“()=f()（分数：2.00）_27.f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导， f(1)= （分数：2.00）_28.设 f(x)在a，b上连续且 f(x)0，证明： a b f(x)dx a b （分数：2.
7、00）_29.设 ab，证明：不等式 a b f(x)g(x)dx a b f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx（分数：2.00）_30.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 a x f(t)dt a x g(t)dt，xa，b)， a b f(t)dt= a b g(t)dt， 证明： a b xf(x)dx a b xg(x)dx（分数：2.00）_31.铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板 1 cm如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少?（分数：2.00）_32.设一锥形贮水池，深
8、15 m，口径 20 m，盛满水，今以吸筒将水吸尽，问作多少功?（分数：2.00）_33.设有一半径为 R，中心角为 的圆弧形细棒，其线密度为常数 ，在圆心处有一质量为 m 的质点 M，试求这细棒对质点 M 的引力（分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）-试卷 2 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.由曲线 y= x(0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：3.抛物
9、线 y 2 =2x 与直线 y=x 一 4 所围成的图形的面积为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：选积分变量为 y(如图 132)，两条曲线的交点4.曲线 y= （分数：2.00）A. B.C.9D.6解析：解析：5.曲线 y=ln x 与 x 轴及直线 x= ，x=e 所围成的图形的面积是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.定积分中值定理的条件是 f(x)在a，b上连续，结论是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：在a，b上至少存在一点 ，使 a b f(x)dx=f()(b
10、 一 a)，ab）解析：7.曲线 y=x 2 与直线 y=x+2 所围成的平面图形的面积为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4.5）解析：解析：平面图形面积 S= 一 1 2 (x+2 一 x 2 )dx= 8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.曲线 9y 2
11、 =4x 3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.抛物线 y 2 =ax(a0)与 x=1 所围面积为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：y 2 =ax 与 x=1 所围面积 A= 14.由曲线 y=x 3 ，y=0 及 x=1 所围图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该旋转体积 V= 0 1 (x 3 ) 2 dx= 15.函数 y=ln x 在区间1，e上的平均值为 1（分数：2.0
12、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：平均值三、解答题(总题数：18，分数：36.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设函数 f(x)有连续导数，F(x)= 0 x f(t)f“(2a 一 t)dt，证明： F(2a)一 2F(a)=f 2 (a)一 f(0)f(2a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(2a)一 2F(a)= 0 2a f(t)f(2a 一 t)dt 一 2 0 2a f(t)f“(2a 一 t)dt = 0 2a f(t)f“(2a 一 t)dt 0 2a f(t)f“(2at)dt， 其中
13、 a 2a f(t)f“(2a 一 t)dt=f 2 (a)一 f(0)f(2a)+ a 2a f(2a 一 t)f“(t)dt，所以 F(2a)一 2F(a)=f 2 (a)一 f(0)f(2a)+ a 2a f(2at)f“(t)dt 0 a f(t)f“(2a 一 t)dt， 又 a 2a f(2a 一 t)f“(t)dt )解析：18.f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0，证明：存在 0，1，使得 f“()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)在0，1上连续，所以，f“(x)在0，1上有最小值和最大值，设为m，M，即有 x 1 ，
14、x 2 0，1，使 f“(x 1 )=m，f“(x 2 )=M 由中值定理，对任意 x0，1，存在(0，x)，使 f(x)=f(x)一 f(0)=f“()x，于是有 f“(x)x=mxf(x)=f(x)一 f(0)=f“()xMx=f“(x 2 )x， 积分得 f“(x 1 ) 0 1 xdx 0 1 f(x)dxf“(x 2 ) 0 1 xdx， 即 f“(x 2 )，即 f“(x 1 )2 0 1 f(x)dxf(x 2 )。 因为 f“(x)在0，1上连续，由介值定理，必有 x 1 ，x 2 )解析：19.设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加，证明： (a+b) a b f(x)dx
15、2 a b xf(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(t)=(a+t) a t f(x)dx 一 2 a t xf(x)dx，则 F“(t)= a t f(x)dx+(a+t)f(t)一 2tf(t) = a t f(x)dx 一(t 一 a)f(t)= a t f(x)dx 一 a t f(t)dx = a t f(x)f(t)dx 因为 axt，且 f(x)在a，b上严格单调增加，所以 f(x)一 f(t)0，于是有 F“(t)= a t f(x)一 f(t)dx0， 即 F(t)单调递减，又 F(a)=0，所以 F(b)0，即 (a+b) a b f(x)dx 一
16、2 a b xf(x)dx0， 即(a+b) a b f(x)dxxf(x)dx)解析：20.设函数 f“(x)在a，b上连续，且 f(a)=0，试证明： a b f 2 (x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f 2 (x)=f(x)一 f(a) 2 = a x f“(t)dt 2 ，而 a x f“(t)dt 2 (x 一 a) a x f“(t) 2 dt(x 一 a) a b f“(t) 2 dt (施瓦茨不等式)， 所以 a b f 2 (x)fx a b (x 一 a)dx a b f“(t) 2 dt= )解析：21.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续
17、，且 f(0)=0，f“(x)0，g“(x)0。 证明：对任何 a0，1，有 0 a g(x)f“(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dxf(a)g(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(a)= 0 1 g(x)f“(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dx 一 f(a)g(1)，a0，1，则 F“(a)=g(a)f“(a)一 f“(a)g(1)=f“(a)g(a)一 g(1) 因为 x0，1时，f“(x)0，g“(x)0，即函数f(x)，g(x)在0，1上单调递增，又 a1，所以 F“(a)=f“(a)g(a)一 g(1)0， 即函数 F(a)在0，1上单调递减，又 F
18、(1)= 0 1 g(x)f“(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dx 一 f(1)g(1) =f“g(x)f(x)“dx 一 f(1)g(1)=g(1)f(1)一 g(0)f(0)一 f(1)g(1) =一 f(0)g(0)=0， 所以，F(a)F(1)=0，即 0 a g(x)f“(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dx 一 f(a)g(1)0， 即 0 a g(x)f“(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dxf(a)g(1)解析：22.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 0 f(x)cos xdx= 0 f(x)sin xdx=0。 求证：存在 (0，)，使得 f
19、“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 f(x)在(0，)内必有零点 因为在(0，)内 f(x)连续，且 sin x0，所以，若无零点，则恒有 f(x)0 或 f(x)0，从而有 0 f(x)sin xdx0 或 0 f(x)sin xdx0，与题设矛盾 所以，f(x)在(0，)内必有零点 下面证明 f(x)在(0，)内零点不唯一，即至少有两个零点 用反证法假设 f(x)在(0，)内只有一个零点 x 0 ，则 f(x)在(0，x 0 )和(x 0 ，)上取不同的符号(且不等于零)，否则与 0 f(x)sin xdx=0 矛盾这样，函数 sin(x 一 x 0 )f(x)在
20、(0，x 0 )和(x 0 ，)上取相同的符号，即恒正或恒负 那么有： 0 f(x)sin(x 一 x 0 )dx0但是 0 f(x)sin(x 一 x 0 )dx= 0 f(x)(sin xcos x 0 cos xsin x 0 )dx =cos x 0 0 f(x)sin xdxsin x 0 0 f(x)cos xdx=0 从而矛盾，所以 f(x)在(0，)内至少有两个零点于是由罗尔定理即得存在 (0，)，使得 f“()=0)解析：23.设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0， 证明： (1)在(a，b)内至
21、少存在一点 ，使得 f“()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由加强型的积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得 f(C)= )解析：24.设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明：存在一点 a，b，使 a b f(x)g(x)dx=f() a b g(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)在a，b上连续，故 mf(x)M m a b g(x)dx a b f(x)g(x)dxM a b g(x)dx， )解析：25.设 f(x)在区间一 a，a(a0)上具有二阶连续导数
22、，f(0)=0 (1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：在一 a，a上存在 ，使 a 3 f“()=3 一 a a f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意 x一 a，a， 因为 f“(x)在一 a，a上连续，由最值定理：mf“(x)M，x一 a，a mx 2 f“()x 2 Mx 2 ， )解析：26.设 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(0)f(1)0，f(1)+ 0 1 f(x)dx=0， 试证：至少存在一点 (0，1)，使 f“()=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= f(x)， f(1
23、)+ 0 1 f(x)dx=f(1)+f(x)=0，c(0，1)， 由此可知 f(x)0，否则 f(1)=0，与题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f(C)0，则 f(1)0，f(0)0 由连续函数的零点定理知存在 a(0，c)，b(c，1)，使 f(a)=f(b)=0，即 F(a)=F(b)，由 罗尔定理可知，存在 (a，b)，使 F“()=0，即 )解析：27.f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导， f(1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)=xe 一 x f(x)，因 f(1)= ，F(1)=e 一 1 f(1)=e 一 f()=F()，故在，1 0，1上，对
24、 F(x)运用罗尔定理，可得 (，1) )解析：28.设 f(x)在a，b上连续且 f(x)0，证明： a b f(x)dx a b （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 ab，证明：不等式 a b f(x)g(x)dx a b f 2 (x)dx a b g 2 (x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F(x)= a t f(x)g(x)dx 2 一 a t f 2 (x)dx a t g 2 (x)dx， 则 F(a)=0，且 F“(t)=2 a t f(x)g(x)dxf(t)g(t)一 f 2 (t) a t g 2 (x)dxg 2
25、(t) a t f 2 (x)dxt = a t 2f(x)g(x)f(t)g(t)一 f 2 (t)g 2 (x)一 g 2 (t)f 2 (x)dx =一 a t f(t)g(x)一g(t)f(x) 2 dx0， 所以 F(b)0，即 a t f(x)g(x)dx 2 一 a t f 2 (x)dx a t g 2 (x)dx0，即 a t f(x)g(x) 2 a t f 2 (x)dx a t g 2 (x)dx)解析：30.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 a x f(t)dt a x g(t)dt，xa，b)， a b f(t)dt= a b g(t)dt， 证明： a
26、 b xf(x)dx a b xg(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 xa，b)时， a x f(t)dt a x g(t)dt a x f(t)一 g(t)dt0， a x f(t)dt= a x g(t)dt a x f(t)一 g(t)dt=0， a x xf(x)dx a x xg(x)dxxf(x)一 g(x)dx0， 令 G(x)= a x f(t)一 g(t)dt，则 G“(x)=f(x)一 g(x)，于是 a b xf(x)一 g(x)dx= a b xd( a x f(t)一 g(t)dt) )解析：31.铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入
27、木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板 1 cm如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知阻力 f=kx(其中 k 为比例系数)，设第二次锤击时击入了 L cm，则第一次锤击时所作的功 W 1 = 0 1 kxdx= (2L+L2) 因 W 1 =W 2 ，故有 L 2 +2L=1解方程得 L=一 1 )解析：32.设一锥形贮水池，深 15 m，口径 20 m，盛满水，今以吸筒将水吸尽，问作多少功?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 134 建立坐标系，取 x 为积分变量，0，15为积分区间，由图上数据可知 )解析：33.设有一半径为 R，中心角为 的圆弧形细棒，其线密度为常数 ，在圆心处有一质量为 m 的质点 M，试求这细棒对质点 M 的引力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 135 建立坐标系，并把质点 M 放在极点 0，取 作为积分变量，一 为积分区间，典型区间为，+d所对应的圆弧形细棒小段可近似看作质点，其质量为Rd，与 M 相距为 R，它对于质点 M 的引力F 的大小为 )解析：
