1、考研数学二（一元函数积分学）-试卷 19 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设一元函数 f(x)有下列四条性质：f(x)在a，b连续；f(x)在a，b可积；f(x)在a，b存在原函数；f(x)在a，b可导。若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。3.设 （分数：2.00）A.f(x)在一 1，1上存在原函数。B.令 F(x)= -1 x (x)dt，则 f“(0)存在。C.g(x)在一 1，1
2、上存在原函数。D.g“(0)存在。4.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为( )（分数：2.00）A.1+sinxB.1 一 sinxC.1+cosxD.1 一 cosx5.设 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 （分数：2.00）A.IJK。B.IKJ。C.JIK。D.KJI。7.设 （分数：2.00）A.为正常数。B.为负常数。C.恒为零。D.不为常数。8.定积分 （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f(x)= 0 x (e cist 一 e -cost )dt，则( )（分数：2.00）A.f(x)=f(x+2)。B.f(x)f(x+2)。C.f(x)
3、f(x+2)。D.当 x0 时,f(x)f(x+2)；当 x0 时 f(x)f(x+2)。10.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 （分数：2.00）A.无界。B.递减。C.不连续。D.连续。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.已知f“(x 3 )dx=x 3 +c(C 为任意常数)，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_16.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_
4、17.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_18.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_19.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_20.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_22.求 （分数：2.00）_23.求不定积分 （分数：2.00）_24.求 （分数：2.00）_25.计算不定积分 （分数：2.00）_26.证明 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).证明 f(x)是以， 为周期的周期函数；（分数：2.00）_(2).求 f(x)的值域。（分数：2.00）_2
5、7.设 f(x)是区间 上单调、可导的函数，且满足 （分数：2.00）_28.设 f(x)连续，且 0 一 1 tf(2x 一 t)dt=arctanx 3 )=1，求 1 1 (dx)。（分数：2.00）_29.计算 （分数：2.00）_30.设 f(x)在一 ，上连续，且有 （分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）-试卷 19 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设一元函数 f(x)有下列四条性质：f(x)在a，b连续；f(x)在a，
6、b可积；f(x)在a，b存在原函数；f(x)在a，b可导。若用“PQ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )（分数：2.00）A.。B.。C.。 D.。解析：解析：这是讨论函数 f(x)在区间a，b上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由 f(x)在a，b可导，则 f(x)在a，b连续，那么 f(x)在a，b可积且存在原函数。故选 C。3.设 （分数：2.00）A.f(x)在一 1，1上存在原函数。B.令 F(x)= -1 x (x)dt，则 f“(0)存在。C.g(x)在一 1，1上存在原函数。 D.g“(0)存在。解析：解析：由 可知，g(x)在 x=0 处连续，所以
7、g(x)在一 1，1上存在原函数。故选 C。以下说明选项 A、B、D 均不正确的原因：A 项，由 可知，x=0 是 f(x)的跳跃间断点，所以在包含 x=0 的区间上 f(x)不存在原函数。B 项，由 可知 F“(0)不存在。D 项，由4.若 f(x)的导函数是 sinx，则 f(x)有一个原函数为( )（分数：2.00）A.1+sinxB.1 一 sinx C.1+cosxD.1 一 cosx解析：解析：由 f“(x)=sinx，得 f(x)=f“(x)dx=f sinxdx=一 cosx+C 1 ，所以 f(x)的原函数是 F(x)=f(x)dx=(一 cosx+C 1 )dx=一 sin
8、x+C 1 x+C 2 ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数。令 C 1 =0，C 2 =1 得F(x)=1 一 sinx。故选 B。5.设 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为当 x0 时，有 tanxx，于是有 从而， 可见有 I 1 I 2 ，又由 6.设 （分数：2.00）A.IJK。B.IKJ。 C.JIK。D.KJI。解析：解析：当 时，因为 0sinxcosx，所以 ln(sinx)ln(cosx)，因此7.设 （分数：2.00）A.为正常数。 B.为负常数。C.恒为零。D.不为常数。解析：解析：由分析可知，F(x)=F(0)，而8.定积分 （分数：2.00）A.
9、B. C.D.解析：解析：这是无界函数的反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，则9.设 f(x)= 0 x (e cist 一 e -cost )dt，则( )（分数：2.00）A.f(x)=f(x+2)。 B.f(x)f(x+2)。C.f(x)f(x+2)。D.当 x0 时,f(x)f(x+2)；当 x0 时 f(x)f(x+2)。解析：解析：由题意 f(x+2)一 f(x)= x x+2 (e cost 一 e -cost )at，被积函数以 2 为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得 10.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 （分数：2.00）A.
10、无界。B.递减。C.不连续。D.连续。 解析：解析：因为 f(x)在区间0，2上只有一个第一类间断点(x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，因而 g(x)= 0 x f(u)du 在该区间内必连续，故选 D。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.已知f“(x 3 )dx=x 3 +c(C 为任意常数)，则 f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对等式f“(x 3 )dx=x 3 +c 两边求导得 ，等式两边积分，故 12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：1
11、3.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：s
12、ecx 一 tanx+x+C）解析：解析：20.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：11，分数：22.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 （分数：4.00）(1).证明
13、f(x)是以， 为周期的周期函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件可得 设 t=u+，则有 )解析：(2).求 f(x)的值域。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为sinx周期为 ，故只需在0，上讨论值域。因为 令 f“(x)=0，得 且 )解析：27.设 f(x)是区间 上单调、可导的函数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 的两边同时对 x 求导得 两边再分别积分得 f(x)=Insinx+cosx+C。将 x=0 代入题中的已知方程可得 由于 f(x)是区间 上单调、可导的函数，则 f 一 1 (x)的值域为 )解析：28.设 f(x)连续
14、，且 0 一 1 tf(2x 一 t)dt=arctanx 3 )=1，求 1 1 (dx)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 2xt=u，则原等式变为 x 2x (2x 一 u)du=arctanx 3 ，即 2x x 2x f(u)du x 2x uf(u)dM=arctan(x 3 )，两边同时对 x 求导，可得 令 x=1，则上面的等式可以化为 根据已知条件 f(1)=l 可知 1 2 f(x)dx= )解析：29.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 f(x)在一 ，上连续，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)sinxdx 存在，且记为 A，于是可得， 对等式右边积分作积分变量变换：x=t，当 x=0 时，t=；当 x= 时，t=0.于是 )解析：
