1、考研数学二（一元函数积分学）-试卷 14 及答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.极限存在但不连续。B.连续但不可导。C.可导。D.可导性与 a 有关。3.设 （分数：2.00）A.F(x)在 x=0 处不连续。B.F(x)在(一，+)内连续，但在 x=0 处不可导。C.F(x)在(一，+)内可导，且满足 F“(x)=f(x)。D.F(x)在(一，+)内可导，但不一定满足，F“(x)=f(x)。4.设函数 f(x)连续，则在下列
2、变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x f(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t) 2 dt5.如图 1-3-1，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周。设 F(x)= 0 x f(t)dt，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设函数 （分数：2.00）A.一 2B.2C.一 20D.027.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：
3、2.00）A.仅与 m 的取值有关。B.仅与 n 的取值有关。C.与 m，n 的取值都有关。D.与 m，n 的取值都无关。8.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 3 e -x sinxdxB. 0 3 e -x sindxC. 0 e -x xsinx 2 e -x sinxdx+ 2 3 e -x sinxdxD. 0 2 e -x sindx 一 2 3 e -x sindx9.曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的平面图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 2 x(x 一 1)(2
4、一 x)dx。B. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。C.一 0 1 x(x-1)(2x)dx+ 1 2 x(x-1)(2x)dx。D. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。10.如图 1-3_2，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0 a xf“(x)dx 等于( ) （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD 面积。B.梯形 ABOD 面积。C.曲边三角形 ACD 面积。D.三角形 ACD 面积。11.由曲线 （分数：2.00）A.B.C.D.12.由曲线 y=1 一(x 一 1)
5、 2 及直线 y=0 围成图形(如图 133)绕 y 轴旋转一周而成的立体体积 V 是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.13.曲线 r=ae b 的(a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( )（分数：2.00）A.B.C.D.14.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度 =1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_16.当 a0 时， （分数：2.00）填空项 1:_17.= 1。 （分数：2.0
6、0）填空项 1:_18.已知曲线 y=f(x)过点 （分数：2.00）填空项 1:_19.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_20.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_21.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：48.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.计算 （分数：2.00）_24.设 f(x)= -1 2 e -y2 dy，计算 I= 1 3 f(x)dx。（分数：2.00）_25.设 f“(x)=arcsin(x 一 1) 2 ，f(0)=0，求 0 1 f(x)dx。（分数：2.00）_26.已知 （分数：2
7、.00）_27.设 f(x)连续可导，F(x)= 0 x f(t)f“(2a 一 t)dt。证明：F(2a)一 2F(A)=f 2 (A)-f(0)f(2a)。（分数：2.00）_28.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明 （分数：2.00）_29.设 f(x)在(一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意 a(一，+)恒有 a a+l f(x)dx= a l f(x)dx。（分数：2.00）_30.计算 （分数：2.00）_计算下列反常积分(广义积分)。（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_31.设函数 f(x
8、)在0，上连续，且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosdx=0。试证明在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )=f( 2 )=0。（分数：2.00）_32.设 f(x)在0，+连续，且 （分数：2.00）_33.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 （分数：2.00）_34.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：2.00）_35.证明：(I)若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得 a b f(x)dx=f()(b 一 a);（分数：2.00）_36.若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)
9、，(2) 2 3 (x)dx，则至少存在一点(1，3)，使得 “()0。（分数：2.00）_设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数。（分数：4.00）(1).试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积；（分数：2.00）_(2).又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_37.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 a x f(t)dt a x g(t)dt，xa，b)， a b f(t)dt= a b g(t)dt。证明 a b f(x)dx a b xg(
10、x)dx。（分数：2.00）_38.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0,f“(x)0,g“(x)0。证明对任何 a0，1，有 0 a g(x)f“(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dxf(A)g(1)。（分数：2.00）_39.设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明 （分数：2.00）_40.设 （分数：2.00）_41.设 f(x)= -1 2 ttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与戈轴所围封闭图形的面积。（分数：2.00）_42.椭球面 S 2 是椭圆 绕戈轴旋转一周而成，圆锥面 S 2 是过点(4，0)且与椭圆 （分数：2.00）_考研数学二（一元
11、函数积分学）-试卷 14 答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.极限存在但不连续。B.连续但不可导。C.可导。D.可导性与 a 有关。 解析：解析：3.设 （分数：2.00）A.F(x)在 x=0 处不连续。B.F(x)在(一，+)内连续，但在 x=0 处不可导。 C.F(x)在(一，+)内可导，且满足 F“(x)=f(x)。D.F(x)在(一，+)内可导，但不一定满足，F“(x)=f(x)。解析：解析：关于具有跳跃间断点
12、的函数的变限积分，有下述定理： 设 f(x)在a，b上除点 c(a，b)外的其他点都连续，且 x=c 为 f(x)的跳跃间断点。又设 F(x)= c x f(t)dt，则： F(x)在a，b上必连续； 当 xa，b且 xc 时，F“(x)=f(x)； F“(C)必不存在，且 F + “?=f(c + )，F - “(C)=f(c - )。直接利用上述结论(本题中的 c=0)，可知选项 B 正确。4.设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x f(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dt C. 0 x f(t
13、 2 )dtD. 0 x f(t) 2 dt解析：解析：取 f(x)=x，则相应的5.如图 1-3-1，连续函数 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周。设 F(x)= 0 x f(t)dt，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：结合定积分的几何意义，可知6.设函数 （分数：2.00）A.一 2B.2C.一 20D.02 解析：解析：根据反常积分的收敛性判断，将已知积分分解为7.设 m，n 均是正整数，则反常积分 （分数：2.00）A.仅与 m 的取值有
14、关。B.仅与 n 的取值有关。C.与 m，n 的取值都有关。D.与 m，n 的取值都无关。 解析：解析：显然 x=0，x=1 是该积分的两个瑕点，因此有 对于 等价于 因为 m，n 均为正整数，有 收敛。对于 的瑕点 x=1，当 时 而积分 显然收敛，因此积分8.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 3 e -x sinxdxB. 0 3 e -x sindxC. 0 e -x xsinx 2 e -x sinxdx+ 2 3 e -x sinxdx D. 0 2 e -x sindx 一 2 3 e -x sindx解析：
15、解析：当 0x 或 2，x3 时 y0，当 x2 时 y0.所以 y=e -x fsinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积为 0 e -x sinxdx 2 e -x sinxdx+ 2 3 e -x sinxdx。故选 C。9.曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的平面图形的面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。B. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。C.一 0 1 x(x-1)(2x)dx+ 1 2 x(x-1)(2x)dx。 D. 0 2 x(x 一 1)(
16、2 一 x)dx。解析：解析：由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确。事实上，S= 0 2 ydx= 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx= 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)ax=一 0 1 z(x-1)(2x)dx+ 1 2 x(x-1)(2x)dx。10.如图 1-3_2，曲线段的方程为 y=f(x)，函数 f(x)在区间0，a上有连续的导数，则定积分 0 a xf“(x)dx 等于( ) （分数：2.00）A.曲边梯形 ABOD
17、 面积。B.梯形 ABOD 面积。C.曲边三角形 ACD 面积。 D.三角形 ACD 面积。解析：解析：因为 0 a xf“(x)dx= 0 a xdf(x)=xf(x) a 0 a f(x)dx=af(A)一 0 a f(x)dx，其中 af(A)是矩形 ABOC 的面积， 0 a f(x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积，所以上 0 a xf“(x)dx 为曲边三角形 ACD 的面积。11.由曲线 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得12.由曲线 y=1 一(x 一 1) 2 及直线 y=0 围成图形(如图 1
18、33)绕 y 轴旋转一周而成的立体体积 V 是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：按选项，要把曲线表示成 x=x(y)，于是要分成两部分 则 V 是以下两个旋转体的体积之差：13.曲线 r=ae b 的(a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( )（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：利用极坐标表示曲线的弧长公式，14.半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度 =1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：如图 13 一 7 所示，任取x，x+dx0，R，
19、相应的小横条所受压力微元二、填空题(总题数：7，分数：14.00)15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.当 a0 时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x=tant，则 dx=sec 2 tdt，于是 18.已知曲线 y=f(x)过点 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：20.= 1
20、。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x 一 1=sint，则21.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：三、解答题(总题数：23，分数：48.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用分部积分法和换元积分法。 )解析：24.设 f(x)= -1 2 e -y2 dy，计算 I= 1 3 f(x)dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f“(x)=一 e -(x-1)2 ，由分部积分公式可得 )解析：25.设 f“(x)
21、=arcsin(x 一 1) 2 ，f(0)=0，求 0 1 f(x)dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意 )解析：26.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 f(x)连续可导，F(x)= 0 x f(t)f“(2a 一 t)dt。证明：F(2a)一 2F(A)=f 2 (A)-f(0)f(2a)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：连续利用分部积分法有 )解析：29.设 f(x)在(一，+)上连续，证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期
22、函数的充要条件是对任意 a(一，+)恒有 a a+l f(x)dx= a l f(x)dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明： 必要性：设 (A)= a a+1 f(x)dx 一 0 1 (x)dx，由题设 “(A)=f(a+l)一 f(A)=0，则 (A)=c(常数)。设 a=0，则 c=(0)=0，那么上 a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx。 充分性：在 a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx 两边对 a 求导，得 f(a+l)一 f(0)=0，故 f(x)以 l 为周期。)解析：30.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用上述性质，将原
23、区间变换成对称区间，从而利于使用函数的奇偶性，于是)解析：计算下列反常积分(广义积分)。（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 x 2 2x=(x 一 1) 2 1，因此为去掉被积函数中的根号，可令 x 一 1=sect则有 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：采用分解法与分部积分法，由于 ，故可将被积函数分解，并用分部积分法有 )解析：31.设函数 f(x)在0，上连续，且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosdx=0。试证明在(0，)内至少存在两个不同的点 1 ， 2 ，使 f( 1 )=f( 2 )=0。（分数：2.00）_正
24、确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，0x，则有 F(0)=0，F()=0。又因为 0= 0 f(x)cosxdx= 0 cosxdF(x)=F(x)cosx 0 + 0 F(x)sinxdx= 0 F(x)sinxdx，所以存在(0，)，使 F()sin=0，不然，则在(0，)内 F(x)sinx 恒为正或恒为仍与 0 F(x)sinxdx=0 矛盾，但当 (0，)时，sin0，故 F()=0。由以上证得，存在满足 0 的 ，使得 F(0)=F()=F()=0，再对 F(x)在区间0，上分别用罗尔定理知，至少存在 1 (0，)， 2 (，)，使得 F“( 1 )=F“(
25、2 )=0，即 f( 1 )=f( 2 )=0。)解析：32.设 f(x)在0，+连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作函数 F(x)=f(x)+x，有 所以由积分中值定理，存在 a0，1，使 0 1 F(x)dx=(1 一 0)F(A)0，即 F(A)0。又因为 所以，由极限的保号性，存在 ba，使 )解析：33.设 f(x)在0，a上有一阶连续导数，证明至少存在一点 0，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 0 a f(x)dx= 0 a f(x)d(x 一 a) =(x 一 a)f(x) 0 a 一 0 a (x一 a)f“(x)dx =af(0)一
26、 0 a (x 一 a)f“(x)dx 因为 f“(x)连续，所以 f“(x)在0，a上存在最小值 m 和最大值 M，则 m(a 一 x)(ax)f“(x)M(a 一 x)， 故 ，再由介值定理可知，至少存在一点0，a，使得 )解析：34.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在区间a，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而 F(x)=f(x).cosx 在 上连续，由积分中值定理，知存在一点 使得 )解析：35.证明：(I)若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得 a b f(x)dx=f()(b 一
27、a);（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 M 与 m 是连续函数 f(x)在a，b上的最大值与最小值，即 mf(x)M，xa，b。 根据定积分性质，有 m(b 一 a) a b f(x)dxM(b 一 a)， 即 根据连续函数介值定理，至少存在一点 a，b，使得 )解析：36.若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2) 2 3 (x)dx，则至少存在一点(1，3)，使得 “()0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(I)的结论可知至少存在一点 2，3，使 2 3 (x)dx=()(32)=()，又由 (2) 2 3 (x)dx=()，知 23。 对 (x)在1
28、，2，2，上分别应用拉格朗日中值定理，并结合 (1)(2)，()(2)可得 在 1 ， 2 上对导函数“(x)应用拉格朗日中值定理，有 )解析：设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数。（分数：4.00）(1).试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可转化为证明 x 0 f(x 0 )= 0 1 f(x)x。令 (x)=一 x x 1 f(t)dt，则(x)在闭区间0，1上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为 (0)=(1)=
29、0，根据罗尔定理可知，存在 x 0 (0，1)，使得 “(x 0 )=0，即 “(x 0 )=x 0 f(x 0 )一 0 1 f(t)dt=0。也就是 x 0 f(x 0 )= 0 1 f(x)dx。)解析：(2).又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=xf(x)一 0 1 f(t)dt，且由 )解析：37.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 a x f(t)dt a x g(t)dt，xa，b)， a b f(t)dt= a b g(t)dt。证明 a b f(x)dx a b xg(x)dx。（分数：2.00）_正确答
30、案：(正确答案：令 F(x)=f(x)一 g(x)，G(x)= 0 x F(t)dt，由题设 C(x)0，xa，b，且G(A)=G(B)=0，G“(x)=F(x)。从而 a b xF(x)dx= a b xdG(x)=xG(x) a b 一 a b G(x)dx=一 a b G(x)dx。由于 G(x)0，xa，b，故有一 a b G(x)dx0，即 a b xF(x)dx0。因此可得 a b xfdx a b xg(x)dx)解析：38.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0,f“(x)0,g“(x)0。证明对任何 a0，1，有 0 a g(x)f“(x)dx+ 0 1
31、 f(x)g“(x)dxf(A)g(1)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)= 0 x g(t)f“(t)dt+ 0 1 f(t)g“(t)dt 一 f(x)g(1)，则 F(x)在0，1上的导数连续，并且 F“(x)=g(x)f“(x)一 f“(x)g(1)=f“(x)g(x)一 g(1)，由于 x0，1时,f“(x)0，g“(x)0，因此 F“(x)0，即 F(x)在0，1上单调递减。注意到 F(1)= 0 1 g(t)f“(t)dt+ 0 1 f(t)g“(t)dt 一 f(1)g(1)，而又因为 0 1 g(t)f“(t)dt= 0 1 g(t)df(t)=g(t)
32、 0 1 f(t)g“(t)dt=f(1)g(1)一 0 1 f(t)g“(t)dt，故 F(1)=0。因此 x0，1时，F(x)F(1)=0，由此可得对任何 a0，1，有 0 a g(x)f“(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dxf(A)g(1)。)解析：39.设 f(x)在a，b上有连续的导数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：40.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑广义积分 的收敛性。 因此广义积分收敛，即所围成区域的面积存在。取变换 e x =sect，则 x=ln(sect)，e x dx=secttantdt， )解析：41.设 f(x)= -1 2 ttdt(x一 1)，求曲线 y=f(x)与戈轴所围封闭图形的面积。（分数：
