1、考研数学二(一元函数积分学)-试卷 14 及答案解析(总分:90.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:14,分数:28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 (分数:2.00)A.极限存在但不连续。B.连续但不可导。C.可导。D.可导性与 a 有关。3.设 (分数:2.00)A.F(x)在 x=0 处不连续。B.F(x)在(一,+)内连续,但在 x=0 处不可导。C.F(x)在(一,+)内可导,且满足 F“(x)=f(x)。D.F(x)在(一,+)内可导,但不一定满足,F“(x)=f(x)。4.设函数 f(x)连续,则在下列
2、变上限积分定义的函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x f(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f(t) 2 dt5.如图 1-3-1,连续函数 y=f(x)在区间一 3,一 2,2,3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周,在区间一 2,0,0,2的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周。设 F(x)= 0 x f(t)dt,则下列结论正确的是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.6.设函数 (分数:2.00)A.一 2B.2C.一 20D.027.设 m,n 均是正整数,则反常积分 (分数:
3、2.00)A.仅与 m 的取值有关。B.仅与 n 的取值有关。C.与 m,n 的取值都有关。D.与 m,n 的取值都无关。8.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )(分数:2.00)A.一 0 3 e -x sinxdxB. 0 3 e -x sindxC. 0 e -x xsinx 2 e -x sinxdx+ 2 3 e -x sinxdxD. 0 2 e -x sindx 一 2 3 e -x sindx9.曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的平面图形的面积可表示为( )(分数:2.00)A.一 0 2 x(x 一 1)(2
4、一 x)dx。B. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。C.一 0 1 x(x-1)(2x)dx+ 1 2 x(x-1)(2x)dx。D. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。10.如图 1-3_2,曲线段的方程为 y=f(x),函数 f(x)在区间0,a上有连续的导数,则定积分 0 a xf“(x)dx 等于( ) (分数:2.00)A.曲边梯形 ABOD 面积。B.梯形 ABOD 面积。C.曲边三角形 ACD 面积。D.三角形 ACD 面积。11.由曲线 (分数:2.00)A.B.C.D.12.由曲线 y=1 一(x 一 1)
5、 2 及直线 y=0 围成图形(如图 133)绕 y 轴旋转一周而成的立体体积 V 是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.13.曲线 r=ae b 的(a0,b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( )(分数:2.00)A.B.C.D.14.半圆形闸门半径为 R(米),将其垂直放入水中,且直径与水面齐,设水密度 =1。若坐标原点取在圆心,x 轴正向朝下,则闸门所受压力 P 为( )(分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:7,分数:14.00)15.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_16.当 a0 时, (分数:2.00)填空项 1:_17.= 1。 (分数:2.0
6、0)填空项 1:_18.已知曲线 y=f(x)过点 (分数:2.00)填空项 1:_19.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_20.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_21.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:23,分数:48.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.计算 (分数:2.00)_24.设 f(x)= -1 2 e -y2 dy,计算 I= 1 3 f(x)dx。(分数:2.00)_25.设 f“(x)=arcsin(x 一 1) 2 ,f(0)=0,求 0 1 f(x)dx。(分数:2.00)_26.已知 (分数:2
7、.00)_27.设 f(x)连续可导,F(x)= 0 x f(t)f“(2a 一 t)dt。证明:F(2a)一 2F(A)=f 2 (A)-f(0)f(2a)。(分数:2.00)_28.设 f(x)在a,b上有二阶连续导数,证明 (分数:2.00)_29.设 f(x)在(一,+)上连续,证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期函数的充要条件是对任意 a(一,+)恒有 a a+l f(x)dx= a l f(x)dx。(分数:2.00)_30.计算 (分数:2.00)_计算下列反常积分(广义积分)。(分数:4.00)(1). (分数:2.00)_(2). (分数:2.00)_31.设函数 f(x
8、)在0,上连续,且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosdx=0。试证明在(0,)内至少存在两个不同的点 1 , 2 ,使 f( 1 )=f( 2 )=0。(分数:2.00)_32.设 f(x)在0,+连续,且 (分数:2.00)_33.设 f(x)在0,a上有一阶连续导数,证明至少存在一点 0,a,使得 (分数:2.00)_34.设 f(x)在区间a,b上可导,且满足 (分数:2.00)_35.证明:(I)若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,则至少存在一点 a,b,使得 a b f(x)dx=f()(b 一 a);(分数:2.00)_36.若函数 (x)具有二阶导数,且满足 (2)(1)
9、,(2) 2 3 (x)dx,则至少存在一点(1,3),使得 “()0。(分数:2.00)_设 y=f(x)是区间0,1上的任一非负连续函数。(分数:4.00)(1).试证存在 x 0 (0,1),使得在区间0,x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积等于在区间x 0 ,1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积;(分数:2.00)_(2).又设 f(x)在区间(0,1)内可导,且 (分数:2.00)_37.设 f(x),g(x)在a,b上连续,且满足 a x f(t)dt a x g(t)dt,xa,b), a b f(t)dt= a b g(t)dt。证明 a b f(x)dx a b xg(
10、x)dx。(分数:2.00)_38.设 f(x),g(x)在0,1上的导数连续,且 f(0)=0,f“(x)0,g“(x)0。证明对任何 a0,1,有 0 a g(x)f“(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dxf(A)g(1)。(分数:2.00)_39.设 f(x)在a,b上有连续的导数,证明 (分数:2.00)_40.设 (分数:2.00)_41.设 f(x)= -1 2 ttdt(x一 1),求曲线 y=f(x)与戈轴所围封闭图形的面积。(分数:2.00)_42.椭球面 S 2 是椭圆 绕戈轴旋转一周而成,圆锥面 S 2 是过点(4,0)且与椭圆 (分数:2.00)_考研数学二(一元
11、函数积分学)-试卷 14 答案解析(总分:90.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:14,分数:28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 (分数:2.00)A.极限存在但不连续。B.连续但不可导。C.可导。D.可导性与 a 有关。 解析:解析:3.设 (分数:2.00)A.F(x)在 x=0 处不连续。B.F(x)在(一,+)内连续,但在 x=0 处不可导。 C.F(x)在(一,+)内可导,且满足 F“(x)=f(x)。D.F(x)在(一,+)内可导,但不一定满足,F“(x)=f(x)。解析:解析:关于具有跳跃间断点
12、的函数的变限积分,有下述定理: 设 f(x)在a,b上除点 c(a,b)外的其他点都连续,且 x=c 为 f(x)的跳跃间断点。又设 F(x)= c x f(t)dt,则: F(x)在a,b上必连续; 当 xa,b且 xc 时,F“(x)=f(x); F“(C)必不存在,且 F + “?=f(c + ),F - “(C)=f(c - )。直接利用上述结论(本题中的 c=0),可知选项 B 正确。4.设函数 f(x)连续,则在下列变上限积分定义的函数中,必为偶函数的是( )(分数:2.00)A. 0 x f(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dt C. 0 x f(t
13、 2 )dtD. 0 x f(t) 2 dt解析:解析:取 f(x)=x,则相应的5.如图 1-3-1,连续函数 y=f(x)在区间一 3,一 2,2,3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周,在区间一 2,0,0,2的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周。设 F(x)= 0 x f(t)dt,则下列结论正确的是( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:结合定积分的几何意义,可知6.设函数 (分数:2.00)A.一 2B.2C.一 20D.02 解析:解析:根据反常积分的收敛性判断,将已知积分分解为7.设 m,n 均是正整数,则反常积分 (分数:2.00)A.仅与 m 的取值有
14、关。B.仅与 n 的取值有关。C.与 m,n 的取值都有关。D.与 m,n 的取值都无关。 解析:解析:显然 x=0,x=1 是该积分的两个瑕点,因此有 对于 等价于 因为 m,n 均为正整数,有 收敛。对于 的瑕点 x=1,当 时 而积分 显然收敛,因此积分8.曲线 y=e -x sinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积可表示为( )(分数:2.00)A.一 0 3 e -x sinxdxB. 0 3 e -x sindxC. 0 e -x xsinx 2 e -x sinxdx+ 2 3 e -x sinxdx D. 0 2 e -x sindx 一 2 3 e -x sindx解析:
15、解析:当 0x 或 2,x3 时 y0,当 x2 时 y0.所以 y=e -x fsinx(0x3)与 x 轴所围成图形的面积为 0 e -x sinxdx 2 e -x sinxdx+ 2 3 e -x sinxdx。故选 C。9.曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的平面图形的面积可表示为( )(分数:2.00)A.一 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。B. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx。C.一 0 1 x(x-1)(2x)dx+ 1 2 x(x-1)(2x)dx。 D. 0 2 x(x 一 1)(
16、2 一 x)dx。解析:解析:由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分,其面积为这两部分的面积之和,所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可,显然 C 正确。事实上,S= 0 2 ydx= 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx= 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx+ 1 2 x(x 一 1)(2 一 x)ax=一 0 1 z(x-1)(2x)dx+ 1 2 x(x-1)(2x)dx。10.如图 1-3_2,曲线段的方程为 y=f(x),函数 f(x)在区间0,a上有连续的导数,则定积分 0 a xf“(x)dx 等于( ) (分数:2.00)A.曲边梯形 ABOD
17、 面积。B.梯形 ABOD 面积。C.曲边三角形 ACD 面积。 D.三角形 ACD 面积。解析:解析:因为 0 a xf“(x)dx= 0 a xdf(x)=xf(x) a 0 a f(x)dx=af(A)一 0 a f(x)dx,其中 af(A)是矩形 ABOC 的面积, 0 a f(x)dx 为曲边梯形 ABOD 的面积,所以上 0 a xf“(x)dx 为曲边三角形 ACD 的面积。11.由曲线 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由曲线 y=f(x)绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式,得12.由曲线 y=1 一(x 一 1) 2 及直线 y=0 围成图形(如图 1
18、33)绕 y 轴旋转一周而成的立体体积 V 是( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:按选项,要把曲线表示成 x=x(y),于是要分成两部分 则 V 是以下两个旋转体的体积之差:13.曲线 r=ae b 的(a0,b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( )(分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:利用极坐标表示曲线的弧长公式,14.半圆形闸门半径为 R(米),将其垂直放入水中,且直径与水面齐,设水密度 =1。若坐标原点取在圆心,x 轴正向朝下,则闸门所受压力 P 为( )(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:如图 13 一 7 所示,任取x,x+dx0,R,
19、相应的小横条所受压力微元二、填空题(总题数:7,分数:14.00)15.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:16.当 a0 时, (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:17.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 x=tant,则 dx=sec 2 tdt,于是 18.已知曲线 y=f(x)过点 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:19.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 4)解析:解析:20.= 1
20、。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 x 一 1=sint,则21.= 1。 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:三、解答题(总题数:23,分数:48.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:23.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:使用分部积分法和换元积分法。 )解析:24.设 f(x)= -1 2 e -y2 dy,计算 I= 1 3 f(x)dx。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f“(x)=一 e -(x-1)2 ,由分部积分公式可得 )解析:25.设 f“(x)
21、=arcsin(x 一 1) 2 ,f(0)=0,求 0 1 f(x)dx。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意 )解析:26.已知 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.设 f(x)连续可导,F(x)= 0 x f(t)f“(2a 一 t)dt。证明:F(2a)一 2F(A)=f 2 (A)-f(0)f(2a)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:28.设 f(x)在a,b上有二阶连续导数,证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:连续利用分部积分法有 )解析:29.设 f(x)在(一,+)上连续,证明 f(x)是以 l(0)为周期的周期
22、函数的充要条件是对任意 a(一,+)恒有 a a+l f(x)dx= a l f(x)dx。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:证明: 必要性:设 (A)= a a+1 f(x)dx 一 0 1 (x)dx,由题设 “(A)=f(a+l)一 f(A)=0,则 (A)=c(常数)。设 a=0,则 c=(0)=0,那么上 a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx。 充分性:在 a a+l f(x)dx= 0 l f(x)dx 两边对 a 求导,得 f(a+l)一 f(0)=0,故 f(x)以 l 为周期。)解析:30.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:利用上述性质,将原
23、区间变换成对称区间,从而利于使用函数的奇偶性,于是)解析:计算下列反常积分(广义积分)。(分数:4.00)(1). (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 x 2 2x=(x 一 1) 2 1,因此为去掉被积函数中的根号,可令 x 一 1=sect则有 )解析:(2). (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:采用分解法与分部积分法,由于 ,故可将被积函数分解,并用分部积分法有 )解析:31.设函数 f(x)在0,上连续,且 0 f(x)dx= 0 f(x)cosdx=0。试证明在(0,)内至少存在两个不同的点 1 , 2 ,使 f( 1 )=f( 2 )=0。(分数:2.00)_正
24、确答案:(正确答案:令 F(x)= 0 x f(t)dt,0x,则有 F(0)=0,F()=0。又因为 0= 0 f(x)cosxdx= 0 cosxdF(x)=F(x)cosx 0 + 0 F(x)sinxdx= 0 F(x)sinxdx,所以存在(0,),使 F()sin=0,不然,则在(0,)内 F(x)sinx 恒为正或恒为仍与 0 F(x)sinxdx=0 矛盾,但当 (0,)时,sin0,故 F()=0。由以上证得,存在满足 0 的 ,使得 F(0)=F()=F()=0,再对 F(x)在区间0,上分别用罗尔定理知,至少存在 1 (0,), 2 (,),使得 F“( 1 )=F“(
25、2 )=0,即 f( 1 )=f( 2 )=0。)解析:32.设 f(x)在0,+连续,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:作函数 F(x)=f(x)+x,有 所以由积分中值定理,存在 a0,1,使 0 1 F(x)dx=(1 一 0)F(A)0,即 F(A)0。又因为 所以,由极限的保号性,存在 ba,使 )解析:33.设 f(x)在0,a上有一阶连续导数,证明至少存在一点 0,a,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由已知 0 a f(x)dx= 0 a f(x)d(x 一 a) =(x 一 a)f(x) 0 a 一 0 a (x一 a)f“(x)dx =af(0)一
26、 0 a (x 一 a)f“(x)dx 因为 f“(x)连续,所以 f“(x)在0,a上存在最小值 m 和最大值 M,则 m(a 一 x)(ax)f“(x)M(a 一 x), 故 ,再由介值定理可知,至少存在一点0,a,使得 )解析:34.设 f(x)在区间a,b上可导,且满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(x)在区间a,b上可导,知 f(x)在区间a,b上连续,从而 F(x)=f(x).cosx 在 上连续,由积分中值定理,知存在一点 使得 )解析:35.证明:(I)若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,则至少存在一点 a,b,使得 a b f(x)dx=f()(b 一
27、a);(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 M 与 m 是连续函数 f(x)在a,b上的最大值与最小值,即 mf(x)M,xa,b。 根据定积分性质,有 m(b 一 a) a b f(x)dxM(b 一 a), 即 根据连续函数介值定理,至少存在一点 a,b,使得 )解析:36.若函数 (x)具有二阶导数,且满足 (2)(1),(2) 2 3 (x)dx,则至少存在一点(1,3),使得 “()0。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(I)的结论可知至少存在一点 2,3,使 2 3 (x)dx=()(32)=(),又由 (2) 2 3 (x)dx=(),知 23。 对 (x)在1
28、,2,2,上分别应用拉格朗日中值定理,并结合 (1)(2),()(2)可得 在 1 , 2 上对导函数“(x)应用拉格朗日中值定理,有 )解析:设 y=f(x)是区间0,1上的任一非负连续函数。(分数:4.00)(1).试证存在 x 0 (0,1),使得在区间0,x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积等于在区间x 0 ,1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:本题可转化为证明 x 0 f(x 0 )= 0 1 f(x)x。令 (x)=一 x x 1 f(t)dt,则(x)在闭区间0,1上是连续的,在开区间(0,1)上是可导的,又因为 (0)=(1)=
29、0,根据罗尔定理可知,存在 x 0 (0,1),使得 “(x 0 )=0,即 “(x 0 )=x 0 f(x 0 )一 0 1 f(t)dt=0。也就是 x 0 f(x 0 )= 0 1 f(x)dx。)解析:(2).又设 f(x)在区间(0,1)内可导,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)=xf(x)一 0 1 f(t)dt,且由 )解析:37.设 f(x),g(x)在a,b上连续,且满足 a x f(t)dt a x g(t)dt,xa,b), a b f(t)dt= a b g(t)dt。证明 a b f(x)dx a b xg(x)dx。(分数:2.00)_正确答
30、案:(正确答案:令 F(x)=f(x)一 g(x),G(x)= 0 x F(t)dt,由题设 C(x)0,xa,b,且G(A)=G(B)=0,G“(x)=F(x)。从而 a b xF(x)dx= a b xdG(x)=xG(x) a b 一 a b G(x)dx=一 a b G(x)dx。由于 G(x)0,xa,b,故有一 a b G(x)dx0,即 a b xF(x)dx0。因此可得 a b xfdx a b xg(x)dx)解析:38.设 f(x),g(x)在0,1上的导数连续,且 f(0)=0,f“(x)0,g“(x)0。证明对任何 a0,1,有 0 a g(x)f“(x)dx+ 0 1
31、 f(x)g“(x)dxf(A)g(1)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 F(x)= 0 x g(t)f“(t)dt+ 0 1 f(t)g“(t)dt 一 f(x)g(1),则 F(x)在0,1上的导数连续,并且 F“(x)=g(x)f“(x)一 f“(x)g(1)=f“(x)g(x)一 g(1),由于 x0,1时,f“(x)0,g“(x)0,因此 F“(x)0,即 F(x)在0,1上单调递减。注意到 F(1)= 0 1 g(t)f“(t)dt+ 0 1 f(t)g“(t)dt 一 f(1)g(1),而又因为 0 1 g(t)f“(t)dt= 0 1 g(t)df(t)=g(t)
32、 0 1 f(t)g“(t)dt=f(1)g(1)一 0 1 f(t)g“(t)dt,故 F(1)=0。因此 x0,1时,F(x)F(1)=0,由此可得对任何 a0,1,有 0 a g(x)f“(x)dx+ 0 1 f(x)g“(x)dxf(A)g(1)。)解析:39.设 f(x)在a,b上有连续的导数,证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:40.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:考虑广义积分 的收敛性。 因此广义积分收敛,即所围成区域的面积存在。取变换 e x =sect,则 x=ln(sect),e x dx=secttantdt, )解析:41.设 f(x)= -1 2 ttdt(x一 1),求曲线 y=f(x)与戈轴所围封闭图形的面积。(分数: