1、考研数学二（一元函数积分学）-试卷 13 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：13，分数：26.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.求 （分数：2.00）填空项 1:_6.计算 （分数：2.00
2、）填空项 1:_7.计算 （分数：2.00）填空项 1:_8.计算 （分数：2.00）填空项 1:_9.计算 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(-x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.I(x)= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_16.y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00
3、)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_18.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_21.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_22.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式： （分数：2.00）_设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且a1（分数：4.00）
4、(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：2.00）_(2).求该最小值所对应的平面图形绕 X 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_23.求曲线 y=3-x 2 -1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_24.求椭圆 （分数：2.00）_25.计算 I= （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.计算定积分 （分数：2.00）_28.证明： （分数：2.00）_29.证明：当 x0 时，f(x)= （分数：2.00）_30.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x
5、2 a，b满足： f(tx 1 +(1-t)x 2 )tf(x 1 )+(1-t)f(x 2 ) 证明： （分数：2.00）_31.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且（分数：2.00）_32.令 f(x)=x-x，求极限 （分数：2.00）_33.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?（分数：2.00）_考研数学二（一
6、元函数积分学）-试卷 13 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设3.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 tf(t)-f(-t)为偶函数，所以 tf(t)-f(-t)dt 为奇函数，(A)不对； 因为f(t 2 )为偶函数，所以 f(
7、t 2 )dt 为奇函数，(C)不对； 因为不确定 f 2 (t)的奇偶性，所以(D)不对；令 F(x)= tf(t)+f(-t)dt， F(-x)= 二、填空题(总题数：13，分数：26.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.求 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：6.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
8、解析：9.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 -e）解析：解析：11.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为13.设连续非负函数 f(x)满足 f(x)f(-x)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：14.I(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln3
9、）解析：解析：令 I“(x)= 时，I“(x)0，当 x 为 I(x)在-1，1上的最小值点，又15.设 f(x)的一个原函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：18，分数：36.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：18.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 且 f(a)=f(b)=0，所以 )解析：19.设 f(x)在a，b上连续可导，证明： （
10、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以f(x)在a，b上连续，令 根据积分中值定理， ，其中 a，b 由积分基本定理，f(c)=f()+ ，取绝对值得 )解析：20.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式，得 f(t)= )解析：21.设 f(x)在区间a，b上二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(x)= ，其中 介于 x 与 之间，因为 f“(x)0，所以有 因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调不减，于是 “(x)0(axb)，
11、)解析：22.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(t)=Int(t0)，g“(t)= ，则有 g(t)g(x 0 )+g“(x 0 )(t-x 0 ) gf(x)g(x 0 )+g“(x 0 )f(x)-x 0 ，两边积分，得 )解析：设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且a1（分数：4.00）(1).确定 a，使 S 1 +S 2 达到最小，并求出最小值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 的交点为(0
12、，0)，(a，a 2 ) 当 0a1 时，S=S 1 +S 2 = 令 S“=a 2 - 时，S 1 +S 2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时，S= 因为 S“= 0，所以 S(a)单调减少，故 a=0 时 S 1 +S 2 取最小值，而 S(0) )解析：(2).求该最小值所对应的平面图形绕 X 轴旋转一周所得旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：旋转体的体积为 )解析：23.求曲线 y=3-x 2 -1与 x 轴围成的封闭区域绕直线 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕 y=3 旋转所
13、成的体积 当x0 时，y= dV 1 =3 2 -3-(x 2 +2)dx=(2x 2 -x 4 +8)dx， dV 2 =3 2 -3-(4-x 2 ) 2 dx=(2x 2 -x 4 +8)dx， )解析：24.求椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积则第一象限围成的面积为 )解析：25.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= ，令-sinx=u，则 )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 令
14、方法二 令 x=tant，则 )解析：28.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：29.证明：当 x0 时，f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，令 f“(x)=(x-x 2 )sin 2n x=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)，当0x1 时，f“(x)0；当 x1 时，f“(x)0(除 x=k(k=1，2，)外 f“(x)0)，于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当 x0，1时，(x-x 2 )sin 2n x(x-x 2 )x 2n =x 2n+1 -x 2n+2
15、于是 )解析：30.设 f(x)在a，b上连续，且对任意的 t0，1及任意的 x 1 ，x 2 a，b满足： f(tx 1 +(1-t)x 2 )tf(x 1 )+(1-t)f(x 2 ) 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：31.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，(x)是区间a，b上的非负连续函数，且（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)0，所以有 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 ) 取 x 0 = ，因为 (x)0，所以 a(x)x(x)b(x)，又 ，于是有 代入 f(x)f(x 0 )+
16、f“(x 0 )(x-x 0 )中，再由 (x)0，得 f(x)(x)f(x 0 )(x)+f“(x 0 )x(x)-x 0 (x)， 上述不等式两边再在区间a，b上积分，得 )解析：32.令 f(x)=x-x，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为x+m=x+m(其中 m 为整数)，所以 f(x)=x-x是以 1 为周期的函数，又xx，故 f(x)0，且 f(x)在0，1上的表达式为 f(x)= 对充分大的 x，存在自然数 n，使得nxn+1，则 )解析：33.为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放人井底，抓起污泥提出井口设井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗盛
17、污泥 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以 20Ns 的速度从抓斗中漏掉现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设拉力对空斗所做的功为 W 1 ，则 W 1 =40030=12000J 设拉力对绳所做的功为 W 2 ，任取x，x+dx 0，30，dW 2 =50(30-x)dx， 则 W 2 = dW 2 =22500J 设拉力对污泥做功为 W 3 ，任取t，t+dt 0，10， dW 3 =(2000-20t)3dt， 则 W 3 = dW 3 =57000J，拉力克服重力所做的功为 W=W 1 +W 2 +W 3 =91500J )解析：
