1、考研数学二（一元函数积分学）-试卷 11 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)3.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1
2、 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：4.00）(1).证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：2.00）_(2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 f“(x) （分数：2.00）_10.求圆 x 2 +y 2 =2y 内位于抛物线 y=x 2 上方部分的面积（分数：2.00）_11.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的
3、面积（分数：2.00）_12.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比（分数：2.00）_13.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 y= （分数：2.00）_14.设曲线 y=a+x-x 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_
4、15.曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_16.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_17.求曲线 y=3-x 2 -1与 z 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_18.求由曲线 y=4-x 2 与 z 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_19.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_2
5、0.求摆线 （分数：2.00）_21.设曲线 （分数：2.00）_22.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_设直线 y=kx 与曲线 y= （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_(2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：2.00）_23.求摆线 （分数：2.00）_24.设曲线 （分数：2.00）_25.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的
6、密度为 1，求将球从水中取出所做的功（分数：2.00）_考研数学二（一元函数积分学）-试卷 11 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：曲线 y=x(x-1)(2-x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1，x=2， 当 0x1 时，y0；当1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)二、填空题(总题数：6，分数：
7、12.00)3.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方法一5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明
8、过程或演算步骤。_解析：设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：4.00）(1).证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 1 (c)=cf(c)，S 2 (c)= ，即证明 S 1 (c)=S 2 (c)，或 cf(f)+ ，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 “(c)=0，即 cf(c)+ )解析：(2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=xf(x)- )解析
9、：10.求圆 x 2 +y 2 =2y 内位于抛物线 y=x 2 上方部分的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：11.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令 则双纽线的极坐标形式为 r 2 = )解析：12.抛物线 y 2 =2x 把圆 x 2 +y 2 =8 分成两个部分，求左右两个部分的面积之比（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设左边的面积为 S 1 ，右边的面积为 S 2 ， )解析：13.设 C 1 ，C 2 是任意两条过原点
10、的曲线，曲线 C 介于 C 1 ，C 2 之间，如果过 C 上任意一点 P 引平行于 x 轴和 y 轴的直线，得两块阴影所示区域 A，B 有相等的面积，设 C 的方程是 y=x 2 ，C 1 的方程是 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 C：y=x 2 ，C 1 ：y= ，令 C 2 ：x=f(y)，P 点坐标为(x，y)， )解析：14.设曲线 y=a+x-x 3 ，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=a+x-x 3 与 x
11、轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 因为 0，所以 4+2- 3 =0 又因为(，0)为曲线 y=a+x-x 3 与 x 轴的交点，所以有 +- 3 =0，从而有 )解析：15.曲线 y=(x-1)(x-2)和 x 轴围成平面图形，求此平面图形绕 y 轴一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+dx 1，2，dv=2x(x-1)(x-2)dx=-2nx(x-1)(x-2)dx，)解析：16.设平面图形 D 由 x 2 +y 2 2x 与 yx 围成，求图形 D 绕直线 x=2 旋转一周所成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+d
12、x )解析：17.求曲线 y=3-x 2 -1与 z 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+dx 0，1， dv 1 =3 2 -(x 2 -1) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx， dv 2 =3 2 -(1-x 2 ) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx， )解析：18.求由曲线 y=4-x 2 与 z 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 取x，x+dx -2，2，则 dV=2(3-x)(4-x 2 )dx， )解析：19.曲线 y=x 2
13、(x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为(a，a 2 )(a0)，则切线方程为 y-a 2 =2a(x-a)，即 y=2ax-a 2 ， 由题意得 ，解得 a=1 则切线方程为 y=2x-1，旋转体的体积为 V= )解析：20.求摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4-a曲线可化为 于是 V(a)=V 1 (a)+V 2 (a)= 令 V“(a)= ，又 V“(2)0
14、，所以 a=2 时，两体积之和最大，且最大值为 V(2)= )解析：22.设一抛物线 y=ax 2 +bx+c 过点(0，0)与(1，2)，且 a0，确定 a，b，c，使得抛物线与 x 轴所围图形的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线过原点，所以 c=0，又曲线过点(1，2)，所以 a+b=2，b=2-a 因为a0，所以 b0，抛物线与 z 轴的两个交点为 0， ，所以 )解析：设直线 y=kx 与曲线 y= （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_正确答
15、案：(正确答案：由方程组 )解析：(2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 S(k)= )解析：23.求摆线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点为 ，则过原点的切线方程为 将 由曲线 在区间1，2上的一段绕 z 轴一周所得旋转面的面积为 切线 在区间0，2上一段绕 x 轴一周所得旋转曲面面积为 所求旋转曲面的表面积为 S=S 1 +S 2 = )解析：25.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， dw=(2R-x)R 2 -(R-x) 2 1gdx=x(2R-x) 2 gdx， )解析：
