1、考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用）-试卷 2 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：64.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.求 （分数：2.00）_3.求 （分数：2.00）_4.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_5.求极限 = （分数：2.00）_6.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x(a+ （分数：2.00）_7.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_8.设 0x ，证明 （分数：2.00）_9.设 f(x)在0，
2、1二阶可导，f(0)a，f(1)a，f“(x)b，a，b 为非负数，求证：c(0，1)，有f(c)2a+ （分数：2.00）_10.设 f(x)在a，b三次可微，证明： (a，b)，使得 （分数：2.00）_11.在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3 )； ()f(x)=sin(sinx)(x 3 )（分数：2.00）_12.求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： ()f(x)= （分数：2.00）_13.用泰勒公式求下列极限： （分数：2.00）_14.用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数： ()
3、 （分数：2.00）_15.设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 （分数：2.00）_16.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使f“()4（分数：2.00）_17.设 f(x)在(x 0 ，x 0 +)有 n 阶连续导数，且 f (k) (x 0 )=0，k=2，3，n1；f (n) (x 0 )0当 0h 时，f(x 0 +h)f(x 0 )=hf(x 0 +h)，(01)求证： （分数：2.00）_18.求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式： ()f(x)=e x cosx(x 3 )； ()f(
4、x)= (x 3 ) ()f(x)= （分数：2.00）_19.求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： ()f(x)=sin 3 x； ()f(x)=xln(1x 2 )（分数：2.00）_20.确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数： ()f(x)=e x 1x xsinx； ()f(x)=(1+ （分数：2.00）_21.求下列极限： （分数：2.00）_22.确定常数 a 和 b 的值，使得 （分数：2.00）_23.设 f(x)=x 2 sinx，求 f (n) (0)（分数：2.00）_24.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= （分数：2.00）_25.设 f(x)
5、在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 xa 的 n 阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x)当xa 时是 xa 的 n1 阶无穷小（分数：2.00）_26.设 f(x)在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f“(a)=f“(a)=0，但 f (4) (a)0，求证：当 f (4) (a)0(0)时 x=a 是 f(x)的极小(大)值点（分数：2.00）_27.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g(x)有相同的凹凸性求证：曲线y=f(x)和 y=g(x)在点(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f
6、(x)g(x)=o(xx 0 ) 2 )(xx 0 )（分数：2.00）_28.求 f(x)=3 x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式（分数：2.00）_29.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，证明： (a，b)使得 （分数：2.00）_30.设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n 次多项式的充要条件是 f (n+1) (x)0，f (n) (x)0（分数：2.00）_31.设 f(x)在(0，+)二阶可导且 f(x)，f“(x)在(0，+)上有界，求证：f(x)在(0，+)上有界（分数：2.00）_32.设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f“(x)
7、0(x(a，b)，求证： （分数：2.00）_考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用）-试卷 2 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：64.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，从而 )解析：3.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 t=x 2 代入 e t =1+t+ +o(t“) (t0)即得 )解析：4.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(arctanx)= =1x
8、 2 +x 4 +o(x 5 )，由该式逐项积分即得 )解析：5.求极限 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：6.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x(a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用 ，可得 不难看出当 1ab=0 与 b=0 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 ，并且得到 f(x)= )解析：7.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)先转化已知条件由 =e 4 知 再用当 x0 时的等价无穷小因子替换 ln1+f(x)f(x)，可得 =4 2)用 o(1)表示当 x0 时的
9、无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用 x n o(1)=o(x n )可得 f(x)=4x n +o(x n )从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0，f(0)=0，f (n1) (0)=0， )解析：8.设 0x ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式 )解析：9.设 f(x)在0，1二阶可导，f(0)a，f(1)a，f“(x)b，a，b 为非负数，求证：c(0，1)，有f(c)2a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： x0，1， c(0，1)，有 f(x)=f(c)+f(c)
10、(xc)+ f“()(xc) 2 ， (*) 其中 =c+(xc)，01 在(*)式中，令 x=0，得 f(0)=f(c)+f(c)(c)+ f“( 1 )c 2 ，0 1 c1； 在(*)式中，令 x=1，得 f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ f( 2 )(1c) 2 ，0c 2 1 上面两式相减得 f(1)f(0)=f(c)+ f“( 2 )(1c) 2 f“( 1 )c 2 从而 f(c)=f(1)f(0)+ f“( 1 )c 2 f“( 2 )(1c) 2 ，两端取绝对值并放大即得 )解析：10.设 f(x)在a，b三次可微，证明： (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案
11、：(正确答案：将 f(x)在 x 0 = 展成二阶泰勒公式并分别令 x=b 与 x=a 得 其中 1 ， 2 (a，b)上面两式相减得 注意： f“( 1 )+f“( 2 )介于 f“( 1 )与f“( 2 )之间，由导函数取中间值定理，可得 (a，b)， 使得 f“()= )解析：11.在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3 )； ()f(x)=sin(sinx)(x 3 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() f(0)=0， f“(0)=0，f“(x)= ，f“(0)=2， = f(x)=f(0)+f(0)x+ +o(x 3 )， 即 ta
12、nx=x+ x 3 +o(x 3 ) ()已知 sinu=u +o(u 3 )(u0)，令 u=sinx = sin(sinx)=sinx sin 3 x+o(sin 3 x) 再将 sinx=x x 3 +o(x 3 )，代入得 )解析：12.求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式： ()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 ，可得对 m=1，2，3，有 ()用归纳法求出 f (n) (x)的统一公式 )解析：13.用泰勒公式求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用 e t ，ln(1+t)，cost，sint 的泰勒
13、公式，将分子、分母中的函数在 x=0展开由于 再求分子的泰勒公式由 x 2 e 2x =x 2 1+(2x)+o(x)=x 2 +2x 3 +o(x 3 )，ln(1x 2 )=x 2 +o(x 3 )， = x 2 e 2x +ln(1x 2 )=2x 3 +o(x 3 ) 因此 ()由 ln(1+x)=x x 2 +o(x 2 )(x0)，令 x= ，即得 )解析：14.用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数： () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 因此当 x0 时 是 x 的二阶无穷小量 ()因 e t 1t= t 2 +o(t 2 )，从而(e t
14、 1t) 2 = ，代入得 0 x (e t 1t) 2 dt= )解析：15.设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别讨论 x1 与 0x1 两种情形 1)当 x1 时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f(x)+ (xx+1)， f(x1)=f(x)f(x)+ (x1x)， 两式相加并移项即得 f“(x)=f(x+1)+f(x1)2f(x)+ f“()f“()， 则当 x1 时有f“(x)4M 0 + )解析：16.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使f“()4（分
15、数：2.00）_正确答案：(正确答案：把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“( 1 )x 2 (0 1 x)， f(x)=f(1)+f(1)(x1)+ f“( 2 )(x1) 2 (x 2 1) 在公式中取 x= 并利用题设可得 两式相减消去未知的函数值 )解析：17.设 f(x)在(x 0 ，x 0 +)有 n 阶连续导数，且 f (k) (x 0 )=0，k=2，3，n1；f (n) (x 0 )0当 0h 时，f(x 0 +h)f(x 0 )=hf(x 0 +h)，(01)求证： （分数：2.00）_正确
16、答案：(正确答案：这里 m=1，求的是 f(x 0 +h)f(x 0 )=hf(x 0 +h)(01)当 h0 时中值 的极限为解出 ，按题中条件，将 f(x 0 +h)在 x=x 0 展开成带皮亚诺余项的 n1 阶泰勒公式得 代入原式得 f(x 0 +h)f(x 0 )=hf(x 0 )+ f (n) (x 0 ) n1 h n +o(h n ) 再将f(x 0 +h)在 x=x 0 展开成带皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式 f(x 0 +h)f(x 0 )=f(x 0 )h+ (x 0 )h n +o(h n ) =f(x 0 )h+ (x 0 )h n +o(h n )(h0)， 将代入后两
17、边除以 h n 得 )解析：18.求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式： ()f(x)=e x cosx(x 3 )； ()f(x)= (x 3 ) ()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()e x =1+x+ +o(x 3 )，cosx=1 +o(x 3 )， 相乘得 )解析：19.求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： ()f(x)=sin 3 x； ()f(x)=xln(1x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数： ()f(x)=e x 1x xsinx； ()f(x)=(1+
18、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用泰勒公式确定无穷小的阶 原式= 所以 x0 时 e x 1x 是 x 的 3 阶无穷小 ()用泰勒公式确定无穷小的阶 原式= 所以 x0 时 cosx+ )解析：21.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(用泰勒公式)由于当 x0 时分母是 x 3 阶的无穷小量，而当 x0 时 因此当 x0 时， e x sinx= 注意到当 x0 时 ()由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数 因此当 x0 时 ()因为当 x0 时 ，从而 把麦克劳林公式 代入即得 )解析：22.确定常数 a 和 b 的值，使得 （
19、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(用泰勒公式)因为 ln(12x+3x 2 )=2x+3x 2 (2x+3x 2 ) 2 +o(2x+3x 2 ) 2 ) =2x+3x 2 2x 2 +o(x 2 )=2x+x 2 +o(x 2 )， 于是 =6 可以改写为 由此即得 a2=0，b+1=6，故 a=2，b=5 )解析：23.设 f(x)=x 2 sinx，求 f (n) (0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= ， =f (2n+1) (0)= )解析：24.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设易知， ，0x
20、时 f(x)0进一步有 =f(0)=0 由e f(x) 1f(x)，cosx1 (x0)，用等价无穷小因子替换，原条件改写成 由极限与无穷小关系得，x0 时 =1+o(1)， (o(1)为无穷小)，即 由泰勒公式唯一性得 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)= )解析：25.设 f(x)在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 xa 的 n 阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x)当xa 时是 xa 的 n1 阶无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在 x=a 可展开成 由 xa 时 f(x)是(xa)的 n 阶无穷小 = f(a)=f(a)=f (n
21、1) (a)=0，f (n) (a)0 又 f(x)在 x=a 邻域(n1)阶可导，f (n1) (x)在 x=a 可导 由 g(x)=f(x)在 x=a 处 n1 阶可导 = g(x)=g(a)+g(a)(xa)+ g (n1) (a)(xa) n1 +o(xa) n1 )， )解析：26.设 f(x)在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f“(a)=f“(a)=0，但 f (4) (a)0，求证：当 f (4) (a)0(0)时 x=a 是 f(x)的极小(大)值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 o(1)为无穷小量(xa 时)，因此， 0，当 0xa 时 )解析：27.设
22、 f(x)，g(x)在 x=x 0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g(x)有相同的凹凸性求证：曲线y=f(x)和 y=g(x)在点(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)g(x)=o(xx 0 ) 2 )(xx 0 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：相交与相切即 f(x)=g(x 0 )，f(x 0 )=g(x 0 )若又有曲率相同，即 由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或 f“(x 0 )=g“(x 0 )=0 或 f“(x 0 )与 g“(x 0 )同号，于是 f“(x 0 )=g“(x 0 )因此，在所设条件下，曲线 y=f(x)
23、，y=g(x)在(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率 f(x 0 )g(x 0 )=0，f(x 0 )g(x 0 )=0，f“(x 0 )g“(x 0 )=0 f(x)g(x)=f(x 0 )g(x 0 )+ )解析：28.求 f(x)=3 x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f (m) (x)=3 x (ln3) m ，f (m) (0)=(ln3) m ，则 )解析：29.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，证明： (a，b)使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 x= 处展开成 分别令 x=a，b =
24、两式相加 = 由导函数的中间值定理 = 在 1 ， 2 之间(a，b)，使得 )解析：30.设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n 次多项式的充要条件是 f (n+1) (x)0，f (n) (x)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ 若 f (n+1) (x)0，f (n) (x)0，由上式 = f(x)=f(0)+f(0)x+ )解析：31.设 f(x)在(0，+)二阶可导且 f(x)，f“(x)在(0，+)上有界，求证：f(x)在(0，+)上有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按条件
25、，联系 f(x)，f“(x)与 f(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式 x0，h0 有 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ f“()h 2 ， 其中 (x，x+h)特别是，取h=1，(x，x+1)，有 f(x+1)=f(x)+f(x)+ f“()，即 f(x)=f(x+1)f(x) f“() 由题设，f(x)M 0 ，f“(x)M 2 ( x(0，+)，M 0 ，M 2 为常数，于是有 )解析：32.设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f“(x)0(x(a，b)，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：联系 f(x)与 f“(x)的是泰勒公式 两边在a，b上积分得 a b f(x 0 )dx a b f(x)dx+ a b f(x)(x 0 x)dx= a b f(x)dx+ a b (x 0 x)df(x) = a b f(x)dx(bx 0 )f(b)(x 0 a)f(a)+ a b f(x)dx 2 a b f(x)dx 因此 f(x 0 )(ba)2 a b f(x)dx，即 )解析：
