1、考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷 3 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.方程 ysinx=ylny 满足条件 =e 的特解是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C 3 B.x 2 +y 2 =CC.y=ln(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2
2、x+C 2 cos 2 x4.方程 y-2y+3y=e x sin 的特解的形式为 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 y 1 (x)、y 2 (x)为二阶变系数齐次线性方程 y+P(x)y+q(x)y=0 的两个特解，则 C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)(C 1 ，C 2 为任意常数)是该方程通解的充分条件为（分数：2.00）A.y 1 (x)y 2 (x)-y 2 (x)y 1 (x)=0B.y 1 (x)y 2 (x)-y 2 (x)y 1 (x)0C.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)=0D.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1
3、 (x)0二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.下列微分方程中(填序号) 1 是线性微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_7.已知(x-1)y-xy+y=0 的一个解是 y 1 =x，又知 （分数：2.00）填空项 1:_8.已知方程 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 y+6y+9y=0 的通解 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设有二阶线性微分方程 ()作自变量替换 （分数：2.00）_12.设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微
4、分方程 y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k0 为常数（分数：2.00）_13.求下列方程的通解： ()(x-2)dy=y+2(x-2) 2 dx； ()y 2 dx=(x+y 2 （分数：2.00）_14.求下列方程的通解或特解： () -4y=4x 2 ，y(0)= ，y(0)=2； () （分数：2.00）_15.求方程 y+2my+n 2 y=0 的通解；又设 y=y(x)是满足初始条件 y(0)=a，y(0)=b 的特解，求 0 + y(x)dx，其中 mn0，a，b 为常数（分数：2.00）_16.设 y=y(x)在0，+)内可导，且在 处的增量y=y
5、(x+x)-y(x)满足 （分数：2.00）_17.设函数 f(x)连续，且 0 x f(t)dt=sin 2 x+ 0 x tf(x-t)dt求 f(x)（分数：2.00）_18.设有微分方程 y-2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_19.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)=e 4t2 + （分数：2.00）_20.已知 y 1 * =xe x +e 2x ，y 2 * =xe x +e -x ，y 3 * =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程（分数：2.00）_21.求解初值问题 （分数：2.0
6、0）_22.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce -p(x)dx 是方程y+p(x)y=0 的所有解（分数：2.00）_23.设连接两点 A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸孤 AB 上的任意点(图 65)已知凸弧与弦AP 之间的面积为 x 3 ，求此凸弧的方程 （分数：2.00）_24.在0，+)上给定曲线 y=y(x)0，y(0)=2，y(x)有连续导数已知 （分数：2.00）_25.设 f(x)为连续正值函数，x0，+)，若平面区域 R t =(x，y)0xt，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 y
7、=f(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 （分数：2.00）_26.设曲线 y=y(x)上 （分数：2.00）_27.求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆（分数：2.00）_28.设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长 （分数：2.00）_29.5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂（分数：2.00）_考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷 3 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一
8、、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.方程 ysinx=ylny 满足条件 =e 的特解是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：这是变量可分离的方程3.设 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C 3 B.x 2 +y 2 =CC.y=ln(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x 解析：解析：仅有(D)含有两个独立的任意常数 C 1
9、 与 C 2 ，选(D)4.方程 y-2y+3y=e x sin 的特解的形式为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：关键是求特征根：由 2 -2+3=0 非齐次项 F(x)=e x sinx，i= 5.设 y 1 (x)、y 2 (x)为二阶变系数齐次线性方程 y+P(x)y+q(x)y=0 的两个特解，则 C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)(C 1 ，C 2 为任意常数)是该方程通解的充分条件为（分数：2.00）A.y 1 (x)y 2 (x)-y 2 (x)y 1 (x)=0B.y 1 (x)y 2 (x)-y 2 (x)y 1 (x)0 C.y 1 (x)y 2
10、 (x)+y 2 (x)y 1 (x)=0D.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)0解析：解析：根据题目的要求，y 1 (x)与 y 2 (x)应该线性无关，即 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.下列微分方程中(填序号) 1 是线性微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：、）解析：解析：这四个方程中只有、对未知函数 y 及其各阶导数作为总体是一次的，因而是线性的7.已知(x-1)y-xy+y=0 的一个解是 y 1 =x，又知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 x+C 2 e 2 -x-1）解析：解析：
11、由非齐次方程(x-1)y-xy+y=(x-1) 2 的两个特解 与 y * 可得它的相应齐次方程的另一特解 8.已知方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e x +x）解析：解析：因 y 1 ，y 2 线性无关，该方程的通解 y=C 1 e x +C 2 x由初始条件得 C 1 =1，C 1 +C 2 =2 C 1 =1，C 2 =1 9.微分方程 y+6y+9y=0 的通解 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=(C 1 +C 2 x)e -3x）解析：解析：特征方程 2 +6+9=0，即(+3) 2 =0通解为 y=(C 1 +C
12、2 x)e -3x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数三、解答题(总题数：20，分数：40.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.设有二阶线性微分方程 ()作自变量替换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 再将求导，得 将代入 将，代入原方程得 ()题()已把原方程转化为，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程 2 +2+1=0，有重根 =-1非齐次方程可设特解 y * =Asint+Boost，代入得 -(Asint+Boost)+2(Acost-Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint 即
13、Acost-Bsint=sint 比较系数得 A=0，B=-1，即 y * (t)=-cost因此的通解为 y=(c 1 +c 2 t)e -t -cost 原方程的通解为 y=(c 1 +c 2 arcsinx)e -arcsinx - ，c 1 ，c 2 为 常数 其中 t=arcsinx，cost= )解析：12.设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k0 为常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此线性方程的通解即所有解可表示为 y(x)=e -kx C+ 0 x f(t)e kt dt y(x
14、)以 为周期，即 y(x)=y(x+)，亦即 e -kx C+ 0 x f(t)e kt dt=e -kx-k C+ 0 x f(t)e kt dt C+ 0 x f(t)e kt dt=e -k C+ 0 x+ f(t)e kt dt e -k C+ - x f(s+)e ks+k ds =Ce -k + - 0 f(s)e ks ds+ 0 x f(s)e ks ds - 0 f(s)e ks ds 0 f(t)e kt dt= )解析：13.求下列方程的通解： ()(x-2)dy=y+2(x-2) 2 dx； ()y 2 dx=(x+y 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()
15、原方程改写成 =2(x-2) 2 (一阶线性方程) 积分得 =(x-2) 2 +C通解 y=(x-2) 3 +C(x-2)，其中 C 为任意常数 ()原方程改写成 (以 y 为自变量，是一阶线性的) 两边同乘 =e y 积分得 =e y +C 通解 ，其中 C 为任意常数 ()原方程改写成 (齐次方程)，即 令 分离变量得 积分得 )解析：14.求下列方程的通解或特解： () -4y=4x 2 ，y(0)= ，y(0)=2； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()相应齐次方程的特征方程 2 -4=0，特征根 =2零不是特征根，方程有特解 y * =ax 2 +bx+c，代入方程得
16、 2a-4(ax 2 +bx+c)=4x 2 -4a=4，b=0，2a-4c=0 a=-1，c= . y * =-x 2 - . 通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e -2x -x 2 - . 由初值 y(0)=C 1 +C 2 - ，y(0)=2C 1 -2C 2 =2， 因此得特解 y= e 2x - e -2x -x 2 - ()相应齐次方程的特征方程 2 +3+2=0，特征根 1 =-1， 2 =-2由于非齐次项是 e -x cosx，-1i 不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y * =e -x (acosx+bsinx) 代入原方程比较等式两端 e -x cosx 与 e -
17、x sinx 的系数，可确定出 a= ，所以非齐次方程的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e -2x + )解析：15.求方程 y+2my+n 2 y=0 的通解；又设 y=y(x)是满足初始条件 y(0)=a，y(0)=b 的特解，求 0 + y(x)dx，其中 mn0，a，b 为常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 2 +2m+n 2 =0，特征根 ，通解为 注意：指数均为负的 将方程两边积分 y 0 + +2my 0 + +n 2 0 + y(x)dx=0，即 -b-2ma+n 2 0 + y(x)dx=0 0 + y(x)dx= )解析：16.设 y=y(x)在
18、0，+)内可导，且在 处的增量y=y(x+x)-y(x)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式可得 从而 y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘 ，两边积分得 y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x) 令 x=0，y=2 可确定常数 C= -2ln2，故 y=( -2ln2)(4+x)+(4+x)ln(4+x)=(4+x) )解析：17.设函数 f(x)连续，且 0 x f(t)dt=sin 2 x+ 0 x tf(x-t)dt求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 0 x tf(x-t)dt 0 x (x-u)f(u)(-du)=
19、 0 x (x-u)f(u)du =x 0 x f(u)du- 0 x uf(u)du 代入原方程即得 0 x f(t)dt=sin 2 x+x 0 x f(u)du- 0 x uf(u)du. 由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx+ 0 x f(u)du=sin2x+ 0 x f(u)du (在中令 x=0，得 0=0，不必另加条件与同解) 在式中令 x=0 可得 f(0)=0，由式还可知 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)=2cos2x+f(x) 故求 y=f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得 y=f(x
20、)= )解析：18.设有微分方程 y-2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起 当 x1 时，方程 y-2y=2 的两边同乘 e -2x 得(ye -2x )=2e -2x ，积分得通解 y=C 1 e 2x -1； 而当 x1 时，方程 y-2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x 为保持其在x=1 处的连续性，应使 C 1 e 2 -1=C 2 e 2 ，即 C 2 =C 1 -e -2 ，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C 1 =1，即所
21、求特解为 )解析：19.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)=e 4t2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分 代入原方程得 f(t)=e 4t2 +2 0 2t )解析：20.已知 y 1 * =xe x +e 2x ，y 2 * =xe x +e -x ，y 3 * =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y 1 * -y 3 * =e -x ，y 2 * -y 3 * =2e -x -
22、e 2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y 1 =e -x ，y 2 =2(y 1 * -y 3 * )-(y 2 * -y 3 * )=e 2x ， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y 4 * =y 1 * -y 2 =xe x 因此该非齐次方程的通解是 y=C 1 e -x +C 2 e 2x +xe x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y+py+qy=f(x) 它的相应特征根是 1 =-1， 2 =2，于是特征方程是 (+1)(-2)=0，即 2 -2=0 因此方程为 y-y-2y=f(x)
23、再将特解 y 4 * =xe x 代入得 (x+2)e x -(x+1)e x -2xe x =f(x)，即 f(x)=(1-2x)e x 因此方程为 y-y-2y=(1-2x)e x )解析：21.求解初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是可降阶类型的(方程不显含 x)令 p= ，并以 y 为自变量变换原方程 代入原方程得 y 3 p p 2 =y -2 +C 1 由初值得 C 1 = =dx 积分得 最后得 )解析：22.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce -p(x)dx 是方程y+p(x)y=0 的所有
24、解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易直接验证对任意常数 C，y=Ce -p(x)dx 是原方程的解只需再证：若 y 是原方程的解，则存在某常数 C，使得 y=Ce -p(x)dx ，即证：ye p(x)dx 为常数 因为对任意常数 C，y=Ce -p(x)dx 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p(x)dx =e p(x)dx y+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 ye p(x)dx =C，即 y=Ce -p(x)dx )解析：23.设连接两点 A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸孤 AB 上的任意点(图 65)已知凸弧与弦AP 之间的面
25、积为 x 3 ，求此凸弧的方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设凸弧的方程为 y=f(x)，因梯形 OAPC 的面积为 1+f(x) 故 x 3 = 0 x f(t)dt- 1+f(x) 两边对 x 求导，则得 y=f(x)所满足的微分方程为 xy-y=-6x 2 -1 (原方程中令 x=0 得 0=0，不必另加条件，它与原方程等价) 其通解为 =Cx-6x 2 +1 对任意常数 C，总有 y(0)=1，即此曲线族均通过点 A(0，1) 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即 y(1)=0，由此即得C=5，即所求曲线为 y=5x-6x 2 +1 )解析：24.在0，+)上给定曲线 y
26、=y(x)0，y(0)=2，y(x)有连续导数已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程，定初值 在0，x上侧面积与体积分别为 2 0 x 0 x y 2 dt按题意 2 0 x y(t) = 0 x y 2 (t)dt， y(0)=2 ()转化将式两边求导得 2y(x) =y 2 (x) (在中令 x=0，得 0=0，不必另附加条件)化简得 ()解初值问题 式分离变量得 积分得 为解出 y，两边乘 将，相加得 )解析：25.设 f(x)为连续正值函数，x0，+)，若平面区域 R t =(x，y)0xt，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 y=f(x)在0，t上对应的曲边
27、梯形面积与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 0 t f 2 (x)dx 0 t f(x)dx， 而相应的曲边梯形的面积为 0 t f(x)dx见图 62按题意 即 0 t f 2 (x)dx=2 0 t f(x)dx 2 + 0 t f(x)dx(x0) ()转化将方程两边求导，则 方程 f 2 (t)=4f(t) 0 t f(x)dx+f(t) f(t)=4 0 t f(x)dx+1 (中令 x=0，等式自然成立，不必另加条件) f(x)实质上是可导的，再将方程两边求导，并在中令 t=0 得 ()求解等价的微分方程的初值问题这是一阶线
28、性齐次方程的初值问题，两边同乘 (t)=e -4dt )解析：26.设曲线 y=y(x)上 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程曲线 y=y(x)在 点(x，y)处的切线斜率为 ，与原点连线的斜率为 ，按题意 ()解方程将方程改写为 ydy+xdx=0，即 d(x 2 +y 2 )=0 于是通解为 x 2 +y 2 =C(C0 为 )解析：27.求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由曲率半径公式知，曲线 y=y(x)满足 解方程： ，则 积分得 又由 由和式得(x+C 1 ) 2 +(y+C 2 ) 2 =a 2 ，即曲线是圆周 若 y
29、= )解析：28.设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移 s，向下为正 s=?时，v(速度)=0 ()受力分析 弹性恢复力 f=ks，由条件知 g=k. f=24gs，g 为重力加速度 重力 mg=3g ()加速度表示由题目的需要，加速度 ()列方程与初始条件由牛顿第二定律得 初始条件：t=0 时 s(0)=0， v(s) s=0 =0 ()求解初值问题 分离变量得 vdv=(g-8gs)ds v 2 =gs-4gs 2 +c 由 v(0)=0 v 2 =gs-4gs 2 ()当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时 v=0解 gs-4gs 2 =0 得 s=0，s= )解析：29.5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻水中含的肥皂量为 Q(t)kg任取t，t+dt，这段时间内肥皂含量的减少量=抽出水的肥皂含量，即 解此初值问题得 )解析：
