1、考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷 2 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(62)的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y
2、 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)3.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：26，分数：52.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_5.求 f(x)=3 x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式（分数：2.00）_6.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，证明： (a，b)使得 f(b)- （分数：2.00）_7.设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n
3、 次多项式的充要条件是 f (n+1) (x)0，f (n) (x)0.（分数：2.00）_8.设 f(x)在(0，+)二阶可导且 f(x)，f(x)在(0，+)上有界，求证：f(x)在(0，+)上有界.（分数：2.00）_9.设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f(x)0(x(a，b)，求证： （分数：2.00）_10.求微分方程 x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0 的通解（分数：2.00）_11.求解下列方程： ()求方程 xy=ylny的通解； ()求 yy=2(y t2 -y)满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解（分数：2.00）_12.设 f(t)连
4、续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds， (*) 求 f(t)（分数：2.00）_13.设 f(x)连续，且满足 0 1 f(tx)dt=f(x)+xsinx，求 f(x)（分数：2.00）_14.求下列方程的通解：()y3y=2-6x；()y+y=ccosxcos2x（分数：2.00）_15.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的极坐标方程（分数：2.00）_16.设曲线 L 位于
5、Oxy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总有长度 （分数：2.00）_17.在上半平面求一条凹曲线(图 62)，使其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行 （分数：2.00）_18.设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T 0 ，t 为时间(以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 T-T 0 成正比又设 T 0 =20，当 t=0 时，T=100，并知 24 小时后水瓶内温度为 50，问几小时后瓶内温度为 95?（分数：
6、2.00）_19.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 y=y(v)（分数：2.00）_20.要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状（分数：2.00）_21.设物体 A 从点(0，1)
7、出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(-1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为 x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_22.求下列方程的通解：()y=sin(lnx)+cos(lnx)+ay；()xy= （分数：2.00）_23.求下列微分方程的通解： （分数：2.00）_24.求解二阶微分方程的初值问题 （分数：2.00）_25.解下列微分方程： ()y-7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= （分数：2.00）_26.求微分方程 xy-y
8、=x 2 的通解（分数：2.00）_27.求方程 x 2 ydx-(x 3 +y 3 )dy=0 的通解（分数：2.00）_28.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx-2ysinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_29.设 f(x)=xsinx- 0 x (x-t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷 2 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（
9、分数：2.00）_解析：2.设函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(62)的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )，而且 y 3
10、 是非齐次方程(62)的一个特解，y 1 -y 3 与 y 2 -y 3 是(64)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选(D)二、填空题(总题数：1，分数：2.00)3.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先尝试从y 的表达式直接求 y(1)为此，设 x 0 =0，x=1，于是y=y(x 0 +x)-y(x 0 )=y(1)-y(0)=y(1)-，代入y 的表达式即得 y(1)-=+ y(1)=2+ 由于仅仅知道当x0 时 是比x 较高阶的无穷小，而不
11、知道 的具体表达式，因而从上式无法求出 y(1) 由此可见，为了求出 y(1)必须去掉y 的表达式中包含的 利用函数的增量y 与其微分 dy 的关系可知，函数 y(x)在任意点 x 处的微分 这是一个可分离变量方程，它满足初始条件 y x=0 = 的特解正是本题中的函数 y(x)，解出 y(x)即可得到 y(1) 将方程 分离变量，得 求积分可得 由初始条件 y(0)= 可确定 三、解答题(总题数：26，分数：52.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：5.求 f(x)=3 x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
12、：由于 f (m) (x)=3 x (ln3) m ，f (m) (0)=(ln3) n ，则 )解析：6.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，证明： (a，b)使得 f(b)- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 处展开成 分别令 两式相加 由导函数的中间值定理 在 1 ， 2 之间(s，b)，使得 )解析：7.设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n 次多项式的充要条件是 f (n+1) (x)0，f (n) (x)0.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f (n) (0
13、)x n + x n+1 若 f (n+1) (x)0，f (n) (x)0，由上式 f(x)=f(0)+f(0)x+ )解析：8.设 f(x)在(0，+)二阶可导且 f(x)，f(x)在(0，+)上有界，求证：f(x)在(0，+)上有界.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按条件，联系 f(x)，f(x)与 f(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式 0，h0 有 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ f()h 2 ， 其中 (x，x+h)特别是，取h=1，(x，x+1)，有 f(x+1)=f(x)+f(x)+ f()，即 f(x)=f(x+1)-f(x)- f() 由题设，f(x)M
14、0 ，f(x)M 2 ( (0，+)，M 0 ，M 2 为常数，于是有 f(x)f(x+1)+f(x)+ )解析：9.设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f(x)0(x(a，b)，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：联系 f(x)与 f(x)的是泰勒公式 x 0 a，b，f(x 0 )= .将f(x 0 )在 a，b展开，有 f(x 0 )=f(x)+f(x)(x 0 -x)+ f()(x 0 -x) 2 ( 在 x 0 与 x 之间)f(x)+f(x)(x 0 -x)( a，b，x 0 ) 两边在a，b上积分得 a b f(x 0 )dx a b f(x)dx+ a b
15、f(x)(x 0 -x)dx= a b f(x)dx+f(x 0 -x)df(x) = a b f(x)dx-(b-x 0 )f(b)-(x 0 -a)f(a)+ a b f(x)dx2 a b f(x)dx. 因此 f(x 0 )(b-a)2 a b f(x)dx，即 )解析：10.求微分方程 x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为 )解析：11.求解下列方程： ()求方程 xy=ylny的通解； ()求 yy=2(y t2 -y)满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解（分数
16、：2.00）_正确答案：(正确答案：()此方程不显含 y令 p=y，则原方程化为 xp=plnp 当 p1 时，可改写为 ，其通解为 lnlnp=lnx+C，即 lnp=C 1 x，即 y=e C1x 这样，原方程的通解即为 y= e C1x +C 2 ，其中 C 1 0，C 2 为任意常数 当 p=1 时，也可以得到一族解 y=x+C 3 ()此方程不显含 x令 p=y，且以)，为自变量， ，原方程可化为 =2(p 2 -p) 当 p0 时，可改写为 ，解为 p-1=C 1 y 2 再利用 p=y，以及初始条件，可推出常数 C 1 =1从而上述方程为变量可分离的方程 y=1+y 2 其通解为
17、 y=tan(x+C 2 ) 再一次利用初始条件 y(0)=1，即得 C 2 = 所以满足初始条件的特解为 )解析：12.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds， (*) 求 f(t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(t)连续 0 t f(s)sinsds 可导 f(t)可导于是 )解析：13.设 f(x)连续，且满足 0 1 f(tx)dt=f(x)+xsinx，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 tx=s，原方程改写成 0 x f(s)ds=f(x)+xsinx(x0)， 即 0 x f(s)ds=xf(x)+x
18、2 sinx f(x)=xf(x)+f(x)+(x 2 sinx)，即 f(x)= (x=0 时两端自然成立，不必另加条件) 将直接积分得 f(x)= )解析：14.求下列方程的通解：()y3y=2-6x；()y+y=ccosxcos2x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为 2 -3=(-3)=0，所以通解为 =C 1 +C 2 e 3x 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具有形式 y * (x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 y * (x)-3y * (x)=2A-3(2Ax+B)=-6A
19、x+2A-3B=2-6x 比较方程两端的系数，得 解得 A=1，B=0，即特解为 y * (x)=x 2 从而，原方程的通解为 y(x)=x 2 +C 1 +C 2 e 3x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 ()由于 cosxcos2x= (cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出 y+y= cosx 与 y+y= cos3x 的特解 y 1 * (x)与 y 2 * (x)，相加就是原方程的特解 由于相应齐次方程的特征方程为 2 +1=0，特征根为i，所以其通解应为 C 1 cosx+C 2 sinx；同时 y+y= cosx 的特解应具形式：y 1 * (x)
20、=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得 A=0，B= y 1 * (x)= sinx 另外，由于 3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式 y 2 * (x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得 C= ，D=0这样，即得所解方程的通解为 y(x)= )解析：15.设曲线 L 的极坐标方程为 r=r()，M(r，)为 L 上任一点，M 0 (2，0)为 L 上一定点若极径 OM 0 ，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M 0 ，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的极坐标方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲边扇形的面积公式为 S= 0 r
21、2 ()d又弧微分 于是由题设有 两边对 求导，即得 r 2 ()= 所以 r 所满足的微分方程为 注意到 为方程的通解，再由条件 r(0)=2，可知 C=-6，所以曲线 L 的方程为 )解析：16.设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总有长度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 L 的方程为 y=y(x)，过点 M(x，y(x)的切线与 y 轴的交点为 A(0，y(x)-xy(x)，又 =x 2 +y(x)-(y(x)-xy(x) 2 =x 2 +x 2 y 2 ， =(y-xy) 2 ， 按题意得 x 2
22、 +x 2 y 2 =(y-xy) 2 ，即 2xyy-y 2 =-x 2 又初始条件 这是齐次方程 ，则方程化成 分离变量得 积分得 ln(1+u 2 )=-lnx+C 1 ，1+u 2 = 代入 u= 得 y 2 +x 2 =Cx 由初始条件 )解析：17.在上半平面求一条凹曲线(图 62)，使其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若将此曲线记为 y=y(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y0，故曲率 又由于过(x，f(
23、x)点的法线方程为 X-x+y(x)Y-y(x)=0，它与 x 轴交点 Q 的横坐标 X 0 =x+y(x)y(x)，所以，线段 的长度为 这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为 y(1)=1，y(1)=0 解二阶方程的初值问题 得 y= )解析：18.设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T 0 ，t 为时间(以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 T-T 0 成正比又设 T 0 =20，当 t=0 时，T=100，并知 24 小时后水瓶内温度为 50，问几小时后瓶内温度为 95?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：温度变化的速率即 ，牛顿冷却定律给出了这个变化
24、率满足的条件，写出来它就是温度 T 所满足的微分方程： =-k(T-T 0 )，其中 k 为比例常数，且 k0其通解为 T=T 0 +Ce -kt .再由题设：T 0 =20，T(0)=100，T(24)=50，所以 (ln8-ln3)这样，温度 T=20+ 若 T=95，则 t= )解析：19.从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与
25、 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 y=y(v)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取沉放点为坐标原点 O，Oy 轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 =mg-V-kv 由于 v= ，所以，此方程是一个既不显含自变量 t，又不显含未知函数 y 的二阶方程，按照常规的办法，可以令 v 为未知函数，得到 v 所满足的一阶线性方程，这样所求得的是 v 与时间 t 的关系然而题目所要求的是 y 与 v 的关系，注意 ，所以应将方程改写为 直接求积分，则有 再由题设，其初始条件应为 v y=0 =0，由此可定出 C= ，故所求的关系 )解析：20.要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上
26、底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先建立坐标系，如图 63 所示，x 轴为桥墩中心轴，y 轴为水平轴设桥墩侧面的曲线方程为 y=y(x) 其次列出 y(x)满足的方程由于顶面的压强也为 p，则顶面承受的压力为 F=pa 2 考察中心轴上点 x 处的水平截面上所受总压力，它应等于压强截面积=py 2 (x)，另一方面又等于 顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pa 2 + x h py 2 (s)ds 于是得 py 2 (x)=pa 2 + x h y 2 (s)ds 再将积分方程转化
27、为微分方程的初值问题将上述方程两边对 x 求导得 2pyy=-y 2 又在(*)式中令 x=h 得 y(h)=a，于是得到 最后求解初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得 )解析：21.设物体 A 从点(0，1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(-1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为 x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：规定 A 出发的时刻 t=0 1。列方程t 时刻 A 位于(0，1+vt)t 时刻 B 位
28、于点(x(t)，y(t)，B 点的速度 =(-x，1+vt-y)同向(见图 64) 又 B 点的速度大小为 进一步消去 t，可得 y 作为 x 的函数满足的微分方程将式两边对 x 求导得 由式 将它代入得y=y(x)满足的微分方程为 2。初始条件 )解析：22.求下列方程的通解：()y=sin(lnx)+cos(lnx)+ay；()xy= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()属于变量可分离的方程分离变量改写为 =(sinlnx+coslnx+a)dx 两端求积分，由于sin(lnx)dx=xsin(lnx)-xcos(lnx). dx=xsin(lnx)-cos(lnx)dx， 所以
29、通解为 lny=xsin(lnx)+ax+C 1 ，或 y=Ce xsin(lnx)+ax ，其中 C 为任意常数 ()属齐次方程令y=xu，并且当 x0 时，原方程可化为 两端求积分，则得 arcsinu=lnx+C，即其通解为 arcsin =lnx+C，其中 C 为任意常数 当 x0 时，上面的方程变为 ，其通解应为 arcsin )解析：23.求下列微分方程的通解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是一阶线性非齐次方程，两边同乘 ，得 积分得 y=x 2 +x 2 ，其中 C 为任意常数 ()注意到如果将 x 看作 y 的函数，则该方程可改写为 -yyx=y 3 ，这也
30、是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘 =e -ydy = 积分得 )解析：24.求解二阶微分方程的初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此方程不显含 x，令 p=y，并以 y 为自变量，则 ，并且方程变为 其解为 1+p 2 =Cy 2 代入初始条件，可知 C=1，即 p 2 =y 2 =y 2 -1，从而 这是一个变量可分离的方程，两端求积分 ，并代入初始条件 ，则无论右端取正号，还是取负号，其结果均为 )解析：25.解下列微分方程： ()y-7y+12y=x 满足初始条件 y(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()相应齐次方程的特征方程为 2 -7+12=0，它
31、有两个互异的实根： 1 =3， 2 =4，所以，其通解为 =C 1 e 3x +C 2 e 4x 由于 0 不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式 y * (x)=Ax+B代入方程，可得 A= 所以，原方程的通解为 y(x)= +C 1 e 3x +C 2 e 4x 代入初始条件，则得 因此所求的特解为 y(x)= (e 4x -e 3x ) ()由于相应齐次方程的特征根为ai，所以其通解为 =C 1 cosax+C 2 sinax求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论： 当 ab 时，特解的形式应为 Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程，则得 所以，通解为y(x)= cosbx+C
32、 1 cosax+C 2 sinax，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 当 a=b 时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程，则得 A=0，B= 原方程的通解为 y(x)= )解析：26.求微分方程 xy-y=x 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原方程看作不显含 y 的二阶方程，则属于可降阶的范围令 p=y，p=y，代入原方程，则化为 p 的一阶线性非齐次方程 xp-p=x 2 ，即 p- =x. 而 ，于是两边同乘 因此 y=p=Cx+x 2 再积分一次，即得原方程的通解为 y= )解析：27.求方程 x 2 ydx-(x 3 +y 3 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解这里若将 x 看作y 的函数，原方程可改写为 ，原方程又可改写为 ，分离变量得 u 2 du= )解析：28.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx-2ysinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解（分数：2.00）_
